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1 抛物线$y=-(x-1)^2$一定经过 （
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
D
）A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
【解析】抛物线$y=-(x-1)^2$开口向下,顶点坐标为$(1,0)$,对称轴为直线$x=1$,与$y$轴交于点$(0,-1)$,$\therefore$ 抛物线经过第三、四象限. 故选 D.
解析
【分析】
要判断抛物线经过的象限，可按照以下思路推导：第一步先根据二次函数顶点式的系数特征确定开口方向，明确函数值的取值范围；第二步确定顶点坐标，判断顶点位置；第三步计算抛物线与y轴的交点，结合开口方向分析不同x取值范围下的点的坐标特征，最终确定经过的象限。本题抛物线为顶点式，首先可直接判断开口向下，函数最大值为0，因此不会经过y＞0的第一、二象限，再结合顶点、与y轴交点的位置，即可判断剩余经过的象限。
【解析】
对于抛物线$y=-(x-1)^2$：
1. 由二次项系数$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，函数最大值为0，因此抛物线上所有点的纵坐标满足$y≤0$，排除第一、二象限；
2. 由顶点式直接得顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$；
3. 令$x=0$，代入得$y=-(0-1)^2=-1$，即抛物线与y轴交于点$(0,-1)$；
4. 结合坐标特征分析：当$x＞1$时，$x＞0、y＜0$，对应第四象限；当$x＜0$时，$x＜0、y＜0$，对应第三象限。
因此抛物线经过第三、四象限，故选D。
【答案】D
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数图象象限判定
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握从顶点式中提取开口方向、顶点坐标等核心信息的方法，结合特殊点的坐标即可快速判断图象经过的象限，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线经过的象限，可按照以下思路推导：第一步先根据二次函数顶点式的系数特征确定开口方向，明确函数值的取值范围；第二步确定顶点坐标，判断顶点位置；第三步计算抛物线与y轴的交点，结合开口方向分析不同x取值范围下的点的坐标特征，最终确定经过的象限。本题抛物线为顶点式，首先可直接判断开口向下，函数最大值为0，因此不会经过y＞0的第一、二象限，再结合顶点、与y轴交点的位置，即可判断剩余经过的象限。
【解析】
对于抛物线$y=-(x-1)^2$：
1. 由二次项系数$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，函数最大值为0，因此抛物线上所有点的纵坐标满足$y≤0$，排除第一、二象限；
2. 由顶点式直接得顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$；
3. 令$x=0$，代入得$y=-(0-1)^2=-1$，即抛物线与y轴交于点$(0,-1)$；
4. 结合坐标特征分析：当$x＞1$时，$x＞0、y＜0$，对应第四象限；当$x＜0$时，$x＜0、y＜0$，对应第三象限。
因此抛物线经过第三、四象限，故选D。
【答案】D
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数图象象限判定
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握从顶点式中提取开口方向、顶点坐标等核心信息的方法，结合特殊点的坐标即可快速判断图象经过的象限，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
2[2026浙江义乌质检]若小明将如图所示的两条水平线AB,CD中的一条当成x轴,且向右为正方向;两条铅垂线AC,BD中的一条当成y轴,且向上为正方向,并在此坐标平面中画出了二次函数$y=2(x-1)^2$的图象,则坐标原点可能是 (
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
C
)A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
【解析】$\because y=2(x-1)^2$,$\therefore$ 二次函数图象的顶点坐标是$(1,0)$,$\therefore$ 坐标原点可能是点$C$,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：其顶点坐标为$(h,0)$。首先根据给定的二次函数解析式求出顶点坐标，再结合顶点坐标的特征分析x轴的位置：顶点的纵坐标为0，说明顶点在x轴上，因此可确定下方的水平线CD为x轴；再根据顶点横坐标为1（正数），说明顶点在原点右侧，即可推出原点是CD上位于顶点左侧的交点C。
【解析】
$\because$ 二次函数的解析式为$y=2(x-1)^2$，
$\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(1,0)$，
由此可知：顶点在x轴上，且顶点位于原点右侧1个单位长度处。
观察图象可得二次函数的顶点在水平线CD上，因此CD为x轴，且顶点在点C、D之间，横坐标为正，因此坐标原点为点C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，平面直角坐标系，二次函数图象
【点评】
本题考查二次函数顶点式与平面直角坐标系的结合应用，解题关键是熟练掌握顶点式下二次函数顶点坐标的求法，结合坐标系的正负方向特征即可判断原点位置。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：其顶点坐标为$(h,0)$。首先根据给定的二次函数解析式求出顶点坐标，再结合顶点坐标的特征分析x轴的位置：顶点的纵坐标为0，说明顶点在x轴上，因此可确定下方的水平线CD为x轴；再根据顶点横坐标为1（正数），说明顶点在原点右侧，即可推出原点是CD上位于顶点左侧的交点C。
