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1. 跨学科 建筑 如图，梯子与地面的夹角为$60°$，上端A靠墙，底端B距离墙角3米，则梯子的长度为
6
米。答案
1.6
解析
【分析】
首先由墙面与地面垂直可得△ABC是直角三角形，∠C=90°。已知梯子与地面夹角为60°，可计算出直角三角形中另一个锐角为30°，再结合30°角所对直角边为3米，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出斜边即梯子的长度。
【解析】
解：由题意得AC⊥BC，即∠C=90°。
在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴∠A=90°-∠B=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，本题中∠A对的直角边BC=3米，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2BC=2×3=6（米）。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形内角关系、含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查特殊直角三角形的性质应用，解题的关键是找准30°角对应的直角边与斜边的数量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先由墙面与地面垂直可得△ABC是直角三角形，∠C=90°。已知梯子与地面夹角为60°，可计算出直角三角形中另一个锐角为30°，再结合30°角所对直角边为3米，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出斜边即梯子的长度。
【解析】
解：由题意得AC⊥BC，即∠C=90°。
在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴∠A=90°-∠B=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，本题中∠A对的直角边BC=3米，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2BC=2×3=6（米）。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形内角关系、含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查特殊直角三角形的性质应用，解题的关键是找准30°角对应的直角边与斜边的数量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
2. 现实生活 如图是某车库出入口的栏杆，若$BC=4\ \mathrm{m}$，$∠ B'CB=30°$.则栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离$B'D$为
2 m
.答案
2.2 m
3. 情境题 现实生活 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成$30°$角，这棵树在折断前的高度为
9
米。答案
3.9
解析
【分析】
解答本题首先要明确树折断后形成了直角三角形：未折断的树干与地面垂直，是直角三角形的一条直角边，长度为3米，这条直角边恰好是倒下部分与地面成30°角所对的直角边，倒下部分是直角三角形的斜边。我们可以先利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边即折断部分的长度，再加上未折断的3米，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，树折断后与地面构成直角三角形：
未折断的树干长度为3米，与地面垂直，是30°角所对的直角边。
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分（斜边）的长度为 $3×2=6$ 米。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$3+6=9$ 米。
【答案】
9
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，解直角三角形实际应用
【点评】
本题结合生活场景命题，属于基础应用题，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，熟练运用30°角的直角三角形的性质计算边长即可。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确树折断后形成了直角三角形：未折断的树干与地面垂直，是直角三角形的一条直角边，长度为3米，这条直角边恰好是倒下部分与地面成30°角所对的直角边，倒下部分是直角三角形的斜边。我们可以先利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边即折断部分的长度，再加上未折断的3米，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，树折断后与地面构成直角三角形：
未折断的树干长度为3米，与地面垂直，是30°角所对的直角边。
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分（斜边）的长度为 $3×2=6$ 米。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$3+6=9$ 米。
【答案】
9
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，解直角三角形实际应用
【点评】
本题结合生活场景命题，属于基础应用题，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，熟练运用30°角的直角三角形的性质计算边长即可。
【难度系数】
0.8
4. 作答题 现实生活 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，$∠ ABC=150°$，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度$h=$
4
m.答案
4.4
解析
【分析】
要求上升高度h，实质是求点C到一楼水平线AB的垂直距离，我们可以过点C作AB延长线的垂线构造直角三角形。首先根据已知的∠ABC=150°求出直角三角形中锐角的度数，再利用含30°角的直角三角形的性质即可求出h的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则CE的长度就是上升高度h。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=30°，斜边BC=8m，
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
h=CE=½BC=½×8=4(m)。
【答案】
4
【知识点】
邻补角的计算；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是合理作辅助线构造出含30°角的特殊直角三角形，再结合性质计算，难度较低，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
