1[2025 浙江温州模拟,中]把 $△ AEB$, $△ ACB$, $△ ACD$ 三个全等的三角形按如图所示摆放在圆内,$A$,$E$,$B$,$D$ 四点在圆上.若 $∠ BCD = 112°$,则 $∠ BAD$ 的度数是 ()

A.$72°$
B.$68°$
C.$56°$
D.$34°$

(第1题图)
(第2题图)

1.B 【解析】如图,连结BD.
∵ △AEB ≅ △ACB ≅ △ACD,
∴ ∠AEB=∠ACB=∠ACD,AB=AD.
∵ ∠BCD=112°,
∴ ∠AEB=∠ACB=∠ACD=$\frac{360°-112°}{2}$=124°.
∵ 四边形AEBD为圆内接四边形,
∴ ∠ADB=180°-∠AEB=180°-124°=56°.
∵ AB=AD,
∴ ∠ABD=∠ADB=56°,
∴ ∠BAD=180°-56°-56°=68°.故选B.

2[2026浙江宁波调研,中]如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,AC=2,则四边形ABCD的面积为 ()

A.4
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

2.D 【解析】如图,将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE,过点A作AF⊥CE于点F,
∴ △ABC ≅ △ADE,
∴ AC=AE,∠CAB=∠EAD,∠ABC=∠ADE,$S_{△ABC}=S_{△ADE}$.
∵ 四边形ABCD内接于圆,
∴ ∠ABC+∠ADC=180°,
∴ ∠ADC+∠ADE=180°,
∴ C,D,E三点共线,
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ACD}=S_{△ADE}+S_{△ACD}=S_{△ACE}$.
∵ ∠BAD=60°,
∴ ∠CAE=∠BAD=60°,
∴ △ACE为等边三角形,
∴ CF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AC=1,
∴ AF=$\sqrt{AC^2-CF^2}$=$\sqrt{3}$,
∴ △ACE的面积为$\frac{1}{2}×CE×AF$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$,
∴ 四边形ABCD的面积为$\sqrt{3}$.故选D.

3[2026浙江台州期末,中]如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠ D=120°$,点$P,M,N$分别是$AB$,$AD$,$DC$的中点,若$\odot O$的半径为2,则$PM+MN$的最大值是.

(第3题图)
(第4题图)

3.$2+\sqrt{3}$ 【解析】如图,连结BD,AC,OA,OC.
∵ 四边形ABCD内接于⊙O,
∴ ∠ABC+∠ADC=180°.
∵ ∠ADC=120°,
∴ ∠ABC=60°.
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$,
∴ ∠AOC=2∠ABC=120°.过O点作OH⊥AC于点H.
∵ OA=OC,
∴ AH=AC,∠OAH=30°,
∴ OH=$\frac{1}{2}$OA=1,
∴ AH=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$,
∴ AC=2AH=$2\sqrt{3}$.
∵ 点P,M分别是AB,AD的中点,
∴ PM=$\frac{1}{2}$BD,同理MN=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$,
∴ PM+MN=$\frac{1}{2}$BD+$\sqrt{3}$,
∴ 当BD的值最大时,PM+MN的值最大.
∵ BD为⊙O的弦,
∴ 当BD为⊙O的直径时,BD的值最大,
∴ 当BD=4时,PM+MN的值最大,最大值为$2+\sqrt{3}$.

4[2025浙江温州期中,较难]如图,在四边形ABCD中,AD//BC,过A,C,D的圆交BC于点E,连结AE.已知$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$,∠BAE=∠BEA.若$BE=\frac{5}{6},CE=\frac{25}{6}$,则圆的半径为.
刷素养 走向重高

4.$\frac{5\sqrt{5}}{2}$ 【解析】
∵ ∠BAE=∠BEA,
∴ AB=BE.
∵ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$,
∴ AE=CE.
∵ BE=$\frac{5}{6}CE$=$\frac{25}{6}$,
∴ AE=CE=5.如图,作BM⊥AE于M,AN⊥BE于N,
∴ EM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$,由勾股定理得,BM=$\sqrt{BE^2-EM^2}$=$\frac{10}{3}$.
∵ $S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·AN=\frac{1}{2}AE·BM$,
∴ $\frac{1}{2}×\frac{25}{6}×AN=\frac{1}{2}×5×\frac{10}{3}$,解得AN=4.
∵ 四边形AECD是圆内接四边形,
∴ 易得∠BEA=∠D.
∵ AD//BC,
∴ ∠EAD=∠BEA,
∴ ∠EAD=∠D,
∴ 四边形AECD是等腰梯形.作EP⊥AD于P,CQ⊥AD于Q,
∴ EP=CQ=AN=4,PQ=CE=5,AP=DQ.由勾股定理得,AP=$\sqrt{AE^2-EP^2}$=3,
∴ AD=AP+PQ+DQ=11.设圆的圆心为O,连结OA,OE,作OG⊥EC于G,交AD于H,
∴ EG=$\frac{1}{2}CE$=$\frac{5}{2}$,AH=$\frac{1}{2}AD$=$\frac{11}{2}$.设OA=OE=r,OH=x,则OG=x+4.由勾股定理得,$OA^2-OH^2=AH^2$,即$r^2-x^2=(\frac{11}{2})^2$,① $OE^2-OG^2=EG^2$,即$r^2-(x+4)^2=(\frac{5}{2})^2$,② ①-②,得$r^2-x^2-r^2+(x+4)^2=24$,解得x=1.将x=1代入①得$r^2-1=(\frac{11}{2})^2$,解得r=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$或r=-$\frac{5\sqrt{5}}{2}$(舍去).故答案为$\frac{5\sqrt{5}}{2}$.

5 核心素养 几何直观 [2026 山西太原质检,较难]阅读下面的材料,并完成相应的任务.
探究四点共圆的条件
我们知道,过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆.过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗?

任务:
(1)填空:①,②.(填“＞”“＜”或“=”)
(2)请你在图(4)与图(5)中选择一个图,探究∠B+∠D与180°之间的关系.
(3)如图(6),点E在四边形ABCD的边AB的延长线上,∠CBE = ∠D,BC = CD,∠BCD = 130°,请在图(6)中作一个过A,B,D三点的⊙O(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),并直接写出∠CAB的度数.

5.(1)①= ②=
【解】(2)(任选一个回答即可)选择题图(4),当点C在圆的内部时,∠B+∠D＜180°.证明如下:
连结BE.
∵ ∠BCD＞∠E,∠A+∠E=180°,
∴ ∠A+∠BCD＞180°.
∵ ∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°,
∴ ∠B+∠D=360°-(∠A+∠BCD)＜180°.
选择题图(5),当点C在圆的外部时,∠B+∠D＞180°.证明如下:
连结BF.
∵ ∠BFD＞∠C,∠A+∠BFD=180°,
∴ ∠A+∠C＜180°.
∵ ∠A+∠ABC+∠C+∠D=360°,
∴ ∠ABC+∠D=360°-(∠A+∠C)＞180°.
(3)如图,⊙O即为所求,∠CAB=25°.
∵ ∠ABC+∠EBC=180°,∠CBE=∠D,
∴ ∠ABC+∠D=180°.
∵ ∠ABC+∠D+∠BAD+∠BCD=360°,
∴ ∠BAD+∠BCD=180°,
∴ A,B,C,D四点在⊙O上.
∵ ∠BCD=130°,
∴ ∠BAD=50°.
∵ BC=CD,
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BAC=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAD=25°.