1[中]若实数$a,b$满足$|a|+|b|＞|a+b|$，则点$M(a,b)$所在的象限为 ()

A.第一或三象限
B.第二或四象限
C.第一或二象限
D.第三或四象限

1.B 【解析】因为实数 $a,b$ 满足 $|a|+|b|＞|a+b|$,所以 $\begin{cases}a＞0,\\b＜0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a＜0,\\b＞0,\end{cases}$ 所以点 $M(a,b)$ 所在的象限为第二或四象限. 故选 B.

2[2026浙江宁波期中,中]如图,在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形,经过原点的一条直线$l$将这8个正方形分成面积相等的两部分,直线$l$与图形上边沿交于点$A$,则点$A$的横坐标为 ()

A.$\frac{19}{6}$
B.$\frac{10}{3}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{11}{3}$

(第2题图)
(第5题图)

2.B 【解析】如图,过 A 作 $AB ⊥ y$ 轴于 B. 因为正方形的边长为 1, 所以 $OB=3$. 因为经过原点的一条直线 $l$ 将这 8 个正方形分成面积相等的两部分, 所以两部分面积均为 $1^2×8÷2=4$, 所以 $△ ABO$ 的面积是 $4+1^2=5$, 所以 $\frac{1}{2}OB· AB=5$, 所以 $AB=\frac{10}{3}$,则点 A 的横坐标为 $\frac{10}{3}$. 故选 B.

3[2025福建厦门期末,较难]在平面直角坐标系中,点$A(m,0)$,$B(2m+3,0)$,$P(2m+1,0)$,$PQ⊥x$轴,点$Q$的纵坐标为$m$.以下说法错误的是()

A.当$m=-5$时,点$B$是线段$AP$的中点
B.当$m≥-1$时,点$P$一定在线段$AB$上
C.存在唯一一个$m$的值,使得$AB=PQ$
D.存在唯一一个$m$的值,使得$AB=2PQ$

3.D 【解析】A 选项,当 $m=-5$ 时, $A(-5,0)$,$B(-7,0)$,$P(-9,0)$. 因为 $AB=(-5)-(-7)=2$,$BP=(-7)-(-9)=2$,所以 $AB=BP$. 又因为 A,B,P 三点都在 x 轴上,所以点 B 是线段 AP 的中点,故 A 选项正确,不符合题意. B 选项,当 $m≥-1$时,$2m+1-m=m+1≥0$,则点 P 在点 A 右侧或与点 A 重合. 又因为 $2m+1＜2m+3$,所以点 P 在点 B 左侧,所以点 P 一定在线段 AB 上,故 B 选项正确,不符合题意. C 选项,因为 $A(m,0),B(2m+3,0),P(2m+1,0),Q(2m+1,m)$, 所以 $AB=|2m+3-m|=|m+3|$,$PQ=|m|$. 若 $AB=PQ$,则$|m+3|=|m|$. 因为 $m+3≠ m$,所以 $m+3=-m$,解得 $m=-\frac{3}{2}$,所以当 $m=-\frac{3}{2}$ 时,$AB=PQ$,故 C 选项正确,不符合题意. D 选项,因为 $AB=|m+3|$,$PQ=|m|$,若 $AB=2PQ$,则 $|m+3|=2|m|$,则 $m+3=2m$ 或 $m+3=-2m$,解得 $m=3$ 或 $m=-1$,所以当 $m=3$ 或 $m=-1$ 时,$AB=2PQ$,故 D 选项错误,符合题意. 故选 D.

4[中]已知当$m,n$都是实数，且满足$2m - n = 8$时，称$P(m - 1, \dfrac{n + 2}{2})$为“和谐点”。若点$A(a, 2a - 1)$是“和谐点”，则点A在第象限。

4.三 【解析】因为点 $A(a,2a-1)$ 是“和谐点”,所以 $m-1=a$,$\frac{n+2}{2}=2a-1$,所以 $m=a+1$,$n=4a-4$,代入 $2m-n=8$ 得 $2(a+1)-(4a-4)=8$,所以 $a=-1$,所以 $2a-1=-3$,所以 $A(-1,-3)$,在第三象限. 故答案为三.

5[较难]如图,一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动.第1分钟,它从原点运动到点(1,0);第2分钟,它从点(1,0)运动到点(1,1),而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动,且每分钟运动1个单位长度,那么在第2023分钟时,这个粒子所在位置的坐标是.

5.$\boldsymbol{(44,1)}$ 【解析】由题意知点 $(0,0)$ 表示粒子运动了 0 分钟;点 $(1,1)$ 表示粒子运动了 $1×2=2$(分),将向左运动;点 $(2,2)$ 表示粒子运动了 $2×3=6$(分),将向下运动;点 $(3,3)$ 表示粒子运动了 $3×4=12$(分),将向左运动;…;根据规律可得出点 $(44,44)$ 表示粒子运动了 $44×45=1980$(分),将向下运动. 因为 $2023-1980=43$(分),所以在第 2023 分钟时,粒子向下运动了 43 个单位长度,所以粒子所在位置的坐标是 $(44,1)$,故答案为 $(44,1)$.