【解析】
$\because$ 二次函数的解析式为$y=2(x-1)^2$，
$\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(1,0)$，
由此可知：顶点在x轴上，且顶点位于原点右侧1个单位长度处。
观察图象可得二次函数的顶点在水平线CD上，因此CD为x轴，且顶点在点C、D之间，横坐标为正，因此坐标原点为点C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，平面直角坐标系，二次函数图象
【点评】
本题考查二次函数顶点式与平面直角坐标系的结合应用，解题关键是熟练掌握顶点式下二次函数顶点坐标的求法，结合坐标系的正负方向特征即可判断原点位置。
【难度系数】
0.7
3 [2026安徽阜阳期中]抛物线$y=-3(x-4)^2$与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的相同点是 （
A.对称轴相同
B.顶点相同
C.顶点都在$x$轴上
D.形状相同
C
）A.对称轴相同
B.顶点相同
C.顶点都在$x$轴上
D.形状相同
答案
【解析】抛物线$y=-3(x-4)^2$的开口向下,对称轴为直线$x=4$,顶点坐标为$(4,0)$,抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口向上,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$,$\therefore$ 两条抛物线的对称轴不同,顶点不同,顶点都在$x$轴上.$\because |-3|\ne \left|\frac{1}{2}\right|$,$\therefore$ 两条抛物线的形状不同. 故选 C.
解析
【分析】
要解这道题，首先需要回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，$|a|$决定抛物线的开口大小（即形状，$|a|$相同则形状相同），对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。解题时先分别求出两个抛物线的对称轴、顶点坐标、判断形状是否相同，再逐一对比选项即可得出答案。
【解析】
抛物线$y=-3(x-4)^2$的开口向下，对称轴为直线$x=4$，顶点坐标为$(4,0)$；抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口向上，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
据此逐一判断选项：
A选项：两条抛物线对称轴分别为直线$x=4$和直线$x=0$，不相同，A错误；
B选项：两条抛物线顶点分别为$(4,0)$和$(0,0)$，不相同，B错误；
C选项：两个顶点的纵坐标均为0，因此顶点都在$x$轴上，C正确；
D选项：抛物线的形状由$|a|$决定，$|-3|≠|\frac{1}{2}|$，因此形状不同，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征；坐标轴上点的特征
【点评】
本题侧重考查二次函数顶点式的基础性质，核心是掌握参数$a$、$h$对抛物线图象特征的影响，只要熟练记忆相关知识点，就能快速排除错误选项得到正确答案。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先需要回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，$|a|$决定抛物线的开口大小（即形状，$|a|$相同则形状相同），对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。解题时先分别求出两个抛物线的对称轴、顶点坐标、判断形状是否相同，再逐一对比选项即可得出答案。
【解析】
抛物线$y=-3(x-4)^2$的开口向下，对称轴为直线$x=4$，顶点坐标为$(4,0)$；抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口向上，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
据此逐一判断选项：
A选项：两条抛物线对称轴分别为直线$x=4$和直线$x=0$，不相同，A错误；
B选项：两条抛物线顶点分别为$(4,0)$和$(0,0)$，不相同，B错误；
C选项：两个顶点的纵坐标均为0，因此顶点都在$x$轴上，C正确；
D选项：抛物线的形状由$|a|$决定，$|-3|≠|\frac{1}{2}|$，因此形状不同，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征；坐标轴上点的特征
【点评】
本题侧重考查二次函数顶点式的基础性质，核心是掌握参数$a$、$h$对抛物线图象特征的影响，只要熟练记忆相关知识点，就能快速排除错误选项得到正确答案。
【难度系数】
0.8
4 已知二次函数$y=-2(x+b)^2$，当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，则当$x=1$时，$y=$（
A.-12
B.12
C.32
D.-32
D
）A.-12
B.12
C.32
D.-32
答案
【解析】$\because$ 当$x＜-3$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞-3$时,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=-3$,$\therefore b=3$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-2(x+3)^2$,$\therefore$ 当$x=1$时,$y=-2×(1+3)^2=-32$. 故选 D.
