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9 数形结合思想 函数$y=ax^2+bx$与$y=bx-a$（$a,b$是常数，且$ab≠0$）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（
B
）答案
9. B
解析
【分析】
本题为一次函数与二次函数的图象共存判断题，可采用排除法解题：首先二次函数$y=ax^2+bx$无常数项，因此图象必过原点；接下来根据二次函数的开口方向判断参数$a$的正负，再结合一次函数$y=bx-a$的纵截距为$-a$，可初步排除不符合的选项；最后结合二次函数对称轴的位置推导$b$的正负，验证一次函数的斜率是否和$b$的符号一致，即可选出正确答案。
【解析】
1. 先分析二次函数性质：$y=ax^2+bx$的常数项为0，因此图象一定经过坐标原点，四个选项均满足该特征。
2. 分析开口向上的选项A、B：
二次函数开口向上，故$a＞0$，因此一次函数$y=bx-a$的纵截距为$-a＜0$，即一次函数与$y$轴的交点在负半轴，A、B均满足该条件；
二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，A、B中对称轴在$x$轴正半轴，结合$a＞0$可得：$-\frac{b}{2a}＞0 \implies b＜0$，即一次函数斜率为负，图象应从左上向右下倾斜：
A中一次函数斜率为正，和$b＜0$矛盾，排除A；
B中一次函数斜率为负，符合推导，暂时保留。
3. 分析开口向下的选项C、D：
二次函数开口向下，故$a＜0$，因此一次函数$y=bx-a$的纵截距为$-a＞0$，即一次函数与$y$轴的交点应在正半轴，但C、D中一次函数与$y$轴交点均在负半轴，不符合推导，排除C、D。
综上，只有B选项全部符合条件。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，数形结合思想
【点评】
本题是函数图象共存类的典型题型，解题核心是先根据一类函数的图象特征确定参数的符号范围，再验证另一类函数的图象是否符合该参数范围，利用排除法可提高解题效率，要求熟练掌握函数图象与系数的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题为一次函数与二次函数的图象共存判断题，可采用排除法解题：首先二次函数$y=ax^2+bx$无常数项，因此图象必过原点；接下来根据二次函数的开口方向判断参数$a$的正负，再结合一次函数$y=bx-a$的纵截距为$-a$，可初步排除不符合的选项；最后结合二次函数对称轴的位置推导$b$的正负，验证一次函数的斜率是否和$b$的符号一致，即可选出正确答案。
【解析】
1. 先分析二次函数性质：$y=ax^2+bx$的常数项为0，因此图象一定经过坐标原点，四个选项均满足该特征。
2. 分析开口向上的选项A、B：
二次函数开口向上，故$a＞0$，因此一次函数$y=bx-a$的纵截距为$-a＜0$，即一次函数与$y$轴的交点在负半轴，A、B均满足该条件；
二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，A、B中对称轴在$x$轴正半轴，结合$a＞0$可得：$-\frac{b}{2a}＞0 \implies b＜0$，即一次函数斜率为负，图象应从左上向右下倾斜：
A中一次函数斜率为正，和$b＜0$矛盾，排除A；
B中一次函数斜率为负，符合推导，暂时保留。
3. 分析开口向下的选项C、D：
二次函数开口向下，故$a＜0$，因此一次函数$y=bx-a$的纵截距为$-a＞0$，即一次函数与$y$轴的交点应在正半轴，但C、D中一次函数与$y$轴交点均在负半轴，不符合推导，排除C、D。
综上，只有B选项全部符合条件。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，数形结合思想
【点评】
本题是函数图象共存类的典型题型，解题核心是先根据一类函数的图象特征确定参数的符号范围，再验证另一类函数的图象是否符合该参数范围，利用排除法可提高解题效率，要求熟练掌握函数图象与系数的对应关系。
【难度系数】
0.7
10 [2025凉山]二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，其对称轴为直线$x=2$，且图象经过点$(6,0)$。有下列结论：① $bc＞0$；② $4a+b=0$；③ 若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$且$x_1≠x_2$，则$x_1+x_2=4$；④ 若$(-1,y_1)$，$(3,y_2)$两点都在二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象上，则$y_2＜y_1$。其中，正确的是
①②③
(填序号)。答案
10. ①②③
解析
【分析】
解题时先从二次函数图像提取关键信息：由开口方向确定a的符号，由对称轴公式推导a与b的数量关系，由与y轴的交点确定c的符号，再结合二次函数的对称性、函数值与到对称轴距离的关系，逐个验证四个结论即可。
【解析】
解：由图像及已知条件可得：
抛物线开口向下，因此$a＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
对称轴为直线$x=2$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$-b=4a$，即$b=-4a$，结合$a＜0$可得$b＞0$。
1. 判断结论①：$b＞0$，$c＞0$，因此$bc＞0$，①正确；
2. 判断结论②：由对称轴公式推导得$4a + b = 0$，②正确；
3. 判断结论③：对$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$移项得$a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=0$，因式分解得$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，
因为$x_1≠x_2$，所以$a(x_1+x_2)+b=0$，即$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，
将$b=-4a$代入得$x_1+x_2=\frac{4a}{a}=4$，③正确；
4. 判断结论④：点$(-1,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$|-1-2|=3$，点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-2|=1$，
抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，因此$y_1＜y_2$，④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数图像类的常考题型，核心是从图像中提取有效信息，结合二次函数的基本性质逐一验证结论，能很好地考查对二次函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数图像提取关键信息：由开口方向确定a的符号，由对称轴公式推导a与b的数量关系，由与y轴的交点确定c的符号，再结合二次函数的对称性、函数值与到对称轴距离的关系，逐个验证四个结论即可。
【解析】
解：由图像及已知条件可得：
抛物线开口向下，因此$a＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
对称轴为直线$x=2$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$-b=4a$，即$b=-4a$，结合$a＜0$可得$b＞0$。
1. 判断结论①：$b＞0$，$c＞0$，因此$bc＞0$，①正确；
2. 判断结论②：由对称轴公式推导得$4a + b = 0$，②正确；
3. 判断结论③：对$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$移项得$a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=0$，因式分解得$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，
