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1 某体育用品专卖店将进货单价为100元/个的某品牌篮球按零售价135元/个售出时，每天能卖出100个.若这种篮球的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加4个，则要使顾客尽量得到实惠，且每天获得的利润为3596元，每个篮球需降价（
A.4元
B.6元
C.4元或6元
D.5元
B
）A.4元
B.6元
C.4元或6元
D.5元
答案
【解析】设每个篮球需降价x元. 由题意,得(100+4x)(135-100-x)=3 596,解得x=6或4.
∵要使顾客尽量得到实惠,
∴x=6. 故选B.
∵要使顾客尽量得到实惠,
∴x=6. 故选B.
解析
【分析】
本题属于销售利润类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆销售问题的核心等量关系：总利润=单个商品的利润×销售总量。首先设每个篮球降价x元，先表示出降价后的单个利润：原本单个利润是135-100=35元，降价x元后单个利润为(35-x)元；再表示出降价后的日销量：原本日销100个，每降1元多卖4个，降价x元后日销量为(100+4x)个；接着根据总利润为3596元列方程求解，最后注意题目要求“顾客尽量得到实惠”，即降价幅度要尽可能大，对求出的两个解进行取舍即可。
【解析】
解：设每个篮球需降价x元。
根据总利润=单个利润×销售总量，列方程得：
(100 + 4x)(135 - 100 - x) = 3596
整理方程：
(100 + 4x)(35 - x) = 3596
展开得：3500 - 100x + 140x - 4x² = 3596
移项合并同类项得：4x² - 40x + 96 = 0
化简得：x² - 10x + 24 = 0
因式分解得：(x - 4)(x - 6) = 0
解得：x₁=4，x₂=6
∵要使顾客尽量得到实惠，即降价金额尽可能大
∴x=6
故选：B
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润问题
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用问题，解题关键是找准总利润的等量关系准确列方程，特别要注意题目中“顾客尽量得到实惠”这类限制条件，需要对求得的方程的解进行合理取舍，避免因忽略条件误选C选项。
【难度系数】
0.65
本题属于销售利润类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆销售问题的核心等量关系：总利润=单个商品的利润×销售总量。首先设每个篮球降价x元，先表示出降价后的单个利润：原本单个利润是135-100=35元，降价x元后单个利润为(35-x)元；再表示出降价后的日销量：原本日销100个，每降1元多卖4个，降价x元后日销量为(100+4x)个；接着根据总利润为3596元列方程求解，最后注意题目要求“顾客尽量得到实惠”，即降价幅度要尽可能大，对求出的两个解进行取舍即可。
【解析】
解：设每个篮球需降价x元。
根据总利润=单个利润×销售总量，列方程得：
(100 + 4x)(135 - 100 - x) = 3596
整理方程：
(100 + 4x)(35 - x) = 3596
展开得：3500 - 100x + 140x - 4x² = 3596
移项合并同类项得：4x² - 40x + 96 = 0
化简得：x² - 10x + 24 = 0
因式分解得：(x - 4)(x - 6) = 0
解得：x₁=4，x₂=6
∵要使顾客尽量得到实惠，即降价金额尽可能大
∴x=6
故选：B
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润问题
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用问题，解题关键是找准总利润的等量关系准确列方程，特别要注意题目中“顾客尽量得到实惠”这类限制条件，需要对求得的方程的解进行合理取舍，避免因忽略条件误选C选项。
【难度系数】
0.65
2 某宾馆有若干间标准房，平时以市场管理部门批准的标价200元/间定价时（定价不得超过380元/间），平均每日可入住50间，在去年国庆期间，为了增加营业额，该宾馆决定上调房价，经市场调查发现，每间房定价每提高20元，每日入住房间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国庆期间宾馆标准房的价格定为多少时，每日的营业额可为11520元？
容我想想鸭
容我想想鸭
答案
【解】设国庆期间宾馆标准房的价格定为x元/间,则平均每日可入住$(50-\dfrac{x-200}{20}×1)$间.
依题意得$x(50-\dfrac{x-200}{20}×1)=11\ 520$,
整理得$x^2-1\ 200x+230\ 400=0$,解得$x_1=240$,$x_2=960$(不合题意,舍去).
