登录
8.「2026河北石家庄期中，★☆」有一个数学游戏活动，如图，A,B,C,D分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化.(提示:①每次游戏都涉及A,B,C,D四种运算各一次;②运算过程中自动添加必要的括号)
(1)6经过A,B,C,D的顺序运算,列算式并计算结果是多少.
(2)-3经过■,D的顺序运算后,结果是-5,则被遮挡部分的运算顺序应是.
(1)6经过A,B,C,D的顺序运算,列算式并计算结果是多少.
(2)-3经过■,D的顺序运算后,结果是-5,则被遮挡部分的运算顺序应是.
答案
8.解析 (1)$[6×(-\frac{1}{2})-3]^2+(-2)$
$=(-3-3)^2-2=(-6)^2-2=36-2=34$.
(2)C,B,A.
$=(-3-3)^2-2=(-6)^2-2=36-2=34$.
(2)C,B,A.
解析
【分析】
(1) 按照A→B→C→D的运算顺序，先对6做A运算（乘$-\frac{1}{2}$），再做B运算（减3），由于后续要对前两步的整体做平方运算，需给前两步加括号，最后做D运算（加$-2$），再按照有理数混合运算的顺序逐步计算即可。
(2) 采用逆向推导思路：已知最后一步是D运算（加$-2$）后结果为$-5$，先算出D运算前的结果为$-5 - (-2) = -3$；再结合剩余A、B、C三种运算的特点，乘方运算结果非负，可优先确定平方运算的位置，验证后找到能让$-3$经过三个运算后得到$-3$的顺序即可。
【解析】
(1) 按运算顺序列算式计算：
$\begin{split}&[6×(-\frac{1}{2})-3]^2 + (-2)\\=&(-3 - 3)^2 - 2\\=&(-6)^2 - 2\\=&36 - 2\\=&34\end{split}$
(2) 先求D运算前的结果：设D运算前的数为$x$，则$x + (-2) = -5$，解得$x=-3$。
验证剩余运算的排列：
按C→B→A的顺序运算：
第一步C运算：$(-3)^2=9$，
第二步B运算：$9-3=6$，
第三步A运算：$6×(-\frac{1}{2})=-3$，符合要求，故被遮挡部分顺序为C,B,A。
【答案】
(1) $\boxed{34}$；(2) $\boxed{C,B,A}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，逆向推理
【点评】
本题以趣味运算游戏为载体，既考查有理数混合运算的基础计算能力，也要求学生灵活运用逆向思维推导运算顺序，兼顾基础性和灵活性，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 按照A→B→C→D的运算顺序，先对6做A运算（乘$-\frac{1}{2}$），再做B运算（减3），由于后续要对前两步的整体做平方运算，需给前两步加括号，最后做D运算（加$-2$），再按照有理数混合运算的顺序逐步计算即可。
(2) 采用逆向推导思路：已知最后一步是D运算（加$-2$）后结果为$-5$，先算出D运算前的结果为$-5 - (-2) = -3$；再结合剩余A、B、C三种运算的特点，乘方运算结果非负，可优先确定平方运算的位置，验证后找到能让$-3$经过三个运算后得到$-3$的顺序即可。
【解析】
(1) 按运算顺序列算式计算：
$\begin{split}&[6×(-\frac{1}{2})-3]^2 + (-2)\\=&(-3 - 3)^2 - 2\\=&(-6)^2 - 2\\=&36 - 2\\=&34\end{split}$
(2) 先求D运算前的结果：设D运算前的数为$x$，则$x + (-2) = -5$，解得$x=-3$。
验证剩余运算的排列：
按C→B→A的顺序运算：
第一步C运算：$(-3)^2=9$，
第二步B运算：$9-3=6$，
第三步A运算：$6×(-\frac{1}{2})=-3$，符合要求，故被遮挡部分顺序为C,B,A。
【答案】
(1) $\boxed{34}$；(2) $\boxed{C,B,A}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，逆向推理
【点评】
本题以趣味运算游戏为载体，既考查有理数混合运算的基础计算能力，也要求学生灵活运用逆向思维推导运算顺序，兼顾基础性和灵活性，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
9.「2026 贵州黔东南州期中，★☆」观察下列三行数，并解答后面的问题.
