1.如图，已知在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC$，$AE$是$∠ BAC$的平分线，$CD ⊥ AE$于点$D$，求证：$CD=\dfrac{1}{2}AE$。

1.延长 CD 交 AB 的延长线于 F,如图所示.$\because CD⊥ AD,\therefore ∠ ADC=∠ ADF=90°$,$\because AE$ 是$∠ BAC$的平分线,$\therefore ∠ CAD=∠ FAD$,在$△ ACD$ 和$△ AFD$ 中,$\begin{cases}∠ ADC=∠ ADF,\\AD=AD,\\∠ CAD=∠ FAD,\end{cases}$ $\therefore △ ACD≌△ AFD(\mathrm{ASA})$,$\therefore CD=DF=\dfrac{1}{2}CF$,$\because ∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ CBF=90°$,$\therefore ∠ F+∠ BCF=90°$,$\because ∠ F+∠ BAE=90°$,$\therefore ∠ BCF=∠ BAE$, 在 $△ BCF$ 和 $△ BAE$ 中,$\begin{cases}∠ CBF=∠ ABE=90°,\\BC=BA,\\∠ BCF=∠ BAE,\end{cases}$ $\therefore △ BCF≌△ BAE(\mathrm{ASA})$,$\therefore CF=AE$,$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AE$

【分析】
要证明$CD=\dfrac{1}{2}AE$属于线段倍分关系的证明问题，通常可将倍分关系转化为线段相等关系求解。观察已知条件：$AE$是角平分线且$CD⊥ AE$，符合“角平分线+垂线”的构造特征，因此可延长$CD$交$AB$的延长线于点$F$，先利用角平分线和垂直条件证明$△ ACD≌△ AFD$，得到$CD=\dfrac{1}{2}CF$，再证明$CF$与$AE$相等即可推出结论，后续只需利用同角的余角相等推导等角，结合$AB=BC$的条件证明$△ BCF≌△ BAE$，得到$CF=AE$即可完成证明。
【解析】
延长 $CD$ 交 $AB$ 的延长线于 $F$，如图所示：
$\because CD⊥ AD$，$\therefore ∠ ADC=∠ ADF=90°$，
$\because AE$ 是$∠ BAC$的平分线，$\therefore ∠ CAD=∠ FAD$，
在$△ ACD$ 和$△ AFD$ 中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ ADF,\\AD=AD,\\∠ CAD=∠ FAD,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ AFD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CD=DF=\dfrac{1}{2}CF$，
$\because ∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ CBF=90°$，
$\therefore ∠ F+∠ BCF=90°$，
$\because ∠ F+∠ BAE=90°$，
$\therefore ∠ BCF=∠ BAE$，
在 $△ BCF$ 和 $△ BAE$ 中，
$\begin{cases}∠ CBF=∠ ABE=90°,\\BC=BA,\\∠ BCF=∠ BAE,\end{cases}$
$\therefore △ BCF≌△ BAE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CF=AE$，
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AE$
【答案】
延长 CD 交 AB 的延长线于 F,如图所示.$\because CD⊥ AD,\therefore ∠ ADC=∠ ADF=90°$,$\because AE$ 是$∠ BAC$的平分线,$\therefore ∠ CAD=∠ FAD$,在$△ ACD$ 和$△ AFD$ 中,$\begin{cases}∠ ADC=∠ ADF,\\AD=AD,\\∠ CAD=∠ FAD,\end{cases}$ $\therefore △ ACD≌△ AFD(\mathrm{ASA})$,$\therefore CD=DF=\dfrac{1}{2}CF$,$\because ∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ CBF=90°$,$\therefore ∠ F+∠ BCF=90°$,$\because ∠ F+∠ BAE=90°$,$\therefore ∠ BCF=∠ BAE$, 在 $△ BCF$ 和 $△ BAE$ 中,$\begin{cases}∠ CBF=∠ ABE=90°,\\BC=BA,\\∠ BCF=∠ BAE,\end{cases}$ $\therefore △ BCF≌△ BAE(\mathrm{ASA})$,$\therefore CF=AE$,$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AE$

【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 余角的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，解题的关键是结合角平分线与垂线的特征作辅助线构造轴对称型全等，将线段倍分的证明转化为等线段的证明，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，能灵活运用同角的余角相等推导角相等的关系。
【难度系数】
0.6

2.如图，已知 $AP // BC$，$∠ PAB$ 的平分线与$∠ CBA$ 的平分线相交于点 $E$，$CE$ 的延长线交 $AP$ 于点 $D$，求证：$AD+BC=AB$.

2.如图,在 AB 上截取 $AF=AD$,连接 $EF$,$\because AE$ 平分$∠ PAB$,$\therefore ∠ DAE=∠ FAE$,在$△ DAE$ 和$△ FAE$ 中,$\begin{cases}AD=AF,\\∠ DAE=∠ FAE,\\AE=AE,\end{cases}$$\therefore △ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AFE=∠ ADE$,$\because AD// BC$,$\therefore ∠ ADE+∠ C=180°$,$\because ∠ AFE+∠ EFB=180°$,$\therefore ∠ EFB=∠ C$,$\because BE$ 平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ EBF=∠ EBC$,在$△ BEF$ 和$△ BEC$ 中,$\begin{cases}∠ EFB=∠ C,\\∠ EBF=∠ EBC,\\BE=BE,\end{cases}$$\therefore △ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS})$,$\therefore BC=BF$,$\therefore AD+BC=AF+BF=AB$