6[较难]在平面直角坐标系$xOy$中,给出如下定义:点$A$到$x$轴、$y$轴距离的较大值,称为点$A$的“长距”,当点$P$的“长距”等于点$Q$的“长距”时,称$P,Q$两点为“等距点”.若$P(-1,4),Q(k+3,4k-3)$两点为“等距点”,则$k$的值为.

6.$\boldsymbol{-\frac{1}{4}或1}$ 【解析】因为 $P(-1,4),Q(k+3,4k-3)$两点为“等距点”,所以 $|k+3|=4$ 或 $|4k-3|=4$.
①当 $|k+3|=4$ 时,$k+3=\pm4$,解得 $k=1$ 或 $k=-7$. 当 $k=1$ 时,$k+3=4,4k-3=1$,点 $Q(4,1)$ 的“长距”等于 4,符合题意;当 $k=-7$ 时,$k+3=-4,4k-3=-31$,点 $Q(-4,-31)$ 的“长距”等于 31,不符合题意,舍去. ②当 $|4k-3|=4$ 时,$4k-3=\pm4$,解得 $k=\frac{7}{4}$ 或 $k=-\frac{1}{4}$. 当 $k=\frac{7}{4}$ 时,$k+3=\frac{19}{4},4k-3=4$,点 $Q(\frac{19}{4},4)$ 的“长距”等于 $\frac{19}{4}$,不符合题意,舍去;当 $k=-\frac{1}{4}$ 时,$k+3=\frac{11}{4},4k-3=-4$,点 $Q(\frac{11}{4},-4)$ 的“长距”等于 4,符合题意. 综上所述,$k$ 的值为 $-\frac{1}{4}$ 或 1.

7[较难]在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点$A(-4,4-5a)$位于第二象限，点$B(-4,-a-1)$位于第三象限，且$a$为整数。
(1)求点$A$和点$B$的坐标；
(2)若点$C(m,0)$为$x$轴上一点，且$△ ABC$是以$BC$为底的等腰三角形，求$m$的值。
刷素养 走向重高

7.【解】(1)因为点 $A(-4,4-5a)$ 位于第二象限,点$B(-4,-a-1)$ 位于第三象限,
所以 $\begin{cases}4-5a＞0,\\-a-1＜0,\end{cases}$ 解得 $-1＜a＜\frac{4}{5}$. 因为 $a$ 为整数,所以 $a=0$,所以 $A(-4,4),B(-4,-1)$.
(2)因为 $A(-4,4),B(-4,-1)$,所以 $AB=5$.
因为 $△ ABC$ 是以 $BC$ 为底的等腰三角形,
所以 $AC=AB=5$.
如图,点 C 的位置有图中点 C 和点 $C'$ 两种情况,设 AB 与 x 轴交于点 D,则 $AD=4$. 在 $Rt△ ADC$ 中,$CD^2=AC^2-AD^2=9$,所以 $CD=3$.
由对称性可知,$C'D=CD=3$,所以 $m=-4+3=-1$或 $m=-4-3=-7$,所以 $m$ 的值为 $-1$ 或 $-7$.

8 核心素养推理能力[较难]在平面直角坐标系中，对于点$ P(x,y) $，若点$ Q $的坐标为$ (ax+y,x+ay) $，则称点$ Q $是点$ P $的“$ a $阶智慧点”($ a $为常数，且$ a≠0 $)。例如：点$ P(1,4) $的“2阶智慧点”为点$ Q(2×1+4,1+2×4) $，即点$ Q(6,9) $。
(1)点$ A(-1,-2) $的“3阶智慧点”的坐标为。
(2)若点$ B(2,-3) $的“$ a $阶智慧点”在第三象限，求$ a $的整数解。
(3)若点$ C(m+2,1-3m) $的“-5阶智慧点”到$ x $轴的距离为1，求$ m $的值。

8.【解】(1)点 $A(-1,-2)$ 的“3 阶智慧点”的坐标为 $(-3-2,-1-6)$,即 $(-5,-7)$. 故答案为 $(-5,-7)$.
(2)由题意得点 B 的“a 阶智慧点”为 $(2a-3,2-3a)$. 因为点 $(2a-3,2-3a)$ 在第三象限, 所以$\begin{cases}2a-3＜0,\\2-3a＜0,\end{cases}$ 解得 $\frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2}$.
因为 $a$ 取整数,所以 $a=1$.
(3)由题意得点 C 的“-5 阶智慧点”为 $(-8m-9,16m-3)$.
因为点 C 的“-5 阶智慧点”到 x 轴的距离为 1,所以 $|16m-3|=1$,所以 $16m-3=1$ 或 $16m-3=-1$,解得 $m=\frac{1}{4}$ 或 $m=\frac{1}{8}$.