答:国庆期间宾馆标准房的价格定为240元/间时,每日的营业额可为11 520元.
依题意得$x(50-\dfrac{x-200}{20}×1)=11\ 520$,
整理得$x^2-1\ 200x+230\ 400=0$,解得$x_1=240$,$x_2=960$(不合题意,舍去).
答:国庆期间宾馆标准房的价格定为240元/间时,每日的营业额可为11 520元.
解析
【分析】
本题是一元二次方程在营业额问题中的实际应用，核心等量关系为：每日营业额=每间房的定价×每日入住房间数。解题思路如下：首先设定价为x元/间，再推导入住数量：原入住量为50间，定价每涨20元入住量减少1间，那么相比200元的定价，价格上涨了(x-200)元，减少的入住量为$\frac{x-200}{20}$间，因此实际入住量为$50-\frac{x-200}{20}$间。随后根据营业额等量关系列方程，求解一元二次方程，最后结合“定价不得超过380元/间”的限制舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设国庆期间宾馆标准房的价格定为x元/间，则平均每日可入住$(50-\dfrac{x-200}{20}×1)$间。
依题意列方程：
$x(50-\dfrac{x-200}{20}×1)=11520$
整理方程得：
$x^2-1200x+230400=0$
因式分解得$(x-240)(x-960)=0$，解得$x_1=240$，$x_2=960$。
已知定价不得超过380元/间，960＞380，不符合题意，舍去$x_2=960$。
答：国庆期间宾馆标准房的价格定为240元/间时，每日的营业额可为11520元。
【答案】
240元/间
【知识点】
一元二次方程应用，列方程解应用题，根的合理性检验
【点评】
本题是实际应用类的常规题型，解题关键是找准等量关系，正确表示出调价后的入住数量，求解后要注意结合题目的实际限制条件对根进行取舍，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在营业额问题中的实际应用，核心等量关系为：每日营业额=每间房的定价×每日入住房间数。解题思路如下：首先设定价为x元/间，再推导入住数量：原入住量为50间，定价每涨20元入住量减少1间，那么相比200元的定价，价格上涨了(x-200)元，减少的入住量为$\frac{x-200}{20}$间，因此实际入住量为$50-\frac{x-200}{20}$间。随后根据营业额等量关系列方程，求解一元二次方程，最后结合“定价不得超过380元/间”的限制舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设国庆期间宾馆标准房的价格定为x元/间，则平均每日可入住$(50-\dfrac{x-200}{20}×1)$间。
依题意列方程：
$x(50-\dfrac{x-200}{20}×1)=11520$
整理方程得：
$x^2-1200x+230400=0$
因式分解得$(x-240)(x-960)=0$，解得$x_1=240$，$x_2=960$。
已知定价不得超过380元/间，960＞380，不符合题意，舍去$x_2=960$。
答：国庆期间宾馆标准房的价格定为240元/间时，每日的营业额可为11520元。
【答案】
240元/间
【知识点】
一元二次方程应用，列方程解应用题，根的合理性检验
【点评】
本题是实际应用类的常规题型，解题关键是找准等量关系，正确表示出调价后的入住数量，求解后要注意结合题目的实际限制条件对根进行取舍，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
3[2026辽宁丹东期中]某商场周年庆期间搞促销活动，一件800元的商品第一次降价后销售较慢，于是又进行了第二次降价，结果以648元的价格迅速销售一空. 那么平均每次降价的百分比是（
A.90%
B.81%
C.19%
D.10%
D
）A.90%
B.81%
C.19%
D.10%
答案
【解析】设平均每次降价的百分比是x. 根据题意得$800(1-x)^2=648$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=1.9$(不符合题意,舍去),
∴平均每次降价的百分比是10%. 故选D.
∴平均每次降价的百分比是10%. 故选D.