因为$x_1≠x_2$，所以$a(x_1+x_2)+b=0$，即$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，
将$b=-4a$代入得$x_1+x_2=\frac{4a}{a}=4$，③正确；
4. 判断结论④：点$(-1,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$|-1-2|=3$，点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-2|=1$，
抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，因此$y_1＜y_2$，④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数图像类的常考题型，核心是从图像中提取有效信息，结合二次函数的基本性质逐一验证结论，能很好地考查对二次函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
11 [2025牡丹江期末]某小区要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱.如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.水柱高度y（单位:m）与水平距离x（单位:m）之间具有函数关系:$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$.
(1) 求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离；
(2) 求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离.
(1) 求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离；
(2) 求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离.
答案
11. (1) $\because y=-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3,\therefore$ 顶点$A(1,3).\therefore$ 抛物线形水柱的最高点 A 到地面的距离为 3 m
(2) 当 $y=0$ 时,$-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}=0$,解得 $x_1=3,x_2=-1$(不符合题意,舍去),$\therefore B(3,0)$,即 $OB=3.\therefore$ 抛物线形水柱落地处点 B 与池中心的距离为 3 m
(2) 当 $y=0$ 时,$-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}=0$,解得 $x_1=3,x_2=-1$(不符合题意,舍去),$\therefore B(3,0)$,即 $OB=3.\therefore$ 抛物线形水柱落地处点 B 与池中心的距离为 3 m
解析
【分析】
（1）求水柱最高点A到地面的距离，本质是求该开口向下的二次函数的最大值，也就是抛物线顶点的纵坐标，可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标即可求解。
（2）水柱落地时高度为0，因此只需令函数解析式中$y=0$，解对应的一元二次方程，结合水平距离$x$的实际意义舍去负根，所得正根就是点B到原点（池中心）的距离。
【解析】
(1) 对二次函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{3}{4}(x^2-2x)+\dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{3}{4}(x^2-2x+1-1)+\dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3\end{aligned}$
可得抛物线顶点为$A(1,3)$，顶点纵坐标为3，即最高点A到地面的距离为3 m。
(2) 令$y=0$，得方程：
$-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}=0$
两边同乘$-\dfrac{4}{3}$化简得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
由于水平距离不能为负，舍去$x=-1$，即$B(3,0)$，$OB=3$ m，也就是水柱落地处B与池中心的距离为3 m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；(2) $\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的最值，二次函数与一元二次方程，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是理解二次函数顶点、函数值为0的实际意义，掌握配方法和一元二次方程的解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
（1）求水柱最高点A到地面的距离，本质是求该开口向下的二次函数的最大值，也就是抛物线顶点的纵坐标，可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标即可求解。
（2）水柱落地时高度为0，因此只需令函数解析式中$y=0$，解对应的一元二次方程，结合水平距离$x$的实际意义舍去负根，所得正根就是点B到原点（池中心）的距离。
【解析】
(1) 对二次函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{3}{4}(x^2-2x)+\dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{3}{4}(x^2-2x+1-1)+\dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3\end{aligned}$
可得抛物线顶点为$A(1,3)$，顶点纵坐标为3，即最高点A到地面的距离为3 m。
(2) 令$y=0$，得方程：
$-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}=0$
两边同乘$-\dfrac{4}{3}$化简得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
由于水平距离不能为负，舍去$x=-1$，即$B(3,0)$，$OB=3$ m，也就是水柱落地处B与池中心的距离为3 m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；(2) $\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的最值，二次函数与一元二次方程，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是理解二次函数顶点、函数值为0的实际意义，掌握配方法和一元二次方程的解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
12 已知函数$y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)]$（k是常数）.
（1）当k取1和2时，函数$y_1$和$y_2$的图象如图所示，请在同一平面直角坐标系中画出当k取0时函数$y_3$的图象；
（2）根据图象，写出一条你发现的结论；
（3）将函数$y_2$的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数$y_4$的图象，求函数$y_4$的最小值.
