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1 在同一平面直角坐标系中，与函数$y=5(x-1)^2+3$的图象形状相同的图象对应的函数表达式为 （
A.$y=-\dfrac{1}{5}x^2+1$
B.$y=(5x-1)^2$
C.$y=(x-1)^2+3$
D.$y=5x^2+3$
D
）A.$y=-\dfrac{1}{5}x^2+1$
B.$y=(5x-1)^2$
C.$y=(x-1)^2+3$
D.$y=5x^2+3$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数图象形状的决定因素：二次函数的图象是抛物线，抛物线的形状只与二次项系数a的绝对值有关，|a|相等则图象形状相同。因此我们先确定题干中函数的二次项系数，再逐一对比各选项的二次项系数的绝对值即可找到正确答案。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，二次项系数$a$的绝对值决定抛物线的形状，$\vert a\vert$相等时，图象形状相同。
题干中函数$y=5(x-1)^2+3$的二次项系数$a=5$，即$\vert a\vert=5$。
逐一分析选项：
A. 函数$y=-\dfrac{1}{5}x^2+1$的二次项系数为$-\dfrac{1}{5}$，$\vert -\dfrac{1}{5}\vert=\dfrac{1}{5}≠5$，形状不同，排除；
B. 将$y=(5x-1)^2$展开得$y=25x^2-10x+1$，二次项系数为25，$\vert25\vert=25≠5$，形状不同，排除；
C. 函数$y=(x-1)^2+3$的二次项系数为1，$\vert1\vert=1≠5$，形状不同，排除；
D. 函数$y=5x^2+3$的二次项系数为5，$\vert5\vert=5$，与原函数二次项系数的绝对值相等，图象形状相同，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；二次项系数的作用
【点评】
本题考查二次函数图象形状的判定，解题核心是牢记抛物线形状仅由二次项系数的绝对值决定，易错点是误将选项B中括号内的x的系数当成二次项系数，需将函数整理为一般式或顶点式后再判断二次项系数的值，整体属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数图象形状的决定因素：二次函数的图象是抛物线，抛物线的形状只与二次项系数a的绝对值有关，|a|相等则图象形状相同。因此我们先确定题干中函数的二次项系数，再逐一对比各选项的二次项系数的绝对值即可找到正确答案。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，二次项系数$a$的绝对值决定抛物线的形状，$\vert a\vert$相等时，图象形状相同。
题干中函数$y=5(x-1)^2+3$的二次项系数$a=5$，即$\vert a\vert=5$。
逐一分析选项：
A. 函数$y=-\dfrac{1}{5}x^2+1$的二次项系数为$-\dfrac{1}{5}$，$\vert -\dfrac{1}{5}\vert=\dfrac{1}{5}≠5$，形状不同，排除；
B. 将$y=(5x-1)^2$展开得$y=25x^2-10x+1$，二次项系数为25，$\vert25\vert=25≠5$，形状不同，排除；
C. 函数$y=(x-1)^2+3$的二次项系数为1，$\vert1\vert=1≠5$，形状不同，排除；
D. 函数$y=5x^2+3$的二次项系数为5，$\vert5\vert=5$，与原函数二次项系数的绝对值相等，图象形状相同，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；二次项系数的作用
【点评】
本题考查二次函数图象形状的判定，解题核心是牢记抛物线形状仅由二次项系数的绝对值决定，易错点是误将选项B中括号内的x的系数当成二次项系数，需将函数整理为一般式或顶点式后再判断二次项系数的值，整体属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
2 [2025甘孜]对于抛物线 $y=2(x-1)^2+3$，下列说法正确的是（
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标为$(1,3)$
C.抛物线的对称轴为直线 $x=-1$
D.当 $x＞-3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
B
）A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标为$(1,3)$
C.抛物线的对称轴为直线 $x=-1$
D.当 $x＞-3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
答案
2. B
解析
【分析】
解答本题需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一验证四个选项即可得出答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=2(x-1)^2+3$，属于二次函数的顶点式，逐项分析如下：
1. 开口方向判断：式中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，A选项错误；
2. 顶点坐标判断：顶点式中$h=1$，$k=3$，因此抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，B选项正确；
3. 对称轴判断：抛物线的对称轴为直线$x=h=1$，C选项错误；