解析
【分析】
这是平均降价率的实际应用问题，解题思路如下：首先设平均每次降价的百分比为x，明确降价的计算规则：第一次降价后的价格=原价×(1-降价率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此第二次降价后的价格=原价×(1-降价率)²。结合题目给出的原价800元、最终售价648元的条件，即可列出一元二次方程，解方程后需舍去不符合实际意义的解（降价率不能大于1，否则不符合商品定价逻辑），就能得到正确结果。
【解析】
设平均每次降价的百分比是x。
根据题意列方程得：
$800(1-x)^2=648$
方程两边同时除以800，得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$
当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，降价百分比不可能大于1，不符合题意，舍去。
因此平均每次降价的百分比是10%，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的典型题型，解题核心是掌握连续两次变化后量的计算公式，求解后要注意结合实际问题对根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
这是平均降价率的实际应用问题，解题思路如下：首先设平均每次降价的百分比为x，明确降价的计算规则：第一次降价后的价格=原价×(1-降价率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此第二次降价后的价格=原价×(1-降价率)²。结合题目给出的原价800元、最终售价648元的条件，即可列出一元二次方程，解方程后需舍去不符合实际意义的解（降价率不能大于1，否则不符合商品定价逻辑），就能得到正确结果。
【解析】
设平均每次降价的百分比是x。
根据题意列方程得：
$800(1-x)^2=648$
方程两边同时除以800，得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$
当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，降价百分比不可能大于1，不符合题意，舍去。
因此平均每次降价的百分比是10%，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的典型题型，解题核心是掌握连续两次变化后量的计算公式，求解后要注意结合实际问题对根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
4[2025山西吕梁质检]山西平遥有一句民谣：“平遥三件宝，熟肉、碗脱、案案糕”.为开拓全国市场,某案案糕生产厂家采用线下线上两种销售方式销售产品,厂家统计了今年6月份和8月份线上销售量占总量的比例,根据比例绘制成如图所示的两幅扇形统计图,由统计图可知,线上销售量占比的月平均增长率为
10%
.答案
【解析】设线上销售量占比的月平均增长率为x. 根据题意,得$25\%(1+x)^2=30.25\%$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不合题意,舍去),
∴线上销售量占比的月平均增长率为10%. 故答案为10%.
∴线上销售量占比的月平均增长率为10%. 故答案为10%.
解析
【分析】
本题属于增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：6月份线上销量占比为25%，从6月到8月经过2个月的增长后，8月份线上销量占比为30.25%。我们设月平均增长率为x，根据连续增长的数量规律，增长2次后的占比为初始占比×(1+x)²，据此列方程求解即可，注意增长率为非负数，需要舍去不符合实际意义的解。
【解析】
设线上销售量占比的月平均增长率为x。
根据题意列方程：$\displaystyle 25\%(1+x)^2=30.25\%$
方程两边同时除以25%，得：$\displaystyle (1+x)^2=1.21$
开平方得：$\displaystyle 1+x=\pm1.1$
解得：$\displaystyle x_1=0.1=10\%$，$\displaystyle x_2=-2.1$
由于增长率不能为负数，因此$\displaystyle x_2=-2.1$不符合题意，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题是典型的连续增长率基础题，解题核心是掌握连续两次增长的数量关系：初始量×(1+增长率)²=最终量，求解方程后要结合实际意义筛选合理的解。
【难度系数】
0.75
本题属于增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：6月份线上销量占比为25%，从6月到8月经过2个月的增长后，8月份线上销量占比为30.25%。我们设月平均增长率为x，根据连续增长的数量规律，增长2次后的占比为初始占比×(1+x)²，据此列方程求解即可，注意增长率为非负数，需要舍去不符合实际意义的解。
【解析】
设线上销售量占比的月平均增长率为x。
根据题意列方程：$\displaystyle 25\%(1+x)^2=30.25\%$
方程两边同时除以25%，得：$\displaystyle (1+x)^2=1.21$
开平方得：$\displaystyle 1+x=\pm1.1$
解得：$\displaystyle x_1=0.1=10\%$，$\displaystyle x_2=-2.1$
由于增长率不能为负数，因此$\displaystyle x_2=-2.1$不符合题意，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题是典型的连续增长率基础题，解题核心是掌握连续两次增长的数量关系：初始量×(1+增长率)²=最终量，求解方程后要结合实际意义筛选合理的解。
【难度系数】
0.75
5“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队实现了水稻亩产量质的飞跃.某试点地区在研究的第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目标,第三阶段实现水稻亩产量1 008 kg的目标.(1亩≈666.67平方米)
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的增长率;
(2)按照(1)中的亩产量增长率,该试点期望第四阶段水稻亩产量达到1 200 kg,请通过计算说明他们的目标能否实现.
