1. 如图，已知在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，则$\sin A =$ ()


A.$\frac{BC}{AC}$
B.$\frac{AB}{AC}$
C.$\frac{BC}{AB}$
D.$\frac{AB}{BC}$

1.A

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，则$\angle A$的对边为$BC$，斜边为$AC$。根据正弦函数定义，$\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$。
A

2. 按如图所示的运算程序，若$\alpha = \beta = 30^{\circ}$，则$y$的值为 ()


A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$- \frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$- \frac{1}{2}$

2.C

因为$\alpha = \beta = 30^{\circ}$，所以$\alpha \geq \beta$成立。
则$y = \sin\alpha = \sin30^{\circ} = \frac{1}{2}$。
C

3. ［杭州模拟］在锐角三角形$ABC$中，$(\tan C - \sqrt{3})^2 + | \sqrt{2} - 2\sin B | = 0$，则$\angle A =$()

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

3.D

因为$(\tan C - \sqrt{3})^2 + |\sqrt{2} - 2\sin B| = 0$，且一个数的平方是非负数，一个数的绝对值也是非负数，所以$\tan C - \sqrt{3} = 0$且$\sqrt{2} - 2\sin B = 0$。
由$\tan C - \sqrt{3} = 0$，得$\tan C = \sqrt{3}$，因为$\triangle ABC$是锐角三角形，所以$\angle C = 60°$。
由$\sqrt{2} - 2\sin B = 0$，得$2\sin B = \sqrt{2}$，即$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$\triangle ABC$是锐角三角形，所以$\angle B = 45°$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$\angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 45° - 60° = 75°$。
75°，D

4. 课后题改编 如图是“人”字形钢架，其中斜梁$AB = AC$，顶角$\angle BAC = 120^{\circ}$，跨度$BC = 10\ m$，$AD$为支柱(即底边$BC$的中线)，两根支撑架$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，则$DE + DF =$ ()

A.$10\ m$
B.$5\ m$
C.$2.5\ m$
D.$9.5\ m$

4.B

证明：
∵ $AB = AC$，$\angle BAC = 120°$，$AD$为底边$BC$的中线，
∴ $AD \perp BC$，$BD = DC = \frac{1}{2}BC = 5\ m$，$\angle BAD = \angle CAD = 60°$。
在$ Rt\triangle ABD$中，$\angle ABD = 30°$，
∴ $AD = BD · \tan 30° = 5 · \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\ m$，
$AB = \frac{BD}{\cos 30°} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ m$。
∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
∴ $DE = AD · \sin 60° = \frac{5\sqrt{3}}{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{2}\ m$，
同理 $DF = \frac{5}{2}\ m$。
∴ $DE + DF = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5\ m$。
结论：$DE + DF = 5\ m$。
答案：B

5. 如图，在平面直角坐标系中，直线$y = k_1x + 2$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$C$，与反比例函数$y = \frac{k_2}{x}$在第一象限内的图象交于点$B$，连接$BO$.若$S_{\triangle OBC} = 1$，$\tan\angle BOC = \frac{1}{3}$，则$k_2$的值是 ()

A.$-3$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

5.D

解：
∵直线$y=k_1x+2$与$y$轴交于点$C$，
∴令$x=0$，得$y=2$，即$C(0,2)$，$OC=2$。
设点$B$坐标为$(m,n)$，且$m＞0,n＞0$。
∵$\tan\angle BOC=\frac{1}{3}$，$\angle BOC$为点$B$与$y$轴正半轴夹角，
∴$\tan\angle BOC=\frac{m}{n}=\frac{1}{3}$，即$n=3m$。
∵$S_{\triangle OBC}=1$，$OC=2$，
∴$\frac{1}{2}× OC× m=1$，即$\frac{1}{2}×2× m=1$，解得$m=1$。
∴$n=3m=3$，即$B(1,3)$。
∵点$B$在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$上，
∴$k_2=m× n=1×3=3$。
答案：$3$

6. ［唐山模拟］如图，一渔船在海岛$A$南偏东$20^{\circ}$方向的$B$处遇险，测得海岛$A$与$B$的距离为$10\sqrt{3}\ n mile$，渔船将险情报告给位于$A$处的救援船后，沿北偏西$80^{\circ}$方向向海岛$C$靠近，同时，从$A$处出发的救援船沿南偏西$10^{\circ}$方向匀速航行，$30\ \min$后，救援船在海岛$C$处恰好与渔船相遇，那么救援船航行的速度为 ()

A.$10\sqrt{3}\ n mile/h$
B.$15\ n mile/h$
C.$5\sqrt{3}\ n mile/h$
D.$30\ n mile/h$

6.D

解：由题意得，$\angle BAC=20^{\circ}+10^{\circ}=30^{\circ}$，$\angle ABC=80^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore\angle ACB=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=30^{\circ}$，$AB=10\sqrt{3}\ n mile$，
$\therefore AC=AB·\cos30^{\circ}=10\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\ n mile$，
救援船航行时间为$30\ \min=0.5\ h$，
$\therefore$救援船航行速度为$\frac{15}{0.5}=30\ n mile/h$。
答案：D