1.如图，$AB=AE$，$BC=ED$，$AF⊥ CD$，点F是CD的中点.求证：$∠ B=∠ E$.

连接AC,AD,
∵点F是CD的中点,
∴CF=DF,
∵AF⊥CD,
∴∠AFC=∠AFD=90°,在△ACF和△ADF中，$\begin{cases} CF=DF, \\ ∠AFC=∠AFD, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴AC=AD,在△ABC和△AED中，$\begin{cases} AB=AE, \\ AC=AD, \\ BC=ED, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SSS),
∴∠B=∠E

【分析】
要证明∠B=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形可知∠B在△ABC中，∠E在△AED中，已知AB=AE、BC=ED，只需证明第三边AC=AD即可用SSS判定两三角形全等。要得到AC=AD，可连接AC、AD，结合AF⊥CD、F是CD中点的条件，先证明△ACF≌△ADF，即可得到AC=AD，进而完成后续证明。
【解析】
证明：连接AC、AD，
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
在△ACF和△ADF中，
$\begin{cases} CF=DF, \\ ∠AFC=∠AFD, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SAS)，
∴AC=AD，
在△ABC和△AED中，
$\begin{cases} AB=AE, \\ AC=AD, \\ BC=ED, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SSS)，
∴∠B=∠E。
【答案】
∠B=∠E
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 垂直平分线的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型习题，通过添加辅助线AC、AD将待证的角相等问题转化为三角形全等的证明问题，解题关键是利用已知的垂直和中点条件先推导得到相等的边，为后续证明全等创造条件，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7

2.如图，$△ ABC$中，$D$为$BC$中点.
(1)求证:$AB+AC＞2AD$；
(2)若$AB=5$，$AC=5$，求$AD$的取值范围.

(1)如图，延长AD到E,使DE=AD,连接BE,
∵D为BC中点,
∴BD=CD,在△ADC和△EDB中，$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ADC=∠EDB, \\ DC=DB, \end{cases}$
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB,在△ABE中,AB+EB＞AE=2AD,
∴AB+AC＞2AD
(2)
∵5-5＜2AD＜5+5,
∴0＜AD＜5

【分析】
(1)要证明$AB+AC＞2AD$，已知D是BC中点，遇到含中点的线段倍数关系问题，可采用倍长中线法：延长AD至E使$DE=AD$，将$2AD$转化为线段AE，再通过证明三角形全等把AC转化为BE，把三条线段AB、BE、AE放到同一个$△ ABE$中，利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”即可证明结论。
(2)在(1)的结论基础上，继续利用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，代入AB、AC的长度，先求出$2AD$的取值范围，再推导AD的取值范围即可。
【解析】
(1) 作辅助线：延长AD到E，使$DE=AD$，连接BE，
∵D为BC中点，$\therefore BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中：
$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ADC=∠EDB（对顶角相等）, \\ DC=DB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ EDB(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$AC=EB$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系得$AB+EB＞AE$，
又$\because AE=AD+DE=2AD$，$EB=AC$，
$\therefore AB+AC＞2AD$，结论得证。
(2) 在$△ ABE$中，由三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得$AB-EB＜AE＜AB+EB$。
已知$AB=5$，$AC=5$，结合全等结论得$EB=AC=5$，且$AE=2AD$，代入得：
$5-5＜2AD＜5+5$，即$0＜2AD＜10$，
不等式两边同时除以2，得$0＜AD＜5$。
【答案】
(1)如图，延长AD到E,使DE=AD,连接BE,
∵D为BC中点,
∴BD=CD,在△ADC和△EDB中，$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ADC=∠EDB, \\ DC=DB, \end{cases}$
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB,在△ABE中,AB+EB＞AE=2AD,
∴AB+AC＞2AD
(2)$0＜AD＜5$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 倍长中线构造辅助线
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，倍长中线是处理含中点的线段关系问题的常用辅助线方法，解题核心是通过全等将分散的待分析线段转移到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解，该构造方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

3.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(-1,0),点C在第二象限,AB = AC,∠BAC=90°.求点C的坐标.

过点C作CE⊥y轴于点E,
∵∠BAC=90°,
∴∠OAB+∠CAE=90°,
∵CE⊥y轴,
∴∠CEA=∠AOB=90°,
∴∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠OAB=∠ECA,在△ABO和△CAE中，$\begin{cases} ∠AOB=∠CEA, \\ ∠OAB=∠ECA, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABO≌△CAE(AAS).
∴CE=OA=2,AE=OB=1,
∴OE=1+2=3,
∴点C的坐标为(-2,3)

【分析】
要求第二象限内点C的坐标，需先求出点C到x轴、y轴的距离。已知AB=AC，∠BAC=90°，结合坐标系中x轴⊥y轴的特征，可通过作辅助线构造全等三角形转化线段长度：过点C作CE⊥y轴于E，可得到两个直角△AOB和△CEA，利用同角的余角相等推出两组角相等，结合已知AB=AC，即可证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等求出CE、OE的长度，最后结合第二象限点的坐标符号特征得到C的坐标。
【解析】
过点C作CE⊥y轴于点E，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAE=90°，
∵CE⊥y轴，
∴∠CEA=∠AOB=90°，
∴∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠OAB=∠ECA，
在△ABO和△CAE中，
$\begin{cases} ∠AOB=∠CEA, \\ ∠OAB=∠ECA, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABO≌△CAE(AAS).
∴CE=OA=2，AE=OB=1，
∴OE=OA+AE=1+2=3，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为(-2,3)
【答案】
(-2,3)
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等；平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是构造全等三角形求点坐标的典型题型，通过作垂线构造“一线三等角”的全等模型，将坐标问题转化为线段长度计算问题，解题时要注意坐标系不同象限内点的坐标符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7

4.如图，等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，已知$A(0,2)$，$C(5,0)$，求点$B$的坐标.

过点B作BD⊥y轴于点D,
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠BAD+∠OAC=90°,
∵∠OCA+∠OAC=90°,
∴∠BAD=∠OCA,在△ABD和△CAO中，$\begin{cases} ∠BDA=∠AOC=90°, \\ ∠BAD=∠ACO, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAO(AAS),
∴OA=BD,OC=AD,
∵A(0,2),C(5,0),
∴OA=2,OC=5,
∴BD=2,AD=5,
∴OD=3,
∴B(-2,-3)

【分析】
要求点B的坐标，需先确定点B到x轴、y轴的距离，再结合其所在象限判断坐标符号。已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°且AB=AC，我们可以通过作y轴的垂线构造全等三角形：首先利用同角的余角相等推导等角，再结合直角和AB=AC的条件证明三角形全等，将A、C的坐标转化为线段长度，即可求出点B对应的线段长度，最终得到坐标。
【解析】
过点B作BD⊥y轴于点D，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAD+∠OAC=90°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠BAD=∠OCA，
在△ABD和△CAO中，
$\begin{cases} ∠BDA=∠AOC=90°, \\ ∠BAD=∠ACO, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAO(AAS)，
∴OA=BD，OC=AD，
∵A(0,2)，C(5,0)，
∴OA=2，OC=5，
∴BD=2，AD=5，
∴OD=AD-OA=5-2=3，
∵点B在第三象限，横坐标、纵坐标均为负，
∴B的坐标为(-2,-3)。
【答案】
$B(-2,-3)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是构造全等三角形求坐标的典型题型，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，利用同角的余角相等推导等角，结合全等性质将坐标转化为线段长度计算，该构造方法在坐标系几何题中应用非常广泛。
【难度系数】
0.6