关键点拨
根据增减性得出对称轴,从而确定$b$的值是解题关键.
关键点拨
根据增减性得出对称轴,从而确定$b$的值是解题关键.
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：当$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴为直线$x=h$，此时对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。本题给出的函数增减性符合开口向下的二次函数在对称轴两侧的变化规律，因此可先根据增减性确定对称轴为$x=-3$，再对比所给函数解析式求出参数$b$的值，最后将$x=1$代入解析式计算$y$的值即可。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=-2(x+b)^2$中$a=-2＜0$，开口向下，且当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线$x=-3$，
又$\because$ 顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，题干中函数可写为$y=-2[x-(-b)]^2$，即对称轴为$x=-b$，
$\therefore -b=-3$，解得$b=3$，
$\therefore$ 二次函数解析式为$y=-2(x+3)^2$，
将$x=1$代入解析式得：$y=-2×(1+3)^2=-2×16=-32$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数对称轴
【点评】
本题重点考查二次函数顶点式的图象与性质，解题核心是通过函数的增减性判断出抛物线的对称轴，进而求出未知参数后代入求值，属于基础知识点的应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：当$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴为直线$x=h$，此时对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。本题给出的函数增减性符合开口向下的二次函数在对称轴两侧的变化规律，因此可先根据增减性确定对称轴为$x=-3$，再对比所给函数解析式求出参数$b$的值，最后将$x=1$代入解析式计算$y$的值即可。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=-2(x+b)^2$中$a=-2＜0$，开口向下，且当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线$x=-3$，
又$\because$ 顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，题干中函数可写为$y=-2[x-(-b)]^2$，即对称轴为$x=-b$，
$\therefore -b=-3$，解得$b=3$，
$\therefore$ 二次函数解析式为$y=-2(x+3)^2$，
将$x=1$代入解析式得：$y=-2×(1+3)^2=-2×16=-32$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数对称轴
【点评】
本题重点考查二次函数顶点式的图象与性质，解题核心是通过函数的增减性判断出抛物线的对称轴，进而求出未知参数后代入求值，属于基础知识点的应用类题目。
【难度系数】
0.8
5[2026辽宁抚顺期中]已知$A(-4,y_1),B(-3,y_2),C(3,y_3)$三点都在二次函数$y=-2(x+2)^2$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为
$y_3＜y_1＜y_2$
.(用“＜”连接)答案
【解析】$\because y=-2(x+2)^2$,$\therefore$ 其图象的对称轴为直线$x=-2$,$\therefore C(3,y_3)$关于对称轴对称的点的坐标为$(-7,y_3)$.$\because$ 当$x＜-2$时,$y$随$x$的增大而增大,$-7＜-4＜-3$,$\therefore y_3＜y_1＜y_2$. 故答案为$y_3＜y_1＜y_2$.