4. 增减性判断：由于抛物线开口向上，在对称轴右侧（即$x＞1$时）$y$随$x$的增大而增大，$x＞-3$包含了对称轴左侧$-3＜x＜1$的区间，该区间内$y$随$x$的增大而减小，因此D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象特征；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是牢记顶点式中各参数对应的图象特征，熟练掌握开口方向、顶点、对称轴、增减性的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解答本题需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一验证四个选项即可得出答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=2(x-1)^2+3$，属于二次函数的顶点式，逐项分析如下：
1. 开口方向判断：式中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，A选项错误；
2. 顶点坐标判断：顶点式中$h=1$，$k=3$，因此抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，B选项正确；
3. 对称轴判断：抛物线的对称轴为直线$x=h=1$，C选项错误；
4. 增减性判断：由于抛物线开口向上，在对称轴右侧（即$x＞1$时）$y$随$x$的增大而增大，$x＞-3$包含了对称轴左侧$-3＜x＜1$的区间，该区间内$y$随$x$的增大而减小，因此D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象特征；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是牢记顶点式中各参数对应的图象特征，熟练掌握开口方向、顶点、对称轴、增减性的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3 若抛物线 $y=\dfrac{2}{3}(x-1)^2 + c$ 经过 $(-2,y_1)$，$(0,y_2)$，$(\dfrac{5}{2},y_3)$ 三点，则 $y_1,y_2,y_3$ 的大小关系正确的是
$y_1＞y_3＞y_2$
（用“＞”连接）。答案
3. $y_1＞y_3＞y_2$
解析
【分析】
要比较三个点的纵坐标大小，首先观察抛物线解析式为顶点式，可先确定其开口方向和对称轴：二次项系数$a=\dfrac{2}{3}＞0$，说明抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可判断$y$值的大小。
【解析】
解：对于抛物线$y=\dfrac{2}{3}(x-1)^2 + c$，
∵ 二次项系数$a=\dfrac{2}{3}＞0$，
∴ 抛物线开口向上，且对称轴为直线$x=1$。
分别计算三个点到对称轴$x=1$的水平距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$\left|-2 - 1\right|=3$；
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$\left|0 - 1\right|=1$；
点$(\dfrac{5}{2},y_3)$到对称轴的距离：$\left|\dfrac{5}{2} - 1\right|=\dfrac{3}{2}$。
∵ 开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且$3＞\dfrac{3}{2}＞1$，
∴ $y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质、二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用，无需代入计算各点的函数值，通过判断开口方向、结合点到对称轴的距离比较函数值大小，解题更简便，熟练掌握二次函数的图象性质是解题关键。
【难度系数】
0.75
要比较三个点的纵坐标大小，首先观察抛物线解析式为顶点式，可先确定其开口方向和对称轴：二次项系数$a=\dfrac{2}{3}＞0$，说明抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可判断$y$值的大小。
【解析】
解：对于抛物线$y=\dfrac{2}{3}(x-1)^2 + c$，
∵ 二次项系数$a=\dfrac{2}{3}＞0$，
∴ 抛物线开口向上，且对称轴为直线$x=1$。
分别计算三个点到对称轴$x=1$的水平距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$\left|-2 - 1\right|=3$；
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$\left|0 - 1\right|=1$；
点$(\dfrac{5}{2},y_3)$到对称轴的距离：$\left|\dfrac{5}{2} - 1\right|=\dfrac{3}{2}$。
∵ 开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且$3＞\dfrac{3}{2}＞1$，
∴ $y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质、二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用，无需代入计算各点的函数值，通过判断开口方向、结合点到对称轴的距离比较函数值大小，解题更简便，熟练掌握二次函数的图象性质是解题关键。
【难度系数】
0.75
4 教材变式题 已知抛物线$y=(x-1)^2+3$.