(1)根据第①行数的规律,写出其中第6个数:
(2)根据排列规律,分别写出上面三行的第7个数,并计算这三个数的和.
(3)设x,y,z分别表示第①②③行的第2025个数,求出$x+y+z$的值.
(1)根据第①行数的规律,写出其中第6个数:
12
,第n个数: $(-1)^n 2n$
(用含n的式子表示).(2)根据排列规律,分别写出上面三行的第7个数,并计算这三个数的和.
(3)设x,y,z分别表示第①②③行的第2025个数,求出$x+y+z$的值.
答案
9.解析 (1)观察第①行数发现,所给各数的绝对值依次增加2,且正负数相间出现,所以第6个数为12,第n个数可表示为$(-1)^n 2n$.
故答案为$12;(-1)^n 2n$.
(2)观察三行数发现,第②行的数是第①行对应位置数的$-\frac{1}{2}$,第③行的数比第②行对应位置的数小1,由(1)可得第①行的第7个数是-14,所以第②行的第7个数为$-14×(-\frac{1}{2})=7$,第③行的第7个数是$7-1=6$,
所以这三行的第7个数分别为-14,7,6,因为$-14+7+6=-1$,所以这三个数的和为-1.
(3)根据(1)可知$x=(-1)^{2025}×2×2\ 025=-4\ 050$,所以$y=-4\ 050×(-\frac{1}{2})=2\ 025$,所以$z=2\ 025-1=2\ 024$,所以$x+y+z=-4\ 050+2\ 025+2\ 024=-1$.
故答案为$12;(-1)^n 2n$.
(2)观察三行数发现,第②行的数是第①行对应位置数的$-\frac{1}{2}$,第③行的数比第②行对应位置的数小1,由(1)可得第①行的第7个数是-14,所以第②行的第7个数为$-14×(-\frac{1}{2})=7$,第③行的第7个数是$7-1=6$,
所以这三行的第7个数分别为-14,7,6,因为$-14+7+6=-1$,所以这三个数的和为-1.
(3)根据(1)可知$x=(-1)^{2025}×2×2\ 025=-4\ 050$,所以$y=-4\ 050×(-\frac{1}{2})=2\ 025$,所以$z=2\ 025-1=2\ 024$,所以$x+y+z=-4\ 050+2\ 025+2\ 024=-1$.
解析
【分析】
首先解决第(1)问：先观察第①行数字的绝对值，发现是连续的正偶数，即第n个数的绝对值为2n；再看符号规律，奇数位置为负，偶数位置为正，可用$(-1)^n$控制符号，即可得到第n个数的表达式，代入n=6即可求出第6个数。
接着解决第(2)问：对比三行同一位置的数，可得出第②行的数是第①行同位置数乘$-\frac{1}{2}$，第③行的数比第②行同位置数小1，先求出第①行第7个数，再依次推导第②、③行第7个数，最后计算三个数的和。
最后解决第(3)问：根据前面总结的规律，分别求出第2025个位置对应的x、y、z的值，再代入计算$x+y+z$即可。
【解析】
(1)观察第①行数：$-2,4,-6,8,-10···$，各数的绝对值为2,4,6,8,10$···$，即第n个数的绝对值为$2n$，且奇数项为负、偶数项为正，符号可表示为$(-1)^n$，因此第n个数为$(-1)^n·2n$。
当$n=6$时，$(-1)^6×2×6=12$，即第6个数为12。
(2)对比三行同位置数字可得规律：第②行的数=第①行对应位置的数$×(-\frac{1}{2})$，第③行的数=第②行对应位置的数$-1$。
第①行第7个数：当$n=7$时，$(-1)^7×2×7=-14$；
第②行第7个数：$-14×(-\frac{1}{2})=7$；
第③行第7个数：$7-1=6$；
三个数的和为：$-14+7+6=-1$。
(3)第①行第2025个数$x=(-1)^{2025}×2×2025=-4050$，
则$y=x×(-\frac{1}{2})=-4050×(-\frac{1}{2})=2025$，
$z=y-1=2025-1=2024$，
因此$x+y+z=-4050+2025+2024=-1$。
【答案】
(1)$12$；$(-1)^n 2n$
(2)三行第7个数分别为$-14,7,6$，和为$-1$
(3)$-1$
【知识点】
数字规律探究、有理数运算、乘方的符号规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先观察归纳出每行数字的排列规律，以及行与行之间的数量对应关系，再结合所求位置代入计算即可，侧重考查学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问：先观察第①行数字的绝对值，发现是连续的正偶数，即第n个数的绝对值为2n；再看符号规律，奇数位置为负，偶数位置为正，可用$(-1)^n$控制符号，即可得到第n个数的表达式，代入n=6即可求出第6个数。
接着解决第(2)问：对比三行同一位置的数，可得出第②行的数是第①行同位置数乘$-\frac{1}{2}$，第③行的数比第②行同位置数小1，先求出第①行第7个数，再依次推导第②、③行第7个数，最后计算三个数的和。
最后解决第(3)问：根据前面总结的规律，分别求出第2025个位置对应的x、y、z的值，再代入计算$x+y+z$即可。
【解析】
(1)观察第①行数：$-2,4,-6,8,-10···$，各数的绝对值为2,4,6,8,10$···$，即第n个数的绝对值为$2n$，且奇数项为负、偶数项为正，符号可表示为$(-1)^n$，因此第n个数为$(-1)^n·2n$。
当$n=6$时，$(-1)^6×2×6=12$，即第6个数为12。
(2)对比三行同位置数字可得规律：第②行的数=第①行对应位置的数$×(-\frac{1}{2})$，第③行的数=第②行对应位置的数$-1$。