解析
【分析】要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，首先需明确该二次函数的基本性质：先确定函数的开口方向、对称轴，再判断三个点与对称轴的位置关系，若点分布在对称轴两侧，可利用二次函数的对称性将点转化到对称轴的同一侧，最后结合函数的增减性比较横坐标大小，进而得到纵坐标的大小关系，也可直接代入各点横坐标计算y值后比较。
【解析】
∵ 二次函数的解析式为$y=-2(x+2)^2$，
∴ 抛物线开口向下，图象的对称轴为直线$x=-2$，
∴ 点$C(3,y_3)$关于对称轴对称的点的坐标为$(-7,y_3)$。
∵ 抛物线开口向下，当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大，
又
∵ $-7＜-4＜-3$，
∴ $y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称性；函数增减性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常考基础题，解题核心是利用对称轴将异侧点转化为同侧点，结合开口方向对应的增减性快速比较大小，也可通过代入求值的方法直接计算，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
【解析】
∵ 二次函数的解析式为$y=-2(x+2)^2$，
∴ 抛物线开口向下，图象的对称轴为直线$x=-2$，
∴ 点$C(3,y_3)$关于对称轴对称的点的坐标为$(-7,y_3)$。
∵ 抛物线开口向下，当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大，
又
∵ $-7＜-4＜-3$，
∴ $y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称性；函数增减性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常考基础题，解题核心是利用对称轴将异侧点转化为同侧点，结合开口方向对应的增减性快速比较大小，也可通过代入求值的方法直接计算，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
6 已知二次函数$y=3(x-3)^2$，当$x$分别取$x_1,x_2$（$x_1≠x_2$）时，函数值相等，则当$x$取$3x_1+3x_2$时，函数值为
675
。答案
【解析】$\because$ 二次函数$y=3(x-3)^2$,$\therefore$ 该函数图象开口向上,对称轴为直线$x=3$.$\because$ 当$x$分别取$x_1$,$x_2(x_1\ne x_2)$时,函数值相等,$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}=3$,$\therefore x_1+x_2=6$,$\therefore 3x_1+3x_2=3(x_1+x_2)=18$,$\therefore$ 当$x$取$3x_1+3x_2$时,函数值为$3×15^2=675$,故答案为 675.
解析
【分析】
首先观察二次函数的表达式为顶点式，先确定其对称轴。当两个不同自变量对应的函数值相等时，这两个自变量关于抛物线的对称轴对称，即两个自变量的平均值等于对称轴对应的横坐标，由此可求出$x_1+x_2$的值，再计算$3x_1+3x_2$的值，最后代入二次函数表达式即可求出对应的函数值。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=3(x-3)^2$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=3$。
$\because$ 当$x$分别取$x_1$，$x_2$（$x_1\ne x_2$）时，函数值相等，
$\therefore$ $x_1$和$x_2$关于直线$x=3$对称，即$\frac{x_1+x_2}{2}=3$，
$\therefore$ $x_1+x_2=6$，
$\therefore$ $3x_1+3x_2=3(x_1+x_2)=3×6=18$，
将$x=18$代入$y=3(x-3)^2$得：
$y=3×(18-3)^2=3×15^2=3×225=675$。
【答案】
675
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题关键是掌握二次函数的对称性，明确函数值相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，整体代入计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.75
首先观察二次函数的表达式为顶点式，先确定其对称轴。当两个不同自变量对应的函数值相等时，这两个自变量关于抛物线的对称轴对称，即两个自变量的平均值等于对称轴对应的横坐标，由此可求出$x_1+x_2$的值，再计算$3x_1+3x_2$的值，最后代入二次函数表达式即可求出对应的函数值。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=3(x-3)^2$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=3$。
$\because$ 当$x$分别取$x_1$，$x_2$（$x_1\ne x_2$）时，函数值相等，
$\therefore$ $x_1$和$x_2$关于直线$x=3$对称，即$\frac{x_1+x_2}{2}=3$，
$\therefore$ $x_1+x_2=6$，
$\therefore$ $3x_1+3x_2=3(x_1+x_2)=3×6=18$，
将$x=18$代入$y=3(x-3)^2$得：
$y=3×(18-3)^2=3×15^2=3×225=675$。
【答案】
675
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题关键是掌握二次函数的对称性，明确函数值相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，整体代入计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.75
7 新考向开放性试题 有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A:函数图象的顶点在$x$轴上；
B:当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小；
C:该函数图象的形状与函数$y=-2x^2$的图象相同。
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式：
A:函数图象的顶点在$x$轴上；
B:当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小；
C:该函数图象的形状与函数$y=-2x^2$的图象相同。
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式：
$y=-2(x-1)^2$(答案不唯一)
。答案
【解析】根据 A 的描述可设二次函数表达式为$y=a(x-h)^2$,根据 C 的描述可知$|a|=|-2|=2$,再结合 B 的描述可得出$h\le 1$,且$a=-2$,所以满足上述所有性质的二次函数表达式可以是$y=-2(x-1)^2$,故答案为$y=-2(x-1)^2$(答案不唯一).
