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3.如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，则下列条件能判定AB⊥CD的是（
A.∠AOC=∠BOD
B.∠AOC+∠BOC=180°
C.∠AOC=∠BOC
D.AO=BO且CO=DO
C
）.A.∠AOC=∠BOD
B.∠AOC+∠BOC=180°
C.∠AOC=∠BOC
D.AO=BO且CO=DO
答案
3.C
解析
【分析】
要判定AB⊥CD，根据垂直的定义，只需证明两条直线相交所成的4个角中有一个角为90°即可。解题时可结合对顶角、邻补角的性质，逐一分析每个选项的条件是否能推出夹角为90°：首先明确对顶角相等、邻补角和为180°是相交线的固有性质，无论两条直线是否垂直都成立，因此仅表述这类性质的选项无法判定垂直，再分析剩余选项即可找到正确答案。
【解析】
我们结合垂直的定义和相交线的性质逐一判断选项：
1. 选项A：∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角必然相等，该性质与AB、CD是否垂直无关，因此不能判定AB⊥CD，排除A；
2. 选项B：∠AOC和∠BOC互为邻补角，邻补角的和恒为180°，该性质与AB、CD是否垂直无关，因此不能判定AB⊥CD，排除B；
3. 选项C：已知∠AOC+∠BOC=180°（邻补角的和为180°），又给出∠AOC=∠BOC，因此可计算得∠AOC=∠BOC=180°÷2=90°，根据垂直的定义，可判定AB⊥CD，C符合要求；
4. 选项D：AO=BO、CO=DO仅说明点O分别是AB、CD的中点，即两条直线互相平分，无法推出夹角为90°，因此不能判定AB⊥CD，排除D。
【答案】
C
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题考查垂线的判定，核心是理解垂直的本质是夹角为90°，解题时结合相交线的基本性质逐一排查选项即可，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要判定AB⊥CD，根据垂直的定义，只需证明两条直线相交所成的4个角中有一个角为90°即可。解题时可结合对顶角、邻补角的性质，逐一分析每个选项的条件是否能推出夹角为90°：首先明确对顶角相等、邻补角和为180°是相交线的固有性质，无论两条直线是否垂直都成立，因此仅表述这类性质的选项无法判定垂直，再分析剩余选项即可找到正确答案。
【解析】
我们结合垂直的定义和相交线的性质逐一判断选项：
1. 选项A：∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角必然相等，该性质与AB、CD是否垂直无关，因此不能判定AB⊥CD，排除A；
2. 选项B：∠AOC和∠BOC互为邻补角，邻补角的和恒为180°，该性质与AB、CD是否垂直无关，因此不能判定AB⊥CD，排除B；
3. 选项C：已知∠AOC+∠BOC=180°（邻补角的和为180°），又给出∠AOC=∠BOC，因此可计算得∠AOC=∠BOC=180°÷2=90°，根据垂直的定义，可判定AB⊥CD，C符合要求；
4. 选项D：AO=BO、CO=DO仅说明点O分别是AB、CD的中点，即两条直线互相平分，无法推出夹角为90°，因此不能判定AB⊥CD，排除D。
【答案】
C
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题考查垂线的判定，核心是理解垂直的本质是夹角为90°，解题时结合相交线的基本性质逐一排查选项即可，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
4.如图所示，要把水渠中的水引到C点，则过点C作$CD⊥AB$，垂足为点D，在点D处开沟能使沟最短.能正确解释这一现象的数学依据是（
A.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
D
）.A.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先明确题目需求：找到从直线AB外一点C到直线AB的最短开沟路径的理论依据。首先回忆点与直线相关的线段长度性质：先区分“两点之间线段最短”和“垂线段最短”的适用场景，前者针对两个点之间的连线，后者针对直线外一点到直线的连线，再逐一匹配选项，排除不符合题意的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们需要判断直线外一点C到直线AB的最短线段的依据，逐一分析选项：
A选项：“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”描述的是垂线的存在性和唯一性，和线段长度最短无关，不符合题意；
B选项：“两点之间，线段最短”适用于两个点之间的连线比较，本题是点到直线的线段比较，不符合适用场景，排除；
C选项：“两点确定一条直线”是直线的基本性质，和本题的最短路径问题无关，排除；
D选项：“垂线段最短”是指直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段的长度最短，题目中CD是点C到AB的垂线段，因此CD最短，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题是几何性质的实际应用题，解题关键是区分垂线段最短和两点之间线段最短的适用场景，不要混淆两个性质的使用条件。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目需求：找到从直线AB外一点C到直线AB的最短开沟路径的理论依据。首先回忆点与直线相关的线段长度性质：先区分“两点之间线段最短”和“垂线段最短”的适用场景，前者针对两个点之间的连线，后者针对直线外一点到直线的连线，再逐一匹配选项，排除不符合题意的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们需要判断直线外一点C到直线AB的最短线段的依据，逐一分析选项：
A选项：“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”描述的是垂线的存在性和唯一性，和线段长度最短无关，不符合题意；
B选项：“两点之间，线段最短”适用于两个点之间的连线比较，本题是点到直线的线段比较，不符合适用场景，排除；
C选项：“两点确定一条直线”是直线的基本性质，和本题的最短路径问题无关，排除；
D选项：“垂线段最短”是指直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段的长度最短，题目中CD是点C到AB的垂线段，因此CD最短，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题是几何性质的实际应用题，解题关键是区分垂线段最短和两点之间线段最短的适用场景，不要混淆两个性质的使用条件。
【难度系数】
0.9
5.如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOB=43°，∠COE的度数是（
A.43°
B.137°
C.57°
D.47°
D
）。A.43°
B.137°
C.57°
D.47°
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①OE⊥AB，②∠DOB=43°。第一步，根据垂直的性质，可得OE与AB的夹角为90°；第二步，直线AB和CD交于O，∠DOB和∠AOC是对顶角，根据对顶角相等可求出∠AOC的度数；第三步，观察图形可知∠COE是∠AOE减去∠AOC的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°（垂直的定义）。
∵直线AB、CD相交于点O，∠DOB=43°，
∴∠AOC=∠DOB=43°（对顶角相等）。