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的增长率;
(2)按照(1)中的亩产量增长率,该试点期望第四阶段水稻亩产量达到1 200 kg,请通过计算说明他们的目标能否实现.
答案
【解】(1)设亩产量的增长率为x. 依题意得$700(1+x)^2=1\ 008$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
答:亩产量的增长率为20%.
(2)$1\ 008×(1+20\%)=1\ 209.6(\mathrm{kg})$.
∵$1\ 209.6＞1\ 200$,
∴他们的目标能实现.
答:亩产量的增长率为20%.
(2)$1\ 008×(1+20\%)=1\ 209.6(\mathrm{kg})$.
∵$1\ 209.6＞1\ 200$,
∴他们的目标能实现.
解析
【分析】
本题是一元二次方程在增长率实际问题中的应用。第(1)问需利用增长率问题的核心等量关系：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，本题中初始量为第一阶段的700kg，最终量为第三阶段的1008kg，从第一到第三阶段共增长2次，因此设增长率为x，代入等量关系列方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。第(2)问用第三阶段的亩产量乘(1+增长率)得到第四阶段的预期产量，再和1200kg比较大小，即可判断目标是否能实现。
【解析】
(1) 设亩产量的增长率为$ x $，根据题意列方程：
$ 700(1+x)^2 = 1008 $
解得：$ x_1=0.2=20\% $，$ x_2=-2.2 $
因为增长率不能为负，所以$ x_2=-2.2 $不合题意，舍去。
答：亩产量的增长率为20%。
(2) 按照20%的增长率计算第四阶段亩产量：
$ 1008×(1+20\%)=1209.6(\mathrm{kg}) $
因为$ 1209.6＞1200 $，所以该试点的目标能实现。
【答案】
(1) 亩产量的增长率为20%；
(2) 他们的目标能实现。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，实数大小比较
【点评】
本题属于结合生活热点的基础应用题，考查利用方程解决实际问题的能力，解题时要注意结合实际意义取舍方程的根，整体逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程在增长率实际问题中的应用。第(1)问需利用增长率问题的核心等量关系：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，本题中初始量为第一阶段的700kg，最终量为第三阶段的1008kg，从第一到第三阶段共增长2次，因此设增长率为x，代入等量关系列方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。第(2)问用第三阶段的亩产量乘(1+增长率)得到第四阶段的预期产量，再和1200kg比较大小，即可判断目标是否能实现。
【解析】
(1) 设亩产量的增长率为$ x $，根据题意列方程：
$ 700(1+x)^2 = 1008 $
解得：$ x_1=0.2=20\% $，$ x_2=-2.2 $
因为增长率不能为负，所以$ x_2=-2.2 $不合题意，舍去。
答：亩产量的增长率为20%。
(2) 按照20%的增长率计算第四阶段亩产量：
$ 1008×(1+20\%)=1209.6(\mathrm{kg}) $
因为$ 1209.6＞1200 $，所以该试点的目标能实现。
【答案】
(1) 亩产量的增长率为20%；
(2) 他们的目标能实现。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，实数大小比较
【点评】
本题属于结合生活热点的基础应用题，考查利用方程解决实际问题的能力，解题时要注意结合实际意义取舍方程的根，整体逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
6[2025重庆两江新区质检]毕业前夕，班主任王老师让每一位同学给班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，则这个班级的学生总人数是（
A.40
B.30
C.29
D.39
B
）A.40
B.30
C.29
D.39
答案
【解析】设这个班级的学生总人数是x,则每一位同学需发送$(x-1)$条祝福短信. 根据题意,得$x(x-1)=870$,整理,得$x^2-x-870=0$,解得$x_1=30$,$x_2=-29$(不符合题意,舍去),
∴这个班级的学生总人数是30. 故选B.