解析
【分析】
解题时可结合二次函数的性质逐步推导：①首先根据“顶点在x轴上”的特征，可知顶点纵坐标为0，因此优先选择顶点式设函数解析式，可简化计算；②再根据“图象形状与$y=-2x^2$相同”，可知二次项系数的绝对值和$y=-2x^2$的二次项系数相等，先确定$a$的绝对值；③最后结合“$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小”的增减性，判断开口方向确定$a$的符号，再确定对称轴的取值范围，选取符合要求的数值即可写出解析式。
【解析】
第一步：根据A的描述，二次函数顶点在x轴上，即顶点纵坐标为0，设该二次函数的表达式为$y=a(x-h)^2$（$a≠0$，顶点坐标为$(h,0)$）；
第二步：根据C的描述，函数图象形状与$y=-2x^2$相同，因此二次项系数的绝对值相等，即$|a|=|-2|=2$；
第三步：根据B的描述，当$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，说明二次函数开口向下，且对称轴$x=h$小于等于1（开口向下的二次函数，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小），因此可得$a=-2$，$h≤1$；
第四步：选取满足$h≤1$的任意数值即可，例如取$h=1$，得到解析式$y=-2(x-1)^2$，答案不唯一。
【答案】
$y=-2(x-1)^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数增减性；二次函数图象性质
【点评】
本题为开放性基础题，需要结合多个条件逐步确定二次函数的系数与对称轴范围，既考查对二次函数核心性质的理解运用，也留有灵活答题的空间，解题时注意开口方向和对称轴的限制条件即可。
【难度系数】
0.7
解题时可结合二次函数的性质逐步推导：①首先根据“顶点在x轴上”的特征，可知顶点纵坐标为0，因此优先选择顶点式设函数解析式，可简化计算；②再根据“图象形状与$y=-2x^2$相同”，可知二次项系数的绝对值和$y=-2x^2$的二次项系数相等，先确定$a$的绝对值；③最后结合“$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小”的增减性，判断开口方向确定$a$的符号，再确定对称轴的取值范围，选取符合要求的数值即可写出解析式。
【解析】
第一步：根据A的描述，二次函数顶点在x轴上，即顶点纵坐标为0，设该二次函数的表达式为$y=a(x-h)^2$（$a≠0$，顶点坐标为$(h,0)$）；
第二步：根据C的描述，函数图象形状与$y=-2x^2$相同，因此二次项系数的绝对值相等，即$|a|=|-2|=2$；
第三步：根据B的描述，当$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，说明二次函数开口向下，且对称轴$x=h$小于等于1（开口向下的二次函数，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小），因此可得$a=-2$，$h≤1$；
第四步：选取满足$h≤1$的任意数值即可，例如取$h=1$，得到解析式$y=-2(x-1)^2$，答案不唯一。
【答案】
$y=-2(x-1)^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数增减性；二次函数图象性质
【点评】
本题为开放性基础题，需要结合多个条件逐步确定二次函数的系数与对称轴范围，既考查对二次函数核心性质的理解运用，也留有灵活答题的空间，解题时注意开口方向和对称轴的限制条件即可。
【难度系数】
0.7
8 已知抛物线$y=a(x-h)^2$，当$x=2$时，$y$有最大值，且抛物线过点$(1,-3)$。
(1)求抛物线的表达式；
(2)当$y$随$x$的增大而增大时，求$x$的取值范围；
(3)求抛物线与$y$轴的交点坐标。
(1)求抛物线的表达式；
(2)当$y$随$x$的增大而增大时，求$x$的取值范围；
(3)求抛物线与$y$轴的交点坐标。
答案
【解】(1)$\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$,当$x=2$时,$y$有最大值,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2$.$\because$ 抛物线过点$(1,-3)$,$\therefore -3=a(1-2)^2$,$\therefore a=-3$,$\therefore$ 此抛物线的表达式为$y=-3(x-2)^2$.