（1）当k取1和2时，函数$y_1$和$y_2$的图象如图所示，请在同一平面直角坐标系中画出当k取0时函数$y_3$的图象；
（2）根据图象，写出一条你发现的结论；
（3）将函数$y_2$的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数$y_4$的图象，求函数$y_4$的最小值.
答案
12. (1) 当 $k=0$ 时,$y_3=-(x-1)(x+3)=-(x+1)^2+4$,函数 $y_3$ 的图象如图所示
(2) 答案不唯一,如函数 $y_1,y_2,y_3$ 的图象都经过点$(1,0)$和点$(-1,4)$
(3) 由题意,得函数 $y_2$ 的表达式为 $y_2=(x-1)^2.\therefore$ 函数 $y_4$ 的表达式为 $y_4=(x+3)^2-2$.$\therefore$ 当 $x=-3$ 时,函数 $y_4$ 取得最小值,最小值为 $-2$
解析
【分析】
（1）要绘制k=0时的函数图象，首先将k=0代入给定的函数表达式，化简得到$y_3$的解析式，再求出函数的顶点、与坐标轴的交点等关键点，描点连线即可画出图象；
（2）观察三个函数图象的共同特征，可从公共交点、图象性质等角度总结结论，合理即可；
（3）先将k=2代入原式得到$y_2$的解析式，再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规则求出平移后$y_4$的解析式，结合二次函数开口方向，顶点的纵坐标即为函数的最小值。
【解析】
（1）当k=0时，代入函数表达式得：
$\begin{aligned}y_3&=(x-1)[(0-1)x+(0-3)]\\&=(x-1)(-x-3)\\&=-(x-1)(x+3)\\&=-x^2-2x+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
可知其顶点为$(-1,4)$，与x轴交点为$(1,0)$、$(-3,0)$，描点连线即可画出图象。
（2）观察图象可发现三个函数图象的共同特征，合理即可。
（3）当k=2时，代入得$y_2$的解析式：
$\begin{aligned}y_2&=(x-1)[(2-1)x+(2-3)]\\&=(x-1)(x-1)\\&=(x-1)^2\end{aligned}$
根据平移规则，向左平移4个单位则自变量x替换为$x+4$，向下平移2个单位则整体减2，得：
$y_4=(x+4-1)^2-2=(x+3)^2-2$
由于二次项系数$1＞0$，函数图象开口向上，顶点处取得最小值，当$x=-3$时，$y_4$取最小值$-2$。
【答案】
(1) 当 $k=0$ 时,$y_3=-(x-1)(x+3)=-(x+1)^2+4$,函数 $y_3$ 的图象如图所示
(2) 答案不唯一,如函数 $y_1,y_2,y_3$ 的图象都经过点$(1,0)$和点$(-1,4)$
(3) 函数$y_4$的最小值为$-2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数平移规律；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查了二次函数解析式求解、图象绘制、平移变换及最值计算，注重对基础知识的灵活运用，同时通过观察图象总结规律的设计，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要绘制k=0时的函数图象，首先将k=0代入给定的函数表达式，化简得到$y_3$的解析式，再求出函数的顶点、与坐标轴的交点等关键点，描点连线即可画出图象；
（2）观察三个函数图象的共同特征，可从公共交点、图象性质等角度总结结论，合理即可；
（3）先将k=2代入原式得到$y_2$的解析式，再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规则求出平移后$y_4$的解析式，结合二次函数开口方向，顶点的纵坐标即为函数的最小值。
【解析】
（1）当k=0时，代入函数表达式得：
$\begin{aligned}y_3&=(x-1)[(0-1)x+(0-3)]\\&=(x-1)(-x-3)\\&=-(x-1)(x+3)\\&=-x^2-2x+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
可知其顶点为$(-1,4)$，与x轴交点为$(1,0)$、$(-3,0)$，描点连线即可画出图象。
（2）观察图象可发现三个函数图象的共同特征，合理即可。
（3）当k=2时，代入得$y_2$的解析式：
$\begin{aligned}y_2&=(x-1)[(2-1)x+(2-3)]\\&=(x-1)(x-1)\\&=(x-1)^2\end{aligned}$
根据平移规则，向左平移4个单位则自变量x替换为$x+4$，向下平移2个单位则整体减2，得：
$y_4=(x+4-1)^2-2=(x+3)^2-2$
由于二次项系数$1＞0$，函数图象开口向上，顶点处取得最小值，当$x=-3$时，$y_4$取最小值$-2$。
【答案】
(1) 当 $k=0$ 时,$y_3=-(x-1)(x+3)=-(x+1)^2+4$,函数 $y_3$ 的图象如图所示
(2) 答案不唯一,如函数 $y_1,y_2,y_3$ 的图象都经过点$(1,0)$和点$(-1,4)$
(3) 函数$y_4$的最小值为$-2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数平移规律；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查了二次函数解析式求解、图象绘制、平移变换及最值计算，注重对基础知识的灵活运用，同时通过观察图象总结规律的设计，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