∴这个班级的学生总人数是30. 故选B.
解析
【分析】
解决这道题首先要理清数量关系：若设班级总人数为x，每位同学不需要给自己发祝福短信，因此每位同学需发送(x-1)条短信；总发送短信条数为人数乘每位同学的发送条数，据此可列出一元二次方程，求解后结合人数为正整数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设这个班级的学生总人数是x，则每一位同学需发送$(x-1)$条祝福短信。
根据题意列方程得：
$x(x-1)=870$
整理得：$x^2 - x - 870 = 0$
解方程得：$x_1=30$，$x_2=-29$
因为人数不能为负数，所以$x_2=-29$不符合题意，舍去。
因此这个班级的学生总人数是30，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程实际应用中的经典题型，解题关键是准确找到总发送量的等量关系，求解后注意结合实际意义排除无效根，属于基础常考题。
【难度系数】
0.75
解决这道题首先要理清数量关系：若设班级总人数为x，每位同学不需要给自己发祝福短信，因此每位同学需发送(x-1)条短信；总发送短信条数为人数乘每位同学的发送条数，据此可列出一元二次方程，求解后结合人数为正整数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设这个班级的学生总人数是x，则每一位同学需发送$(x-1)$条祝福短信。
根据题意列方程得：
$x(x-1)=870$
整理得：$x^2 - x - 870 = 0$
解方程得：$x_1=30$，$x_2=-29$
因为人数不能为负数，所以$x_2=-29$不符合题意，舍去。
因此这个班级的学生总人数是30，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程实际应用中的经典题型，解题关键是准确找到总发送量的等量关系，求解后注意结合实际意义排除无效根，属于基础常考题。
【难度系数】
0.75
7[2026山东枣庄调研]“中国体育彩票杯”山东省冰球锦标赛在威海冰球馆举行,分别采用单循环赛和小组赛.若在单循环赛中(每两支队伍之间进行一场比赛)共进行了78场,则本次锦标赛共有参赛队伍
13
支.答案
【解析】设本次锦标赛共有参赛队伍x支. 根据题意,得$\dfrac{x(x-1)}{2}=78$,整理得,$x^2-x-156=0$,解得$x=13$或$x=-12$(不符合题意,舍去),
∴本次锦标赛共有参赛队伍13支. 故答案为13.
∴本次锦标赛共有参赛队伍13支. 故答案为13.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确单循环赛的场次计算逻辑：若有x支队伍参赛，每支队伍需和除自身外的(x-1)支队伍各赛1场，直接计算x(x-1)时每场比赛会被重复统计2次，因此总场次应为$\frac{x(x-1)}{2}$。接下来结合题目给出的总场次78列一元二次方程，求解后根据队伍数为正整数的实际要求舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设本次锦标赛共有参赛队伍x支。
根据单循环赛总场次的计算规则，列方程得：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=78$
整理得：$x^2 - x - 156 = 0$
解方程得：$x_1=13$，$x_2=-12$
由于参赛队伍数量不能为负数，$x=-12$不符合实际意义，故舍去。
因此本次锦标赛共有参赛队伍13支。
【答案】
13
【知识点】
一元二次方程应用，比赛场次计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类基础题，解题关键是正确理解单循环赛的计数规则，避免重复计算，同时求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确单循环赛的场次计算逻辑：若有x支队伍参赛，每支队伍需和除自身外的(x-1)支队伍各赛1场，直接计算x(x-1)时每场比赛会被重复统计2次，因此总场次应为$\frac{x(x-1)}{2}$。接下来结合题目给出的总场次78列一元二次方程，求解后根据队伍数为正整数的实际要求舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设本次锦标赛共有参赛队伍x支。
根据单循环赛总场次的计算规则，列方程得：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=78$
整理得：$x^2 - x - 156 = 0$
解方程得：$x_1=13$，$x_2=-12$
由于参赛队伍数量不能为负数，$x=-12$不符合实际意义，故舍去。
因此本次锦标赛共有参赛队伍13支。
【答案】
13
【知识点】
一元二次方程应用，比赛场次计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类基础题，解题关键是正确理解单循环赛的计数规则，避免重复计算，同时求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