要求上升高度h，实质是求点C到一楼水平线AB的垂直距离，我们可以过点C作AB延长线的垂线构造直角三角形。首先根据已知的∠ABC=150°求出直角三角形中锐角的度数，再利用含30°角的直角三角形的性质即可求出h的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则CE的长度就是上升高度h。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=30°，斜边BC=8m，
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
h=CE=½BC=½×8=4(m)。
【答案】
4
【知识点】
邻补角的计算；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是合理作辅助线构造出含30°角的特殊直角三角形，再结合性质计算，难度较低，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
5.(2025·西安期末)如图，$△ ABC$是等边三角形，点D是AC的中点，过点D作$DE⊥ BC$于点E，$CE=3$，则$AC=$
12
。答案
5.12
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据等边三角形的性质得到∠C=60°，结合DE⊥BC可推出Rt△DEC中∠EDC=30°；再利用含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出CD的长度；最后根据D是AC中点的条件，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC=90°-∠C=30°，
在Rt△DEC中，∠EDC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$CE=\frac{1}{2}CD$，
∵CE=3，
∴$CD=2CE=2×3=6$，
又
∵D是AC的中点，
∴$AC=2CD=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是结合等边三角形的性质找到含30°角的直角三角形，再利用特殊直角三角形的边角关系和中点定义逐步推导所求线段的长度，考察对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据等边三角形的性质得到∠C=60°，结合DE⊥BC可推出Rt△DEC中∠EDC=30°；再利用含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出CD的长度；最后根据D是AC中点的条件，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC=90°-∠C=30°，
在Rt△DEC中，∠EDC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$CE=\frac{1}{2}CD$，
∵CE=3，
∴$CD=2CE=2×3=6$，
又
∵D是AC的中点，
∴$AC=2CD=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是结合等边三角形的性质找到含30°角的直角三角形，再利用特殊直角三角形的边角关系和中点定义逐步推导所求线段的长度，考察对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
6.(2025·许昌期末)如图，Rt△ABC的斜边AC//x轴，点B的坐标是($\frac{3}{2}$,0)，∠A=30°，则AC=
6
。答案
6.6
解析
【分析】
解题思路：首先根据含30°角的直角三角形的性质，可知Rt△ABC中BC=½AC，因此只需先求出BC的长度即可得到AC的长。先利用AC//x轴结合坐标系x轴与y轴垂直的特点，推导得到∠OCB的度数，再在Rt△OBC中利用含30°角的直角三角形的性质，结合点B的坐标求出OB的长度，进而求出BC的长度，最终得到AC的长度。
【解析】
解：
∵AC//x轴，y轴⊥x轴，
∴AC⊥y轴，即∠ACO=90°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，且BC=½AC（含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半）。
∴∠OCB=∠ACO - ∠ACB=90°-60°=30°。
在Rt△COB中，∠COB=90°，∠OCB=30°，
∴OB=½BC（含30°角的直角三角形的性质）。
∵点B的坐标是($\frac{3}{2}$,0)，
∴OB=$\frac{3}{2}$，
∴BC=2OB=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴AC=2BC=2×3=6。
【答案】
6
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，坐标与图形的性质
【点评】
本题是几何与坐标系结合的基础题，解题的关键是利用平行线和直角三角形的角的关系推导出∠OCB的度数，再结合含30°角的直角三角形的性质逐步求出线段长度，解题时要注意找准30°角对应的直角边和斜边。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据含30°角的直角三角形的性质，可知Rt△ABC中BC=½AC，因此只需先求出BC的长度即可得到AC的长。先利用AC//x轴结合坐标系x轴与y轴垂直的特点，推导得到∠OCB的度数，再在Rt△OBC中利用含30°角的直角三角形的性质，结合点B的坐标求出OB的长度，进而求出BC的长度，最终得到AC的长度。
【解析】
解：
∵AC//x轴，y轴⊥x轴，
∴AC⊥y轴，即∠ACO=90°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，且BC=½AC（含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半）。
∴∠OCB=∠ACO - ∠ACB=90°-60°=30°。
在Rt△COB中，∠COB=90°，∠OCB=30°，
∴OB=½BC（含30°角的直角三角形的性质）。
∵点B的坐标是($\frac{3}{2}$,0)，
∴OB=$\frac{3}{2}$，
∴BC=2OB=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴AC=2BC=2×3=6。
【答案】
6
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，坐标与图形的性质
【点评】
本题是几何与坐标系结合的基础题，解题的关键是利用平行线和直角三角形的角的关系推导出∠OCB的度数，再结合含30°角的直角三角形的性质逐步求出线段长度，解题时要注意找准30°角对应的直角边和斜边。
【难度系数】
0.7
7.(教材 P83 例5变式)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=30°,BC=6\ \mathrm{cm},AD$是$∠ CAB$的平分线,求$CD$的长. 
答案
7.由题意得$∠CAB=90°−30°=60°$.
∵AD是$∠CAB$的平分线，
∴$∠CAD=∠BAD=∠B=30°$.
∴$AD=2CD,AD=BD$.
∴$BC=3CD$.
∴$CD=\frac{1}{3} BC=\frac{1}{3}×6=2(\mathrm{cm})$.
∴$CD$的长为2 cm
∵AD是$∠CAB$的平分线，
∴$∠CAD=∠BAD=∠B=30°$.
∴$AD=2CD,AD=BD$.
∴$BC=3CD$.
∴$CD=\frac{1}{3} BC=\frac{1}{3}×6=2(\mathrm{cm})$.
