24.(8分)如图1所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,连结BD,P为BD上的一点,过点P的线段分别交边AD,BC于点E,F。

(1)若$PB=PD$,求证:$BE=DF$。
(2)在(1)的条件下,请再添加一个条件(不再连线和添加字母),使得四边形EBFD为菱形,并说明理由。
(3)当$EF⊥BC$且四边形EBFD有且仅有两条边相等时,求AE的长。

24.(1)证明:在矩形 $ABCD$ 中,因为 $AD//BC$,所以 $∠PBF=∠PDE$。又因为 $∠BPF=∠DPE$,$PB=PD$,所以 $△PBF≌△PDE(\mathrm{ASA})$,所以 $BF=DE$,又因为 $AD//BC$,即 $DE//BF$,所以四边形 $BFDE$ 是平行四边形,所以 $BE=DF$。
(2)方法1:添加 $EB=ED$(或$∠EDB=∠EBD$)。理由如下:因为四边形 $EBFD$ 是平行四边形,$EB=ED$,所以四边形 $EBFD$ 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)。方法2:添加 $EF⊥BD$(或$∠EBP+∠BEP=90°$)。理由如下:因为四边形 $EBFD$ 是平行四边形,$EF⊥BD$,所以四边形 $EBFD$ 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。方法3:添加 $BP$ 平分 $∠EBF$(或 $EF$ 平分 $∠BED$)。理由如下:在 $▱EBFD$ 中,因为 $ED//BF$,所以 $∠EDB=∠FBD$。因为 $BP$ 平分 $∠EBF$,所以 $∠EBD=∠FBD$,所以 $∠EDB=∠EBD$,所以 $EB=ED$,所以 $▱EBFD$ 是菱形。
(3)①如图1所示,当 $BE=DE$ 时,设 $BE=DE=x$,则 $AE=8-x$。在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中,$(8-x)^2+4^2=x^2$,解得 $x=5$,此时 $AE=8-x=3$;②如图2所示,当 $BE=DF$ 时,易证 $△BEF≌△FDC$,所以 $BF=FC=4$,此时 $AE=ED=4$。不合题意,舍去;③如图2所示,当 $BF=DE$ 时,易得 $BE=DF$,不合题意,舍去;④如图3所示,当 $BF=DF$ 时,设 $BF=DF=a$,则 $CF=8-a$,$\mathrm{Rt}△CDF$ 中,$(8-a)^2+4^2=a^2$,解得 $a=5$,所以 $AE=BF=a=5$。综上所述,$AE$ 的长为 3 或 5。