（1）写出该抛物线的开口方向及顶点坐标.
（2）当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而减小？
（3）将此抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度，得到的新抛物线是否过点$P(1,-5)$？请说明理由.
（1）写出该抛物线的开口方向及顶点坐标.
（2）当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而减小？
（3）将此抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度，得到的新抛物线是否过点$P(1,-5)$？请说明理由.
答案
4. (1) $\because a=1＞0,\therefore$ 该抛物线的开口向上,顶点坐标为$(1,3)$
(2) $\because$ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=1,\therefore$ 当 $x＜1$ 时,$y$随$x$的增大而减小
(3) 新抛物线不过点 $P(1,-5)$ 理由:把此抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移7个单位长度,得到的新抛物线对应的函数表达式为 $y=(x-1+3)^2+3-7$,即 $y=(x+2)^2-4$. 当 $x=1$ 时,$y=(1+2)^2-4=5≠-5,\therefore$ 新抛物线不过点 $P(1,-5)$.
(2) $\because$ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=1,\therefore$ 当 $x＜1$ 时,$y$随$x$的增大而减小
(3) 新抛物线不过点 $P(1,-5)$ 理由:把此抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移7个单位长度,得到的新抛物线对应的函数表达式为 $y=(x-1+3)^2+3-7$,即 $y=(x+2)^2-4$. 当 $x=1$ 时,$y=(1+2)^2-4=5≠-5,\therefore$ 新抛物线不过点 $P(1,-5)$.
解析
【分析】
本题围绕二次函数顶点式的相关知识点展开考查，解题思路如下：
（1）对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，$a$的正负决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，顶点坐标直接为$(h,k)$，对应题中解析式提取参数即可判断；
（2）二次函数的增减性需结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大；开口向下则相反，本题对称轴为顶点横坐标$x=1$，结合开口方向即可得出结论；
（3）二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对常数项）”的规律，先根据平移规则写出新抛物线解析式，再将点$P$的横坐标代入解析式计算$y$值，和点的纵坐标对比即可判断是否过该点。
【解析】
(1) 已知抛物线解析式为$y=(x-1)^2+3$，其中二次项系数$a=1＞0$，因此该抛物线开口向上，根据顶点式的特征，顶点坐标为$(1,3)$。
(2) 由(1)可知抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 新抛物线不过点$P(1,-5)$，理由如下：
根据二次函数图象平移的规则，将原抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度后，得到的新抛物线解析式为$y=(x-1+3)^2+3-7$，化简得$y=(x+2)^2-4$。
将$x=1$代入新解析式，计算得$y=(1+2)^2-4=9-4=5$，因为$5≠-5$，所以新抛物线不过点$P(1,-5)$。
【答案】
(1) 开口向上，顶点坐标为$(1,3)$；
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
(3) 新抛物线不过点$P(1,-5)$，理由见解析。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，聚焦顶点式核心性质的考查，熟练掌握顶点式各参数的意义、增减性判断方法以及平移口诀即可顺利解答，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.85
本题围绕二次函数顶点式的相关知识点展开考查，解题思路如下：
（1）对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，$a$的正负决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，顶点坐标直接为$(h,k)$，对应题中解析式提取参数即可判断；
（2）二次函数的增减性需结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大；开口向下则相反，本题对称轴为顶点横坐标$x=1$，结合开口方向即可得出结论；
（3）二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对常数项）”的规律，先根据平移规则写出新抛物线解析式，再将点$P$的横坐标代入解析式计算$y$值，和点的纵坐标对比即可判断是否过该点。
【解析】
(1) 已知抛物线解析式为$y=(x-1)^2+3$，其中二次项系数$a=1＞0$，因此该抛物线开口向上，根据顶点式的特征，顶点坐标为$(1,3)$。
(2) 由(1)可知抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 新抛物线不过点$P(1,-5)$，理由如下：