∴$CD$的长为2 cm
解析
【分析】
解题时先从已知的Rt△ABC的内角条件入手，先求出∠CAB的度数；再结合AD是角平分线的条件，得出∠CAD、∠BAD的度数，得到角的等量关系；接下来利用等角对等边和含30°角的直角三角形的性质，推导出CD和BD、AD的线段关系，最后结合BC的长度建立关于CD的等式，即可求出CD的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ CAB=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
$\because AD$是$∠ CAB$的平分线，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B=30°$，
$\therefore AD=BD$，
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，
$\therefore AD=2CD$，
$\therefore BD=2CD$，
又$\because BC=CD+BD=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD+2CD=6\ \mathrm{cm}$，即$3CD=6\ \mathrm{cm}$，
解得$CD=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$CD$的长为$2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题关键是通过角的关系推导出线段之间的倍数关系，将未知线段和已知线段建立关联，是角平分线、等腰三角形判定和特殊直角三角形性质结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的Rt△ABC的内角条件入手，先求出∠CAB的度数；再结合AD是角平分线的条件，得出∠CAD、∠BAD的度数，得到角的等量关系；接下来利用等角对等边和含30°角的直角三角形的性质，推导出CD和BD、AD的线段关系，最后结合BC的长度建立关于CD的等式，即可求出CD的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ CAB=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
$\because AD$是$∠ CAB$的平分线，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B=30°$，
$\therefore AD=BD$，
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，
$\therefore AD=2CD$，
$\therefore BD=2CD$，
又$\because BC=CD+BD=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD+2CD=6\ \mathrm{cm}$，即$3CD=6\ \mathrm{cm}$，
解得$CD=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$CD$的长为$2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题关键是通过角的关系推导出线段之间的倍数关系，将未知线段和已知线段建立关联，是角平分线、等腰三角形判定和特殊直角三角形性质结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8. 跨学科 测绘(2025·泸州期末)如图，李明同学想测量泸州白塔CD的高度，他在A处测得∠CAD=15°，再往前行进60 m到达B处，此时测得∠CBD=30°，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔CD的高度.
答案
8.
∵$∠ACB=∠CBD−∠CAD=15°$,
∴$∠CAB=∠ACB=15°$,
∴$BC=AB=60\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△BCD$中,
∵$∠CBD=30°$,
∴$CD=\frac{1}{2} BC=\frac{1}{2}×60=30(\mathrm{m})$.
∴泸州白塔的高度是30 m
∵$∠ACB=∠CBD−∠CAD=15°$,
∴$∠CAB=∠ACB=15°$,
∴$BC=AB=60\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△BCD$中,
∵$∠CBD=30°$,
∴$CD=\frac{1}{2} BC=\frac{1}{2}×60=30(\mathrm{m})$.
∴泸州白塔的高度是30 m
解析
【分析】
要计算白塔CD的高度，CD位于Rt△BCD中，已知∠CBD=30°，若能求出斜边BC的长度，即可利用含30°角的直角三角形的性质求出CD。首先利用三角形外角的性质，计算∠ACB的度数：∠CBD是△ABC的外角，因此∠ACB=∠CBD-∠CAD，计算后发现∠ACB=∠CAB，根据等角对等边可得BC=AB，得到BC的长度后，代入直角三角形的性质即可求出CD。
【解析】
∵ ∠CBD是△ABC的外角，
∴ ∠ACB=∠CBD−∠CAD=30°−15°=15°，
∴ ∠CAB=∠ACB=15°，
∴ BC=AB=60 m。
在Rt△BCD中，∠D=90°，∠CBD=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ CD=$\frac{1}{2}$ BC=$\frac{1}{2}$×60=30(m)。
【答案】
泸州白塔CD的高度是30 m
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 等腰三角形的判定
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了基础几何知识的综合应用，解题的关键是先通过角的数量关系推导出等腰三角形，得到BC的长度，再结合特殊直角三角形的性质求解，解题思路清晰，注重基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.75
要计算白塔CD的高度，CD位于Rt△BCD中，已知∠CBD=30°，若能求出斜边BC的长度，即可利用含30°角的直角三角形的性质求出CD。首先利用三角形外角的性质，计算∠ACB的度数：∠CBD是△ABC的外角，因此∠ACB=∠CBD-∠CAD，计算后发现∠ACB=∠CAB，根据等角对等边可得BC=AB，得到BC的长度后，代入直角三角形的性质即可求出CD。
【解析】
∵ ∠CBD是△ABC的外角，
∴ ∠ACB=∠CBD−∠CAD=30°−15°=15°，
∴ ∠CAB=∠ACB=15°，
∴ BC=AB=60 m。
在Rt△BCD中，∠D=90°，∠CBD=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ CD=$\frac{1}{2}$ BC=$\frac{1}{2}$×60=30(m)。
【答案】
泸州白塔CD的高度是30 m
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 等腰三角形的判定
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了基础几何知识的综合应用，解题的关键是先通过角的数量关系推导出等腰三角形，得到BC的长度，再结合特殊直角三角形的性质求解，解题思路清晰，注重基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.75
