11. 如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，$∠ ABD=120°$，其中点A，B，C都在格点上，则$\tan∠ BCD$的值为 （）

A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$3$

11.B
【点拨】如图,延长 BC 交格点于点 F,连接 AF,E,G 分别在格点上,依题意得$∠ EGF=120°,EG=GF=GC,\therefore $易得$∠ CEF=30°,∠ ECF=60°. \therefore ∠ AFC=90°.$易得$FC=2$,$EC=4,\therefore EF=\sqrt{EC^2-FC^2}=2\sqrt{3}.$
$\therefore AF=2EF=4\sqrt{3}. \therefore \tan∠ BCD=\tan∠ ACF=\frac{AF}{FC}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.$
点方法 在网格中求锐角三角函数值的方法:在网格中求某一锐角的三角函数值时,先要借助网格的特点,判断该锐角所在的三角形是否为直角三角形,若不是直角三角形或是直角三角形但各边长不易求解时,可以构造直角三角形,然后利用勾股定理求解.

12. [2025 自贡] 如图,在平面直角坐标系中,将$△ ABO$平移,得到$△ EFG$,点$E,F$在坐标轴上.若$∠ A=90°$,$\tan B=\frac{1}{2}$,$A(-4,3)$,则点$G$的坐标为（）

A.$(11,-4)$
B.$(10,-3)$
C.$(12,-3)$
D.$(9,-4)$

12.B
【点拨】如图,过点 A 作$ AH ⊥ y $轴,作$ BK ⊥ AH $交 HA 的延长线于点 K,则$∠ AHO=∠ BKA=90°=∠ BAO$,
$\therefore ∠ BAK=∠ AOH=90°-∠ HAO,\therefore △ AHO ∽ △ BKA$,
$\therefore \frac{AH}{BK}=\frac{OH}{AK}=\frac{OA}{AB}. \because ∠ BAO=90°,\tan∠ ABO=\frac{1}{2},A(-4,3),\therefore OH=3,AH=4,\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2},\therefore \frac{4}{BK}=\frac{3}{AK}=\frac{1}{2},\therefore BK=8,AK=6.$ 易得$OF=BK=8,OE=AK=6,\therefore E(6,0),\therefore $将点 A 先向右平移 10 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度得到点 E,$\therefore $将点$O(0,0)$先向右平移 10 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度得到点 G,$\therefore G(10,-3).$

13. 如图，斜坡CD的坡度$i=1:2$，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为$60°$时，大树在斜坡上的影子BE的长为10 m，则大树AB的高为 m.

13.$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$
【点拨】如图,过点 E 作水平地面的平行线,交 AB 的延长线于点 H,则$∠ BEH=∠ DCF,\therefore \tan∠ BEH=\frac{BH}{EH}=\tan∠ BCF=i=\frac{1}{2},\therefore $设$BH=x\ \mathrm{m}$,则$EH=2x\ \mathrm{m}$,$\therefore BE=\sqrt{EH^2+BH^2}=\sqrt{5}\ x. \because BE=10\ \mathrm{m},\therefore x=2\sqrt{5}$,$\therefore BH=2\sqrt{5}\ \mathrm{m},EH=4\sqrt{5}\ \mathrm{m}. \because ∠ EAH=180°-60°-90°=30°,\therefore AE=2EH=8\sqrt{5}\ \mathrm{m}. \therefore AH=4\sqrt{15}\ \mathrm{m},\therefore AB=AH-BH=(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})\ \mathrm{m}$,即大树 AB 的高度为$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})\ \mathrm{m}.$

14. 新考法 计算求比法 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$,$CD$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $D$,过点 $D$ 作 $DE // BC$ 交 $AC$ 于点 $E$,将 $△ DEC$ 沿 $DE$ 所在直线折叠得到 $△ DEF$,$DF$ 交 $AC$ 于点 $G$.若 $\frac{AG}{GE}=\frac{7}{3}$,则 $\tan A=\_\_\_\_\_\_$.