(2)$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=2$,且抛物线开口向下,$\therefore$ 当$x＜2$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore x$的取值范围为$x＜2$.
(3)当$x=0$时,$y=-3×(0-2)^2=-12$,$\therefore$ 抛物线$y=-3(x-2)^2$与$y$轴的交点坐标为$(0,-12)$.
(2)$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=2$,且抛物线开口向下,$\therefore$ 当$x＜2$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore x$的取值范围为$x＜2$.
(3)当$x=0$时,$y=-3×(0-2)^2=-12$,$\therefore$ 抛物线$y=-3(x-2)^2$与$y$轴的交点坐标为$(0,-12)$.
解析
【分析】
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$中，$h$是顶点横坐标，当函数有最大值时，顶点就是最高点，对应$x$值即为$h$，因此先确定$h=2$，再将已知点$(1,-3)$代入表达式即可求出$a$的值，得到抛物线解析式；
(2) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，先根据$a$的正负判断开口方向，结合对称轴位置，开口向下时对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，据此得到$x$的取值范围；
(3) 抛物线与$y$轴交点的横坐标为0，将$x=0$代入抛物线解析式计算对应的$y$值，即可得到交点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$，当$x=2$时，$y$有最大值，$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2$。
$\because$ 抛物线过点$(1,-3)$，$\therefore$ 代入得$-3=a(1-2)^2$，解得$a=-3$，
$\therefore$ 此抛物线的表达式为$y=-3(x-2)^2$。
(2) $\because$ $a=-3＜0$，抛物线开口向下，且对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$ 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大，即$x$的取值范围为$x＜2$。
(3) 令$x=0$，代入解析式得$y=-3×(0-2)^2=-12$，
$\therefore$ 抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,-12)$。
【答案】
(1) $y=-3(x-2)^2$；(2) $x＜2$；(3) $(0,-12)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数增减性 3. 二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题考查二次函数$y=a(x-h)^2$的基础性质，题型常规，难度较低，解题关键是牢记顶点式各参数的意义，熟练掌握函数增减性判断方法、坐标轴交点的求解逻辑，是二次函数部分的核心基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$中，$h$是顶点横坐标，当函数有最大值时，顶点就是最高点，对应$x$值即为$h$，因此先确定$h=2$，再将已知点$(1,-3)$代入表达式即可求出$a$的值，得到抛物线解析式；
(2) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，先根据$a$的正负判断开口方向，结合对称轴位置，开口向下时对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，据此得到$x$的取值范围；
(3) 抛物线与$y$轴交点的横坐标为0，将$x=0$代入抛物线解析式计算对应的$y$值，即可得到交点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$，当$x=2$时，$y$有最大值，$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2$。
$\because$ 抛物线过点$(1,-3)$，$\therefore$ 代入得$-3=a(1-2)^2$，解得$a=-3$，
$\therefore$ 此抛物线的表达式为$y=-3(x-2)^2$。
(2) $\because$ $a=-3＜0$，抛物线开口向下，且对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$ 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大，即$x$的取值范围为$x＜2$。
(3) 令$x=0$，代入解析式得$y=-3×(0-2)^2=-12$，
$\therefore$ 抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,-12)$。
【答案】
(1) $y=-3(x-2)^2$；(2) $x＜2$；(3) $(0,-12)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数增减性 3. 二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题考查二次函数$y=a(x-h)^2$的基础性质，题型常规，难度较低，解题关键是牢记顶点式各参数的意义，熟练掌握函数增减性判断方法、坐标轴交点的求解逻辑，是二次函数部分的核心基础题。
【难度系数】
0.8
9[2026湖南长沙期中]把抛物线$y=(x-1)^2$向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（
A.$y=(x-1)^2+2$
B.$y=(x+3)^2$
C.$y=(x+1)^2$
D.$y=(x-3)^2$
C
）A.$y=(x-1)^2+2$
B.$y=(x+3)^2$
C.$y=(x+1)^2$
D.$y=(x-3)^2$
答案
【解析】把抛物线$y=(x-1)^2$向左平移 2 个单位长度,平移后抛物线的表达式为$y=(x-1+2)^2$,即$y=(x+1)^2$,故选 C.