根据二次函数图象平移的规则，将原抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度后，得到的新抛物线解析式为$y=(x-1+3)^2+3-7$，化简得$y=(x+2)^2-4$。
将$x=1$代入新解析式，计算得$y=(1+2)^2-4=9-4=5$，因为$5≠-5$，所以新抛物线不过点$P(1,-5)$。
【答案】
(1) 开口向上，顶点坐标为$(1,3)$；
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
(3) 新抛物线不过点$P(1,-5)$，理由见解析。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，聚焦顶点式核心性质的考查，熟练掌握顶点式各参数的意义、增减性判断方法以及平移口诀即可顺利解答，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.85
5 二次函数 $ y = ax^2 + ax + c^2 + 1 $（$ a,c $ 为常数，且 $ a≠0 $）的图象可能是 （
A
）答案
5. A
解析
【分析】
解决二次函数图象判断类问题，可从开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点特征这几个维度逐一分析，用排除法筛选正确选项。首先先计算函数对称轴：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入本题系数可确定对称轴位置，先排除对称轴不符合的选项；再计算函数与y轴的交点纵坐标，根据平方的非负性判断交点位置，排除交点不符合的选项，剩余的就是正确选项。
【解析】
1. 计算对称轴：对于二次函数$y=ax^2+ax+c^2+1$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=a$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{a}{2a}=-\frac{1}{2}$，即对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，位于y轴左侧。
观察选项，C、D的对称轴在y轴右侧，不符合特征，排除C、D。
2. 计算与y轴的交点：令$x=0$，代入函数得$y=c^2+1$，
因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1＞0$，即函数图象与y轴交于正半轴。
观察选项，B的图象与y轴交于负半轴，不符合特征，排除B。
3. 验证选项A：开口向上对应$a＞0$，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，所有特征均符合。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称轴计算；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象判断的常规题型，解题核心是熟练掌握二次函数基本性质，通过计算对称轴、与y轴交点即可快速用排除法得到答案，不需要额外计算判别式，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
解决二次函数图象判断类问题，可从开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点特征这几个维度逐一分析，用排除法筛选正确选项。首先先计算函数对称轴：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入本题系数可确定对称轴位置，先排除对称轴不符合的选项；再计算函数与y轴的交点纵坐标，根据平方的非负性判断交点位置，排除交点不符合的选项，剩余的就是正确选项。
【解析】
1. 计算对称轴：对于二次函数$y=ax^2+ax+c^2+1$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=a$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{a}{2a}=-\frac{1}{2}$，即对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，位于y轴左侧。
观察选项，C、D的对称轴在y轴右侧，不符合特征，排除C、D。
2. 计算与y轴的交点：令$x=0$，代入函数得$y=c^2+1$，
因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1＞0$，即函数图象与y轴交于正半轴。
观察选项，B的图象与y轴交于负半轴，不符合特征，排除B。
3. 验证选项A：开口向上对应$a＞0$，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，所有特征均符合。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称轴计算；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象判断的常规题型，解题核心是熟练掌握二次函数基本性质，通过计算对称轴、与y轴交点即可快速用排除法得到答案，不需要额外计算判别式，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
6 已知二次函数 $ y = -x^2 -4x +2 $ 的图象向右平移3个单位长度得到抛物线C，点P(2，$ y_1 $)，Q(3，$ y_2 $)在抛物线C上，则 $ y_1 $
＞
$ y_2 $（填“＞”或“＜”）。答案
6. ＞
