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1 如图,在圆内接四边形ABCD中,若∠A,∠B,∠C的度数之比为4:3:5,则∠D的度数是 (
A.80°
B.100°
C.110°
D.120°
(第1题图) (第2题图)
D
)A.80°
B.100°
C.110°
D.120°
(第1题图) (第2题图)
答案
1.D 【解析】设∠A为4x,则∠B为3x,∠C为5x.
∵ 四边形ABCD为圆内接四边形,
∴ ∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,
∴ 4x+5x=180°,解得x=20°,
∴ ∠B=3x=60°,
∴ ∠D=180°-60°=120°,故选D.
∵ 四边形ABCD为圆内接四边形,
∴ ∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,
∴ 4x+5x=180°,解得x=20°,
∴ ∠B=3x=60°,
∴ ∠D=180°-60°=120°,故选D.
2 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,它的一个外角∠CBE=70°,则∠AOC的度数为 (
A.70°
B.110°
C.140°
D.160°
C
)A.70°
B.110°
C.140°
D.160°
答案
2.C 【解析】
∵ ∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角,∠CBE=70°,
∴ 易得∠D=∠CBE=70°,由圆周角定理得∠AOC=2∠D=140°,故选C.
∵ ∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角,∠CBE=70°,
∴ 易得∠D=∠CBE=70°,由圆周角定理得∠AOC=2∠D=140°,故选C.
3[2025浙江杭州期中]如图，AB为$\odot O$的直径，C为AB上方半圆上一点，$AD// OC$，AD交$\odot O$于点D，连结AC，CD，设$∠ BOC=x°$，$∠ ACD=y°$，则下列结论成立的是（
A.$x+y=90$
B.$2x+y=90$
C.$2x+y=180$
D.$x=y$
（第3题图）
（第4题图）
A
）A.$x+y=90$
B.$2x+y=90$
C.$2x+y=180$
D.$x=y$
（第3题图）
（第4题图）
答案
3.A 【解析】如图,连结BC.
∵ AB是直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ 四边形ADCB是圆的内接四边形,
∴ ∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°.又
∵ AD//OC,
∴ ∠BAD=∠BOC=x°,
∴ x+y+90=180,
∴ x+y=90.故选A.
4 如图，$\odot C$过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，连结AB，点A的坐标为$(0,3)$，M是第三象限内弧OB上一点，$∠ BMO=120°$，则$\odot C$的半径为
3
。答案
4.3 【解析】
∵ ∠AOB=90°,
∴ AB是⊙C的直径.
∵ 点A的坐标为(0,3),
∴ OA=3.
∵ 四边形ABMO是圆内接四边形,
∴ ∠BMO+∠A=180°.又
∵ ∠BMO=120°,
∴ ∠A=60°,
∴ ∠ABO=30°,
∴ AB=2OA=6,则⊙C的半径为3.
∵ ∠AOB=90°,
∴ AB是⊙C的直径.
∵ 点A的坐标为(0,3),
∴ OA=3.
∵ 四边形ABMO是圆内接四边形,
∴ ∠BMO+∠A=180°.又
∵ ∠BMO=120°,
∴ ∠A=60°,
∴ ∠ABO=30°,
∴ AB=2OA=6,则⊙C的半径为3.
5[2026浙江杭州期末]如图,点A,B,C,D,E都在$\odot O$上,连结$AC,BE,CD,DE$.若$\overset{\frown}{AB}$所对圆心角的度数为$40°$,则$∠ E+∠ C=$
(第5题图)
(第6题图)
160°
.(第5题图)
(第6题图)
答案
5.160° 【解析】如图,连结AE.
∵ $\overset{\frown}{AB}$所对圆心角的度数为40°,
∴ ∠BEA=20°.
∵ 点A,C,D,E都在⊙O上,
∴ 四边形DCAE为⊙O的内接四边形,
∴ ∠DEA+∠C=180°,
∴ ∠DEB+∠C=180°-20°=160°.故答案为160°.
6 如图,线段CD上有一点O,以O为圆心,OD长为半径作圆,$\odot O$上有一点A,连结AC交$\odot O$于B点,连结BD,若$BC=BD$,且$∠C=20°$,则$∠BDA=$
30°
.答案
6.30° 【解析】设CD与⊙O相交于点E,连结BE,如图.
∵ BC=BD,
∴ ∠C=∠BDC=20°,
∴ ∠CBD=180°-∠C-∠BDC=140°.
∵ ED是⊙O的直径,
∴ ∠EBD=90°,
∴ ∠BED=90°-∠BDC=70°.
∵ 四边形ABED是⊙O的内接四边形,
∴ ∠A=180°-∠BED=110°,
∴ ∠BDA=∠CBD-∠A=140°-110°=30°.
7[2025浙江宁波期中]在利用量角器进行角度测量时,小文同学放错了位置,将角的顶点放到了量角器的弧线上(如图),爱动脑筋的李涛同学忽然发现,这样也能得到∠ACB的度数.通过仔细观察,李涛同学发现射线CA,CB与量角器的交点A和B对应的刻度分别是50°和150°,则∠ACB的度数为
130°
.答案
7.130° 【解析】如图,构造⊙O,设⊙O的直径为EF,在EF下方的半圆上取点D,连结OA,OB,DA,DB.
由题意可知,∠AOE=50°,∠EOB=150°,∴ ∠AOB=∠EOB-∠AOE=150°-50°=100°,
∴ ∠ADB=$\frac{1}{2}$∠AOB=50°.由圆内接四边形的性质得∠ACB+∠ADB=180°,
∴ ∠ACB=130°.故答案为130°.
8 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,分别延长BC,AD,使它们相交于点E,AB=8,且DC=DE.
(1)求证:$∠ A=∠ AEB$.
(2)若$∠ EDC=90°$,点C为BE的中点,求$\odot O$的半径.
(1)求证:$∠ A=∠ AEB$.
(2)若$∠ EDC=90°$,点C为BE的中点,求$\odot O$的半径.
答案
8.
思路分析
(1)
(2)连结AC.
(1)【证明】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O,
∴ ∠A+∠BCD=180°.
∵ ∠BCD+∠DCE=180°,
∴ ∠A=∠DCE.
∵ DC=DE,
∴ ∠E=∠DCE,
∴ ∠A=∠AEB.
(2)【解】如图,连结AC.
∵ ∠EDC=90°,
∴ ∠ADC=90°,
∴ AC是⊙O的直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵ ∠BAD=∠AEB,
∴ AB=BE.
∵ AB=8,
∴ BE=8.
∵ 点C为BE的中点,
∴ BC=$\frac{1}{2}$BE=4.在Rt△ABC中,AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=$\sqrt{8^2+4^2}$=$4\sqrt{5}$,
∴ ⊙O的半径为$2\sqrt{5}$.
