1.[2025 常州] 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ A=90°$,$AB=3$,$AC=4$,则 $\sin B$ 的值是 ()

A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$

1.C

2. 在$△ ABC$中，$∠ B=90°$. 若$AC=100$，$\sin A=\dfrac{3}{5}$，则$AB$的长是（）

A.$\dfrac{500}{3}$
B.$\dfrac{503}{5}$
C.$60$
D.$80$

2.D

3. 新考法 构造直角三角形法 如图，$△ ABC$的顶点是正方形网格(小正方形的边长均为1)的格点，则$\sin A$的值为。

3.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

4.已知点$A(1,4),B(-2,0)$,那么直线$AB$与$x$轴夹角的正弦值是.

4.$\dfrac{4}{5}$

5.[2026合肥期末]如图，A为$∠α$边上的任意一点，作$AC⊥ BC$于点$C$，$CD⊥ AB$于点$D$，下列用线段比表示$\cosα$的值，错误的是（）

A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{DC}$
D.$\frac{CD}{AC}$

5.C

6.如图,小兵同学从A处出发向正东方向走$x$ m到达B处,再向正北方向走到C处,已知$∠ BAC=$
$α$,则A,C两处相距（）

A.$\frac{x}{\sinα}$ m
B.$\frac{x}{\cosα}$ m
C.$x·\sinα$ m
D.$x·\cosα$ m

6.B

7. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3.将△BCD折叠到△BED的位置,DE交AB于点F,则$\cos∠ ADF$的值为 ()

A.$\dfrac{8}{17}$
B.$\dfrac{7}{15}$
C.$\dfrac{15}{17}$
D.$\dfrac{8}{15}$

7.C 【点拨】利用矩形和折叠的性质可证$△ AFD≌△ EFB$，得$BF=DF$,设$DF=x$,则$AF=5-x$. 在$\mathrm{Rt}△ ADF$中,利用勾股定理列方程求出$x$的值,进而可求出$\cos∠ ADF$的值.

8. 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$\sin A=\dfrac{4}{5}$，则$\tan A=$.

8.$\dfrac{4}{3}$

9. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，则$\sin A+\cos A$的值 （）

A.大于1
B.等于1
C.小于1
D.不能确定

9.A 【点拨】设$∠ A,∠ B,∠ C$的对应边分别为$a,b,c$,则$\sin A+\cos A=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}.\because a+b＞ c,\therefore \dfrac{a+b}{c}＞ 1$,即$\sin A+\cos A$的值大于1.

10. 教材母题 教材P146复习题T8变式 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$\sin B=\frac{4}{5}$,则$\cos A$的值等于.

10.$\dfrac{7}{25}$ 【点拨】过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D. \because AB=AC=10$,$\therefore BC=2BD$. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\sin B=\dfrac{AD}{AB},\therefore AD=AB· \sin B=10× \dfrac{4}{5}=8. \therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.$\therefore BC=12$. 过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H. \because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BH=\dfrac{1}{2}BC· AD,\therefore BH=\dfrac{BC· AD}{AC}=\dfrac{12× 8}{10}=\dfrac{48}{5}. \therefore AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{10^2-(\dfrac{48}{5})^2}=\dfrac{14}{5}. \therefore \cos∠ BAC=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{7}{25}.$

11. [2026 成都模拟] 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC=4, ∠ C=72°, D$ 是 $AB$ 的中点, 点 $E$ 在 $AC$ 上, $DE ⊥ AB$, 则 $\cos A$ 的值为（）

A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

11.C 【点拨】$\because$在$△ ABC$中,$AB=AC,∠ C=72°,\therefore ∠ ABC=∠ C=72°. \therefore ∠ A=180°-∠ C-∠ ABC=36°. \because D$是$AB$的中点,$AB=4,DE⊥ AB,\therefore AD=2,AE=BE$.$\therefore ∠ ABE=∠ A=36°. \therefore ∠ BEC=∠ A+∠ ABE=72°=∠ C$.$\therefore BE=BC=AE$. 设$BC=x$,则$CE=AC-AE=4-x$.$\because ∠ ABC=72°=∠ BEC,∠ C=∠ C,\therefore △ ABC∽△ BEC$.$\therefore \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{CE}{CB}$,即$\dfrac{x}{4}=\dfrac{4-x}{x}$,解得$x_1=2\sqrt{5}-2,x_2=-2\sqrt{5}-2$(不合题意,舍去). $\therefore AE=2\sqrt{5}-2. \therefore \cos A=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{2}{2\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$. 故选C.