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，首先需要求出平移后抛物线C的解析式，再利用二次函数的增减性判断。解题步骤如下：①先将原二次函数配方为顶点式，方便应用平移规则；②根据“左加右减”的平移规律，得到抛物线C的解析式；③分析抛物线C的开口方向和对称轴，确定其增减性；④结合P、Q两点的横坐标，利用增减性比较函数值大小。
【解析】
第一步：将原二次函数配方为顶点式：
$y=-x^2-4x+2=-(x^2+4x)+2=-(x^2+4x+4-4)+2=-(x+2)^2+6$
第二步：根据图象平移“左加右减、上加下减”的规则，向右平移3个单位，即将解析式中的$x$替换为$x-3$，得到抛物线C的解析式：
$y=-(x-3+2)^2+6=-(x-1)^2+6$
第三步：分析抛物线C的性质：
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而减小。
第四步：比较函数值大小：
点$P(2,y_1)$、$Q(3,y_2)$都在$x＞1$的区域，且$2＜3$，
根据增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数的增减性；函数值比较
【点评】
本题考查二次函数平移规则与增减性的综合应用，解题关键是正确求出平移后的抛物线解析式，明确开口方向、对称轴对函数增减性的影响，平移时“左加右减”的规律是常见易错点。
【难度系数】
0.8
要比较$y_1$和$y_2$的大小，首先需要求出平移后抛物线C的解析式，再利用二次函数的增减性判断。解题步骤如下：①先将原二次函数配方为顶点式，方便应用平移规则；②根据“左加右减”的平移规律，得到抛物线C的解析式；③分析抛物线C的开口方向和对称轴，确定其增减性；④结合P、Q两点的横坐标，利用增减性比较函数值大小。
【解析】
第一步：将原二次函数配方为顶点式：
$y=-x^2-4x+2=-(x^2+4x)+2=-(x^2+4x+4-4)+2=-(x+2)^2+6$
第二步：根据图象平移“左加右减、上加下减”的规则，向右平移3个单位，即将解析式中的$x$替换为$x-3$，得到抛物线C的解析式：
$y=-(x-3+2)^2+6=-(x-1)^2+6$
第三步：分析抛物线C的性质：
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而减小。
第四步：比较函数值大小：
点$P(2,y_1)$、$Q(3,y_2)$都在$x＞1$的区域，且$2＜3$，
根据增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数的增减性；函数值比较
【点评】
本题考查二次函数平移规则与增减性的综合应用，解题关键是正确求出平移后的抛物线解析式，明确开口方向、对称轴对函数增减性的影响，平移时“左加右减”的规律是常见易错点。
【难度系数】
0.8
7 将二次函数$y=x(x+1)$配方，得
$y=(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}$
，函数图象的开口向上
，对称轴为直线 $x=-\dfrac{1}{2}$
，顶点坐标为$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$
.答案
7. $y=(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}$ 上 直线 $x=-\dfrac{1}{2}$ $(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$
解析
【分析】
本题考查二次函数的配方及顶点式的性质，解题思路如下：第一步先将原式展开为二次函数的一般形式；第二步利用配方法，加上一次项系数一半的平方再减去这个数，将一般式转化为顶点式；第三步根据顶点式中二次项系数的正负判断开口方向，再结合顶点式的结构直接得出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
1. 配方过程：
先展开原式得 $y=x(x+1)=x^2+x$，
对 $x^2+x$ 配方，一次项系数为1，其一半的平方为 $(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此：
$y=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$。
2. 判断开口方向：
顶点式中二次项系数 $a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
3. 求对称轴和顶点坐标：
对于顶点式 $y=a(x-h)^2+k$，对称轴为直线 $x=h$，顶点坐标为 $(h,k)$，本题中 $h=-\frac{1}{2},k=-\frac{1}{4}$，因此对称轴为直线 $x=-\frac{1}{2}$，顶点坐标为 $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$。
【答案】
$y=(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}$ 上 直线 $x=-\dfrac{1}{2}$ $(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$
【知识点】
1. 二次函数配方法 2. 二次函数图象性质 3. 二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查配方法的操作步骤和顶点式对应的图象性质，熟练掌握配方规则和顶点式的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的配方及顶点式的性质，解题思路如下：第一步先将原式展开为二次函数的一般形式；第二步利用配方法，加上一次项系数一半的平方再减去这个数，将一般式转化为顶点式；第三步根据顶点式中二次项系数的正负判断开口方向，再结合顶点式的结构直接得出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