【分析】
要证明线段和的关系$AD+BC=AB$，适合采用截长补短法求解，这里选用截长法更简便：首先在较长线段$AB$上截取$AF=AD$，只需证明余下的$BF=BC$即可。第一步，利用$AE$是角平分线得到一组等角，结合公共边$AE$，通过SAS证明$△ DAE≌△ FAE$，得到对应角相等；第二步，结合$AP// BC$的性质，推出同旁内角互补，再结合邻补角的性质得到$∠ EFB=∠ C$，然后利用$BE$是角平分线得到等角，结合公共边$BE$，通过AAS证明$△ BEF≌△ BEC$，得到$BC=BF$，最后通过线段和的关系即可完成证明。
【解析】
在$AB$上截取 $AF=AD$，连接 $EF$，
$\because AE$ 平分$∠ PAB$，
$\therefore ∠ DAE=∠ FAE$，
在$△ DAE$ 和$△ FAE$ 中，
$\begin{cases}AD=AF,\\∠ DAE=∠ FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AFE=∠ ADE$，
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ADE+∠ C=180°$，
$\because ∠ AFE+∠ EFB=180°$，
$\therefore ∠ EFB=∠ C$，
$\because BE$ 平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ EBF=∠ EBC$，
在$△ BEF$ 和$△ BEC$ 中，
$\begin{cases}∠ EFB=∠ C,\\∠ EBF=∠ EBC,\\BE=BE,\end{cases}$
$\therefore △ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BC=BF$，
$\therefore AD+BC=AF+BF=AB$
【答案】
2.如图,在 AB 上截取 $AF=AD$,连接 $EF$,$\because AE$ 平分$∠ PAB$,$\therefore ∠ DAE=∠ FAE$,在$△ DAE$ 和$△ FAE$ 中,$\begin{cases}AD=AF,\\∠ DAE=∠ FAE,\\AE=AE,\end{cases}$$\therefore △ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AFE=∠ ADE$,$\because AD// BC$,$\therefore ∠ ADE+∠ C=180°$,$\because ∠ AFE+∠ EFB=180°$,$\therefore ∠ EFB=∠ C$,$\because BE$ 平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ EBF=∠ EBC$,在$△ BEF$ 和$△ BEC$ 中,$\begin{cases}∠ EFB=∠ C,\\∠ EBF=∠ EBC,\\BE=BE,\end{cases}$$\therefore △ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS})$,$\therefore BC=BF$,$\therefore AD+BC=AF+BF=AB$

【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心是通过截长补短法构造全等三角形，结合角平分线、平行线的性质转化角和线段的关系，把分散的待证线段转化到同一条线段上，即可快速完成证明。
【难度系数】
0.65

3.如图，已知$AB=AC$，$∠ ABD+∠ ACD=180°$，点$E$在$BD$上，$∠ DAE =\frac{1}{2}∠ BAC$，试探究$BE$，$DE$，$DC$三条线段之间的数量关系，并说明理由。

3.$DE=DC+BE$.理由如下:延长 DC 至点 F,使 $CF=BE$,连接 AF,$\because ∠ ABD+∠ ACD=180°$,$∠ ACF+∠ ACD=180°$,$\therefore ∠ ABD=∠ ACF$,又 $AB=AC$,$\therefore △ ABE≌△ ACF(\mathrm{SAS})$,$\therefore AE=AF$,$∠ BAE=∠ CAF$,$\because ∠ DAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ BAE+∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ CAF+∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,即$∠ DAF=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ DAE=∠ DAF$,又 $\because AD=AD$,$AE=AF$,$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$,$\therefore DE=DF=DC+CF=DC+BE$

【分析】
要探究BE、DE、DC三条线段的数量关系，通常采用截长补短的思路构造全等三角形实现线段转化。已知AB=AC，且∠ABD与∠ACD互补，可通过延长DC补出长度等于BE的线段，先构造一组全等三角形得到对应边、对应角相等，再结合∠DAE=½∠BAC的条件证明第二组全等，最终将三条线段转化到同一直线上推导关系。
【解析】
解：$DE=DC+BE$，理由如下：
延长 $DC$ 至点 $F$，使 $CF=BE$，连接 $AF$。
$\because ∠ABD+∠ACD=180°$，$∠ACF+∠ACD=180°$，
$\therefore ∠ABD=∠ACF$，
又 $\because AB=AC$，$BE=CF$，
$\therefore △ ABE≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=AF$，$∠BAE=∠CAF$。
$\because ∠DAE=\frac{1}{2}∠BAC$，
$\therefore ∠BAE+∠DAC=∠BAC - ∠DAE=\frac{1}{2}∠BAC$，
$\therefore ∠CAF+∠DAC=\frac{1}{2}∠BAC$，即 $∠DAF=\frac{1}{2}∠BAC$，
$\therefore ∠DAE=∠DAF$。
又 $\because AD=AD$，$AE=AF$，
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=DF$。
$\because DF=DC+CF=DC+BE$，
$\therefore DE=DC+BE$。
【答案】
$DE=DC+BE$
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，截长补短构造全等
【点评】
本题属于全等三角形的综合应用类题型，解题核心是利用已知的等边和角互补的条件，通过补短法构造全等三角形，将分散的三条线段转移到同一直线上，再结合角的数量关系证明第二次全等即可得到结论，能有效训练学生构造全等的解题思维。
【难度系数】
0.6