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13.如图所示，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.
（1）若∠EOC=86°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数.
（1）若∠EOC=86°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数.
答案
13.(1)$∠ BOD=43°$
(2)$∠ BOD=40°$
(2)$∠ BOD=40°$
解析
【分析】
本题围绕相交线形成的角展开计算，解题思路清晰：（1）首先利用角平分线的定义求出∠AOC的度数，再根据对顶角相等的性质，直接得到∠BOD与∠AOC相等，即可求出结果；（2）先根据邻补角的和为180°，结合∠EOC和∠EOD的比例关系求出∠EOC的度数，再重复第一问的思路，先求∠AOC，再利用对顶角相等得到∠BOD的度数。
【解析】
（1）
∵OA平分∠EOC，∠EOC=86°
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×86°=43°$
∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角，对顶角相等
∴$∠ BOD=∠ AOC=43°$
（2）
∵∠EOC与∠EOD是邻补角
∴$∠ EOC+∠ EOD=180°$
已知$∠ EOC:∠ EOD=4:5$，设$∠ EOC=4x$，$∠ EOD=5x$，代入得：
$4x+5x=180°$
$9x=180°$，解得$x=20°$
∴$∠ EOC=4x=4×20°=80°$
∵OA平分∠EOC
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×80°=40°$
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，对顶角相等
∴$∠ BOD=∠ AOC=40°$
【答案】
（1）$∠ BOD=43°$；（2）$∠ BOD=40°$
【知识点】
角平分线的定义，对顶角的性质，邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题型，解题核心是准确识别角与角的位置和数量关系，熟练运用相关性质即可快速解题，是巩固相交线基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.85
本题围绕相交线形成的角展开计算，解题思路清晰：（1）首先利用角平分线的定义求出∠AOC的度数，再根据对顶角相等的性质，直接得到∠BOD与∠AOC相等，即可求出结果；（2）先根据邻补角的和为180°，结合∠EOC和∠EOD的比例关系求出∠EOC的度数，再重复第一问的思路，先求∠AOC，再利用对顶角相等得到∠BOD的度数。
【解析】
（1）
∵OA平分∠EOC，∠EOC=86°
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×86°=43°$
∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角，对顶角相等
∴$∠ BOD=∠ AOC=43°$
（2）
∵∠EOC与∠EOD是邻补角
∴$∠ EOC+∠ EOD=180°$
已知$∠ EOC:∠ EOD=4:5$，设$∠ EOC=4x$，$∠ EOD=5x$，代入得：
$4x+5x=180°$
$9x=180°$，解得$x=20°$
∴$∠ EOC=4x=4×20°=80°$
∵OA平分∠EOC
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×80°=40°$
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，对顶角相等
∴$∠ BOD=∠ AOC=40°$
【答案】
（1）$∠ BOD=43°$；（2）$∠ BOD=40°$
【知识点】
角平分线的定义，对顶角的性质，邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题型，解题核心是准确识别角与角的位置和数量关系，熟练运用相关性质即可快速解题，是巩固相交线基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.85
14.在同一平面内有n条直线，设它们的交点个数为m.
例如：当n=2时，m=0或m=1（如下图所示）.
（1）当n=3时，m可以取哪些不同的值，请画图说明；
（2）当n=4时，m的最大值为多少，请画图说明；
（3）m的最大值为
（4）当m=6时，n的最大值为多少？请画图说明.
例如：当n=2时，m=0或m=1（如下图所示）.
（1）当n=3时，m可以取哪些不同的值，请画图说明；
（2）当n=4时，m的最大值为多少，请画图说明；
（3）m的最大值为
$\frac{1}{2}n(n-1)$
（用含n的式子表示）；（4）当m=6时，n的最大值为多少？请画图说明.