第①行第7个数：当$n=7$时，$(-1)^7×2×7=-14$；
第②行第7个数：$-14×(-\frac{1}{2})=7$；
第③行第7个数：$7-1=6$；
三个数的和为：$-14+7+6=-1$。
(3)第①行第2025个数$x=(-1)^{2025}×2×2025=-4050$，
则$y=x×(-\frac{1}{2})=-4050×(-\frac{1}{2})=2025$，
$z=y-1=2025-1=2024$，
因此$x+y+z=-4050+2025+2024=-1$。
【答案】
(1)$12$；$(-1)^n 2n$
(2)三行第7个数分别为$-14,7,6$，和为$-1$
(3)$-1$
【知识点】
数字规律探究、有理数运算、乘方的符号规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先观察归纳出每行数字的排列规律，以及行与行之间的数量对应关系，再结合所求位置代入计算即可，侧重考查学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
10.核心素养创新意识「2026四川遂宁期末」二维码可以用于身份识别,某校以此为基础建立了一个身份识别系统,图1是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到右依次记为$a,b,c,d$,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为$a×2^3 + b×2^2 + c×2^1 + d×2^0$(规定$2^0=1$).例如,图1中第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,对应序号为$0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 =5$,表示该生为5班的学生,则图2表示的学生所在班级序号是
9
. 答案
10.答案 9
解析 题图2中第一行数字从左到右依次为1,0,0,1,对应序号为$1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 =9$.
解析 题图2中第一行数字从左到右依次为1,0,0,1,对应序号为$1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 =9$.
解析
【分析】
解题时首先明确规则：黑色小正方形对应数字1，白色对应数字0，班级序号由第一行从左到右的四个数字a、b、c、d代入公式$a×2^3 + b×2^2 + c×2^1 + d×2^0$计算得到。第一步先读取图2第一行四个小正方形的颜色，对应得到a、b、c、d的数值，第二步将数值代入公式，结合乘方的运算规则计算出结果即可。
【解析】
根据题意，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，观察图2第一行从左到右的小正方形：
第一个为黑色，故$a=1$；第二个为白色，故$b=0$；第三个为白色，故$c=0$；第四个为黑色，故$d=1$。
将a、b、c、d代入序号计算公式：
$\begin{aligned}&1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\=&1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1\\=&8 + 0 + 0 + 1\\=&9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
乘方运算，新定义计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中的身份识别场景出题，形式新颖，解题核心是准确理解题目给出的转换规则，正确提取对应数字后代入公式计算，只要认真读题、细心运算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确规则：黑色小正方形对应数字1，白色对应数字0，班级序号由第一行从左到右的四个数字a、b、c、d代入公式$a×2^3 + b×2^2 + c×2^1 + d×2^0$计算得到。第一步先读取图2第一行四个小正方形的颜色，对应得到a、b、c、d的数值，第二步将数值代入公式，结合乘方的运算规则计算出结果即可。
【解析】
根据题意，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，观察图2第一行从左到右的小正方形：
第一个为黑色，故$a=1$；第二个为白色，故$b=0$；第三个为白色，故$c=0$；第四个为黑色，故$d=1$。
将a、b、c、d代入序号计算公式：
$\begin{aligned}&1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\=&1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1\\=&8 + 0 + 0 + 1\\=&9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
乘方运算，新定义计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中的身份识别场景出题，形式新颖，解题核心是准确理解题目给出的转换规则，正确提取对应数字后代入公式计算，只要认真读题、细心运算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
11. 核心 素养 推理能力 观察下列解题过程.