解析
【分析】
解决本题首先要掌握二次函数图象平移的核心规律：对于顶点式的二次函数$y=a(x-h)^2+k$，平移时遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中左右平移是针对自变量$x$进行操作（向左平移$m$个单位时，将$x$替换为$x+m$；向右平移$m$个单位时，将$x$替换为$x-m$），上下平移是针对常数项操作。本题是向左平移2个单位，因此只需对$x$部分做“加2”的变换，再化简即可得到平移后的表达式。
【解析】
根据二次函数平移“左加右减”的规律，将抛物线$y=(x-1)^2$向左平移2个单位长度时，需将原式中$x$替换为$x+2$，可得平移后抛物线的表达式为：
$y=(x-1+2)^2$
化简得$y=(x+1)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的平移规则，解题的易错点是容易混淆左右平移的加减方向，注意“左加右减”是针对自变量$x$本身的变换，不要和上下平移的操作混淆。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要掌握二次函数图象平移的核心规律：对于顶点式的二次函数$y=a(x-h)^2+k$，平移时遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中左右平移是针对自变量$x$进行操作（向左平移$m$个单位时，将$x$替换为$x+m$；向右平移$m$个单位时，将$x$替换为$x-m$），上下平移是针对常数项操作。本题是向左平移2个单位，因此只需对$x$部分做“加2”的变换，再化简即可得到平移后的表达式。
【解析】
根据二次函数平移“左加右减”的规律，将抛物线$y=(x-1)^2$向左平移2个单位长度时，需将原式中$x$替换为$x+2$，可得平移后抛物线的表达式为：
$y=(x-1+2)^2$
化简得$y=(x+1)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的平移规则，解题的易错点是容易混淆左右平移的加减方向，注意“左加右减”是针对自变量$x$本身的变换，不要和上下平移的操作混淆。
【难度系数】
0.85
10[2026江西南昌质检]若将抛物线$y=(x-3)^2$的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的是（
A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
C
）A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
答案
【解析】$\because$ 抛物线$y=(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$,原点坐标为$(0,0)$,将$(3,0)$向左平移 3 个单位长度得到$(0,0)$,$\therefore$ 平移方法为向左平移 3 个单位长度. 故选 C.
归纳总结
抛物线 $y=ax^2$,当向右平移 $h(h＞0)$ 个单位长度时,得到抛物线 $y=a(x-h)^2$;当向左平移 $h(h＞0)$ 个单位长度时,得到抛物线 $y=a(x+h)^2$.
归纳总结
抛物线 $y=ax^2$,当向右平移 $h(h＞0)$ 个单位长度时,得到抛物线 $y=a(x-h)^2$;当向左平移 $h(h＞0)$ 个单位长度时,得到抛物线 $y=a(x+h)^2$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，先求出原抛物线的顶点坐标；第二步，明确平移目标是将顶点移到原点$(0,0)$，对比原顶点坐标和原点坐标的差异；第三步，根据坐标平移“左减右加、上加下减”的规律，判断平移的方向和距离，最后匹配选项即可。
【解析】
$\because$ 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，
$\therefore$ 抛物线$y=(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$，
又$\because$ 平移目标为顶点移到原点$(0,0)$，横坐标从3变为0，需减少3，纵坐标无变化，
$\therefore$ 需将抛物线向左平移3个单位长度。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点考察对顶点式顶点坐标的识别和平移规律的应用，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，先求出原抛物线的顶点坐标；第二步，明确平移目标是将顶点移到原点$(0,0)$，对比原顶点坐标和原点坐标的差异；第三步，根据坐标平移“左减右加、上加下减”的规律，判断平移的方向和距离，最后匹配选项即可。
【解析】
$\because$ 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，
$\therefore$ 抛物线$y=(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$，
又$\because$ 平移目标为顶点移到原点$(0,0)$，横坐标从3变为0，需减少3，纵坐标无变化，
$\therefore$ 需将抛物线向左平移3个单位长度。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点考察对顶点式顶点坐标的识别和平移规律的应用，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