14.$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
【点拨】如图,过点 G 作$ GM ⊥ DE $于点 M.
$\because CD$ 平分$∠ ACB$交 AB 于点 D,$DE// BC,\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 2=∠ 3.$
$\therefore ∠ 1=∠ 3. \therefore ED=EC.$
$\because $将$△ DEC$沿 DE 所在直线折叠得到$△ DEF,\therefore ∠ 3=∠ 4.$
$\therefore ∠ 1=∠ 4.$ 又$\because ∠ DGE=∠ CGD$,
$\therefore △ DGE ∽ △ CGD. \therefore \frac{DG}{CG}=\frac{GE}{DG}. \therefore DG^2=GE· GC.$
$\because ∠ ABC=90°,DE// BC,\therefore AD⊥ DE. \therefore AD// GM.$
$\therefore \frac{AG}{GE}=\frac{DM}{EM}=\frac{7}{3},∠ MGE=∠ A.$
设$GE=3k,EM=3n$,则$AG=7k,DM=7n,\therefore DE=10n.$
$\therefore EC=10n. \therefore DG^2=GE· (GE+EC)=3k· (3k+10n)=9k^2+30kn.$ 在$\mathrm{Rt}△ DGM$中,$GM^2=DG^2-DM^2$,在$\mathrm{Rt}△ GME$中,$GM^2=GE^2-EM^2,\therefore DG^2-DM^2=GE^2-EM^2$,即$9k^2+30kn-(7n)^2=(3k)^2-(3n)^2$,解得$n=0$(不合题意,舍去)或$n=\frac{3}{4}\ k,\therefore EM=\frac{9}{4}\ k. \therefore GM=\sqrt{GE^2-EM^2}=\sqrt{(3k)^2-(\frac{9}{4}k)^2}=\frac{3\sqrt{7}}{4}k. \therefore \tan A=\tan∠ EGM=\frac{EM}{GM}=\frac{\frac{9}{4}k}{\frac{3\sqrt{7}}{4}k}=\frac{3\sqrt{7}}{7}.$
点方法 等角转换法求锐角三角函数值的方法:当不能直接利用定义法、参数法、构造直角三角形求锐角三角函数值时,可利用等角转换法,把要求的角转化为与其相等的角.找相等角的方法有多种,可以借助平行线、等腰三角形、三角形全等(相似)、等角的余(补)角相等等知识来解决,要根据题目的条件灵活选用方法.

15. ★★★ [2025威海]【问题提出】已知∠α，∠β都是锐角，$\tanα=\frac{1}{2}$，$\tanβ=\frac{1}{3}$，求∠α+∠β的度数.
【问题解决】(1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数；(点A,B,C,D都在格点上)
【策略迁移】(2)已知∠α，∠β都是锐角，$\tanα=\frac{2}{3}$，$\tanβ=\frac{3}{2}$，则∠α+∠β=；
(3)已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，$\tanα=\frac{1}{3}$，$\tanβ=\frac{1}{7}$，∠α+∠β=∠θ，求$\tanθ$的值.

备用图 备用图

15.【解】(1)如图①,连接 BC.
$\because AB=BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},$
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2,$
$\therefore ∠ ABC=90°,△ ABC$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ BAC=45°,\therefore ∠ α+∠ β=45°.$
(2)$90°$
【点拨】如图②,连接 BC,
$\tan α=\tan∠ BAD=\frac{2}{3},\tan β=\tan∠ DAC=\frac{3}{2}.$
$\because AB=AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},BC=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26},$
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2. \therefore ∠ BAC=90°,$
$\therefore ∠ α+∠ β=∠ BAD+∠ DAC=∠ BAC=90°.$
(3)如图③,连接 GF,
$\tan α=\tan∠ GDH=\frac{1}{3},\tan β=\tan∠ HDF=\frac{1}{7}.$
$\because ∠ α+∠ β=∠ θ,\therefore ∠ θ=∠ GDH+∠ HDF=∠ GDF.$
$\because DG=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10},GF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},$
$DF=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2},$
$\therefore DG^2+GF^2=DF^2,\therefore △ DGF$是直角三角形,$∠ DGF=90°.$
$\therefore \tan θ=\tan∠ GDF=\frac{GF}{DG}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}.$