计算: $1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{24}+5^{25}.$
解:设 $S=1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{24}+5^{25}$①,
则 $5S=5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+··· +5^{25}+5^{26}$②,
②-①,得 $4S=5^{26}-1$,
所以 $S=\dfrac{5^{26}-1}{4}$.
你能用你学到的方法计算下面的题吗?
$1+3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{9}+3^{10}.$
计算: $1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{24}+5^{25}.$
解:设 $S=1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{24}+5^{25}$①,
则 $5S=5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+··· +5^{25}+5^{26}$②,
②-①,得 $4S=5^{26}-1$,
所以 $S=\dfrac{5^{26}-1}{4}$.
你能用你学到的方法计算下面的题吗?
$1+3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{9}+3^{10}.$
答案
11.解析 设$S=1+3+3^2+3^3+…+3^9+3^{10}$①,
则$3S=3+3^2+3^3+3^4+…+3^{10}+3^{11}$②,
②-①,得$2S=3^{11}-1$,所以$S=\frac{3^{11}-1}{2}$.
则$3S=3+3^2+3^3+3^4+…+3^{10}+3^{11}$②,
②-①,得$2S=3^{11}-1$,所以$S=\frac{3^{11}-1}{2}$.
解析
【分析】
观察所求式子的规律：每一项都是前一项的3倍，属于等比数列求和问题，可采用材料给出的错位相减法求解。解题思路如下：①先设所求式子的总和为S；②将等式两边同时乘公比3，得到一个新的等式，此时两个等式的中间项大部分相同；③将两个等式相减，抵消中间相同的项，只剩下首尾两项的差，进而求出S的值。
【解析】
解：设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{9}+3^{10}$ ①，
则$3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+··· +3^{10}+3^{11}$ ②，
用②减去①，可得：
$3S - S = (3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{11}) - (1+3+3^{2}+··· +3^{10})$
化简后得$2S=3^{11}-1$，
两边同时除以2，得$S=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3^{11}-1}{2}$
【知识点】
乘方的运算，错位相减法求和，有理数混合运算
【点评】
本题属于材料阅读型计算题，需要先理解示例给出的错位相减求和方法，再将方法迁移到新的计算场景中，主要考查阅读理解能力和知识迁移运用能力，计算时要注意相减过程中不要漏项、错项。
【难度系数】
0.7
观察所求式子的规律：每一项都是前一项的3倍，属于等比数列求和问题，可采用材料给出的错位相减法求解。解题思路如下：①先设所求式子的总和为S；②将等式两边同时乘公比3，得到一个新的等式，此时两个等式的中间项大部分相同；③将两个等式相减，抵消中间相同的项，只剩下首尾两项的差，进而求出S的值。
【解析】
解：设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{9}+3^{10}$ ①，
则$3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+··· +3^{10}+3^{11}$ ②，
用②减去①，可得：
$3S - S = (3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{11}) - (1+3+3^{2}+··· +3^{10})$
化简后得$2S=3^{11}-1$，
两边同时除以2，得$S=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3^{11}-1}{2}$
【知识点】
乘方的运算，错位相减法求和，有理数混合运算
【点评】
本题属于材料阅读型计算题，需要先理解示例给出的错位相减求和方法，再将方法迁移到新的计算场景中，主要考查阅读理解能力和知识迁移运用能力，计算时要注意相减过程中不要漏项、错项。
【难度系数】
0.7