∴∠COE=∠AOE - ∠AOC=90° - 43°=47°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
垂直的性质，对顶角相等，角度计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是结合图形理清各角之间的数量关系，熟练运用垂直和对顶角的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：①OE⊥AB，②∠DOB=43°。第一步，根据垂直的性质，可得OE与AB的夹角为90°；第二步，直线AB和CD交于O，∠DOB和∠AOC是对顶角，根据对顶角相等可求出∠AOC的度数；第三步，观察图形可知∠COE是∠AOE减去∠AOC的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°（垂直的定义）。
∵直线AB、CD相交于点O，∠DOB=43°，
∴∠AOC=∠DOB=43°（对顶角相等）。
∴∠COE=∠AOE - ∠AOC=90° - 43°=47°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
垂直的性质，对顶角相等，角度计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是结合图形理清各角之间的数量关系，熟练运用垂直和对顶角的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示，下列说法中不正确的是（
A.点 B 到 AC 的垂线段是线段 AB
B.点 C 到 AB 的距离是线段 AC 的长度
C.线段 AD 是点 A 到 BC 的垂线段
D.线段 BD 是点 B 到 AD 的距离
D
）.A.点 B 到 AC 的垂线段是线段 AB
B.点 C 到 AB 的距离是线段 AC 的长度
C.线段 AD 是点 A 到 BC 的垂线段
D.线段 BD 是点 B 到 AD 的距离
答案
6.D
解析
【分析】
解题前首先要明确两个核心概念：①垂线段：从一点向已知直线作垂线，该点与垂足之间的线段叫做这个点到这条直线的垂线段，属于几何图形；②点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，是一个数值，不是线段本身。解题时逐一对照概念判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由图可知AB⊥AC，垂足为A，因此点B到AC的垂线段是线段AB，该说法正确，不符合题意；
B. 由AC⊥AB，垂足为A，可知点C到AB的垂线段是线段AC，因此点C到AB的距离是线段AC的长度，该说法正确，不符合题意；
C. 由图可知AD⊥BC，垂足为D，因此线段AD是点A到BC的垂线段，该说法正确，不符合题意；
D. 点B到AD的距离是线段BD的长度，而不是线段BD本身（距离是数值，垂线段是图形，二者不能等同），因此该说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
垂线段的定义，点到直线的距离，垂直的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆“垂线段”和“点到直线的距离”，牢记“垂线段是几何图形，距离是垂线段的长度，是数量”这一区别即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确两个核心概念：①垂线段：从一点向已知直线作垂线，该点与垂足之间的线段叫做这个点到这条直线的垂线段，属于几何图形；②点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，是一个数值，不是线段本身。解题时逐一对照概念判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由图可知AB⊥AC，垂足为A，因此点B到AC的垂线段是线段AB，该说法正确，不符合题意；
B. 由AC⊥AB，垂足为A，可知点C到AB的垂线段是线段AC，因此点C到AB的距离是线段AC的长度，该说法正确，不符合题意；
C. 由图可知AD⊥BC，垂足为D，因此线段AD是点A到BC的垂线段，该说法正确，不符合题意；
D. 点B到AD的距离是线段BD的长度，而不是线段BD本身（距离是数值，垂线段是图形，二者不能等同），因此该说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
垂线段的定义，点到直线的距离，垂直的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆“垂线段”和“点到直线的距离”，牢记“垂线段是几何图形，距离是垂线段的长度，是数量”这一区别即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
7.如图
所示，O为直线AB上一点，OD，OE分别平分∠BOC和∠AOC，则OE和OD的位置关系是
所示，O为直线AB上一点，OD，OE分别平分∠BOC和∠AOC，则OE和OD的位置关系是垂直
。答案
7.垂直
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：1. O在直线AB上，可得∠AOC与∠BOC的和为平角180°；2. OD、OE分别是两个角的角平分线，根据角平分线定义，可将∠EOD拆分为两个半角的和，代入平角的度数即可算出∠EOD的大小，最终根据夹角大小判断两条线的位置关系。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上的点
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOC + ∠BOC = 180°
∵ OE平分∠AOC，OD平分∠BOC
∴ ∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC
∴ ∠EOD = ∠EOC + ∠COD = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°
根据垂直的定义，两条直线相交夹角为90°时，两直线互相垂直，因此OE与OD垂直。
【答案】
垂直
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；垂直的判定
【点评】
本题是角度计算与位置关系判定的基础题型，将平角性质和角平分线定义结合即可求出夹角大小，进而判断位置关系，熟练掌握基础定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：1. O在直线AB上，可得∠AOC与∠BOC的和为平角180°；2. OD、OE分别是两个角的角平分线，根据角平分线定义，可将∠EOD拆分为两个半角的和，代入平角的度数即可算出∠EOD的大小，最终根据夹角大小判断两条线的位置关系。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上的点
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOC + ∠BOC = 180°
∵ OE平分∠AOC，OD平分∠BOC
∴ ∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC
∴ ∠EOD = ∠EOC + ∠COD = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°
根据垂直的定义，两条直线相交夹角为90°时，两直线互相垂直，因此OE与OD垂直。
【答案】
垂直
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；垂直的判定
【点评】
本题是角度计算与位置关系判定的基础题型，将平角性质和角平分线定义结合即可求出夹角大小，进而判断位置关系，熟练掌握基础定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
