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15 阅读材料:求 $1+2^{-1}+2^{-2}+\dots +2^{-2024}$ 的值。
解:设 $S=1+2^{-1}+2^{-2}+\dots +2^{-2024}$，……………………………………①
那么 $2S=2+1+2^{-1}+\dots +2^{-2023}$。……………………………………②
②$-$①,得 $S=2-2^{-2024}$，
即原式$=2-2^{-2024}$。
请你仿照计算:
(1) $1+3^{-1}+3^{-2}+\dots +3^{-2024}$；
(2) $1+3^{-1}+3^{-2}+\dots +3^{-n}$($n$ 为大于1的正整数)。
解:设 $S=1+2^{-1}+2^{-2}+\dots +2^{-2024}$，……………………………………①
那么 $2S=2+1+2^{-1}+\dots +2^{-2023}$。……………………………………②
②$-$①,得 $S=2-2^{-2024}$，
即原式$=2-2^{-2024}$。
请你仿照计算:
(1) $1+3^{-1}+3^{-2}+\dots +3^{-2024}$；
(2) $1+3^{-1}+3^{-2}+\dots +3^{-n}$($n$ 为大于1的正整数)。
答案
(1) $\frac{3-3^{-2024}}{2}$ ［提示: 设 $M=1+3^{-1}+3^{-2}+\dots +3^{-2024}$,那么 $3M=3+1+3^{-1}+\dots +3^{-2023}$,两式相减得 $2M=3-3^{-2024}$,即 $M=\frac{3-3^{-2024}}{2}$,所以原式$=\frac{3-3^{-2024}}{2}$。］
(2) $\frac{3-3^{-n}}{2}$ ［提示:设 $N=1+3^{-1}+3^{-2}+\dots +3^{-n}$,那么 $3N=3+1+3^{-1}+\dots +3^{-n+1}$,两式相减得 $2N=3-3^{-n}$,即 $N=\frac{3-3^{-n}}{2}$,所以原式$=\frac{3-3^{-n}}{2}$。］
(2) $\frac{3-3^{-n}}{2}$ ［提示:设 $N=1+3^{-1}+3^{-2}+\dots +3^{-n}$,那么 $3N=3+1+3^{-1}+\dots +3^{-n+1}$,两式相减得 $2N=3-3^{-n}$,即 $N=\frac{3-3^{-n}}{2}$,所以原式$=\frac{3-3^{-n}}{2}$。］