答案
14.(1)当$n=3$时,交点的个数为0个,1个,2个或3个.(图略)
(2)当$n=4$时,四条直线相交,交点的个数最多为6个,所以m的最大值为6.(图略)
(3)$\frac{1}{2}n(n-1)$
(4)当$m=6$时,n的最大值为7.(图略)
(2)当$n=4$时,四条直线相交,交点的个数最多为6个,所以m的最大值为6.(图略)
(3)$\frac{1}{2}n(n-1)$
(4)当$m=6$时,n的最大值为7.(图略)
解析
【分析】
解决这道题的核心是明确同一平面内不重合的两条直线只有平行（无交点）和相交（1个交点）两种位置关系：
1. 求某一n值下交点的所有可能值时，要分类讨论直线的平行、共交点情况：全平行、部分平行、多条直线交于同一点、两两相交无重合交点等情况；
2. 求交点最大值时，要让每两条直线都相交，且任意三条直线不交于同一点，此时交点数累加即可得到规律；
3. 已知m求n的最大值时，要让尽可能多的直线平行，仅用少量直线产生交点，即可让总直线数最多。
【解析】
（1）当n=3时，分4种情况讨论：
①三条直线互相平行，此时交点个数m=0；
②两条直线平行，第三条直线与这两条平行线相交，此时交点个数m=2；
③三条直线都经过同一个点，此时交点个数m=1；
④三条直线两两相交，且不交于同一点，此时交点个数m=3；
综上，n=3时，m可以取0、1、2、3。（图略）
（2）要让4条直线交点最多，需每两条直线都相交，且任意三条直线没有公共交点：
第1条直线和其余3条直线相交，新增3个交点；
第2条直线和除第1条外的2条直线相交，新增2个交点；
第3条直线和剩下1条直线相交，新增1个交点；
总交点数=3+2+1=6，故n=4时m的最大值为6。（图略）
（3）推广到n条直线求最大交点数：
第1条直线和其余n-1条相交，新增n-1个交点；
第2条直线和除前1条外的n-2条相交，新增n-2个交点；
……
第n-1条直线和最后1条直线相交，新增1个交点；
总交点数最大为：$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
（4）要让总直线数n最大，且交点数固定为6，需尽可能多的直线互相平行：
若有6条直线互相平行，再画1条直线与这6条平行线都相交，刚好得到6个交点，此时总直线数为6+1=7，是满足条件的最大n值。（图略）
【答案】
（1）m可取0、1、2、3，图略；
（2）m的最大值为6，图略；
（3）$\frac{1}{2}n(n-1)$；
（4）n的最大值为7，图略。
【知识点】
平面内直线的位置关系；直线交点计数；规律探究
【点评】
本题需要结合分类讨论思想分析不同直线排布下的交点数量，同时通过从特殊到一般的归纳方法总结交点最大值的规律，反向求n最大值时需打破“交点最多时对应n”的思维定式，灵活利用平行直线无交点的性质求解。
【难度系数】
0.6
解决这道题的核心是明确同一平面内不重合的两条直线只有平行（无交点）和相交（1个交点）两种位置关系：
1. 求某一n值下交点的所有可能值时，要分类讨论直线的平行、共交点情况：全平行、部分平行、多条直线交于同一点、两两相交无重合交点等情况；
2. 求交点最大值时，要让每两条直线都相交，且任意三条直线不交于同一点，此时交点数累加即可得到规律；
3. 已知m求n的最大值时，要让尽可能多的直线平行，仅用少量直线产生交点，即可让总直线数最多。
【解析】
（1）当n=3时，分4种情况讨论：
①三条直线互相平行，此时交点个数m=0；
②两条直线平行，第三条直线与这两条平行线相交，此时交点个数m=2；
③三条直线都经过同一个点，此时交点个数m=1；
④三条直线两两相交，且不交于同一点，此时交点个数m=3；
综上，n=3时，m可以取0、1、2、3。（图略）
（2）要让4条直线交点最多，需每两条直线都相交，且任意三条直线没有公共交点：
第1条直线和其余3条直线相交，新增3个交点；
第2条直线和除第1条外的2条直线相交，新增2个交点；
第3条直线和剩下1条直线相交，新增1个交点；
总交点数=3+2+1=6，故n=4时m的最大值为6。（图略）
（3）推广到n条直线求最大交点数：
第1条直线和其余n-1条相交，新增n-1个交点；
第2条直线和除前1条外的n-2条相交，新增n-2个交点；
……
第n-1条直线和最后1条直线相交，新增1个交点；
总交点数最大为：$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
（4）要让总直线数n最大，且交点数固定为6，需尽可能多的直线互相平行：
若有6条直线互相平行，再画1条直线与这6条平行线都相交，刚好得到6个交点，此时总直线数为6+1=7，是满足条件的最大n值。（图略）
【答案】
（1）m可取0、1、2、3，图略；
（2）m的最大值为6，图略；
（3）$\frac{1}{2}n(n-1)$；
（4）n的最大值为7，图略。
【知识点】
平面内直线的位置关系；直线交点计数；规律探究
【点评】
本题需要结合分类讨论思想分析不同直线排布下的交点数量，同时通过从特殊到一般的归纳方法总结交点最大值的规律，反向求n最大值时需打破“交点最多时对应n”的思维定式，灵活利用平行直线无交点的性质求解。
【难度系数】
0.6