1. 配方过程：
先展开原式得 $y=x(x+1)=x^2+x$，
对 $x^2+x$ 配方，一次项系数为1，其一半的平方为 $(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此：
$y=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$。
2. 判断开口方向：
顶点式中二次项系数 $a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
3. 求对称轴和顶点坐标：
对于顶点式 $y=a(x-h)^2+k$，对称轴为直线 $x=h$，顶点坐标为 $(h,k)$，本题中 $h=-\frac{1}{2},k=-\frac{1}{4}$，因此对称轴为直线 $x=-\frac{1}{2}$，顶点坐标为 $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$。
【答案】
$y=(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}$ 上 直线 $x=-\dfrac{1}{2}$ $(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$
【知识点】
1. 二次函数配方法 2. 二次函数图象性质 3. 二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查配方法的操作步骤和顶点式对应的图象性质，熟练掌握配方规则和顶点式的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8 教材变式题 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度$h$(单位：m)与飞行时间$t$(单位：s)之间具有函数关系：$h=-5t^2 +20t(0≤t≤4)$.经过多长时间小球到达最高点？最高点的高度是多少？
答案
8. $\because h=-5t^2+20t=-5(t-2)^2+20,\therefore$ 当 $t=2$ 时,$h$ 取得最大值为 20. $\therefore$ 经过 2 s 小球到达最高点,最高点的高度是 20 m
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的最值应用。首先明确飞行高度$h$是关于飞行时间$t$的二次函数，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，因此函数的最大值对应小球的最高点，我们可以通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标，顶点的横坐标就是到达最高点的时间，纵坐标就是最高点的高度。
【解析】
解：已知小球飞行高度与时间的函数关系为$h=-5t^2 +20t(0≤t≤4)$，
对函数进行配方：
$\begin{aligned}h&=-5t^2+20t\\&=-5(t^2-4t)\\&=-5(t^2-4t+4-4)\\&=-5[(t-2)^2-4]\\&=-5(t-2)^2+20\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-5＜0$，$\therefore$该抛物线开口向下，函数存在最大值，
$\therefore$当$t=2$时，$h$取得最大值，最大值为$20$。
【答案】
经过$\boxed{2\ \mathrm{s}}$小球到达最高点，最高点的高度是$\boxed{20\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的性质；配方法；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数结合生活实际的基础应用题，解题核心是利用二次函数的开口方向判断最值，通过配方法将一般式转化为顶点式即可快速得到对应最值和自变量取值，侧重对基础知识的应用考察。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在实际问题中的最值应用。首先明确飞行高度$h$是关于飞行时间$t$的二次函数，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，因此函数的最大值对应小球的最高点，我们可以通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标，顶点的横坐标就是到达最高点的时间，纵坐标就是最高点的高度。
【解析】
解：已知小球飞行高度与时间的函数关系为$h=-5t^2 +20t(0≤t≤4)$，
对函数进行配方：
$\begin{aligned}h&=-5t^2+20t\\&=-5(t^2-4t)\\&=-5(t^2-4t+4-4)\\&=-5[(t-2)^2-4]\\&=-5(t-2)^2+20\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-5＜0$，$\therefore$该抛物线开口向下，函数存在最大值，
$\therefore$当$t=2$时，$h$取得最大值，最大值为$20$。
【答案】
经过$\boxed{2\ \mathrm{s}}$小球到达最高点，最高点的高度是$\boxed{20\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的性质；配方法；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数结合生活实际的基础应用题，解题核心是利用二次函数的开口方向判断最值，通过配方法将一般式转化为顶点式即可快速得到对应最值和自变量取值，侧重对基础知识的应用考察。
【难度系数】
0.8
