9.(2025·潮州期末)如图，，∠AOB=30°，P是∠AOB的平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN//OB交OA于点N，若PM=2，则PN的长为。

9.4

【分析】
解题时首先结合已知条件思考相关性质：看到角平分线上的点P，联想到角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过P作OA的垂线，得到该垂线段长度等于PM=2；再结合PN//OB的条件，利用平行线的同位角相等得到直角三角形中30°的角，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求出PN的长度。
【解析】
解：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OB，PE⊥OA，
∴根据角平分线的性质可得：PE=PM=2，
∵PN//OB，∠AOB=30°，
∴根据两直线平行，同位角相等可得：∠PNE=∠AOB=30°，
在Rt△PNE中，∠PNE=30°，
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得PE=½PN，
∴PN=2PE=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，结合角平分线和平行线的性质找到边长关系，进而求出目标线段长度。
【难度系数】
0.7

10.(2025·安阳期末)如图,在锐角$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$E$是$△ ABC$内两点,$AD$平分$∠ BAC$,$∠ EBC=∠ E=60°$,若$BE=6\ \mathrm{cm}$,$DE=2\ \mathrm{cm}$,则$BC$的长度是.

10.8 cm

【分析】
解题时首先结合已知条件联想特殊三角形的性质：①由$AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，可联想到等腰三角形“三线合一”，可知$AD$的延长线垂直且平分$BC$；②由$∠ EBC=∠ E=60°$，可构造等边三角形，再结合含$30°$角的直角三角形的性质计算线段长度。具体思路为：先作辅助线延长$ED$交$BC$于$M$、延长$AD$交$BC$于$N$，先证$△ BEM$是等边三角形，求出$DM$的长度，再利用$30°$角直角三角形的性质求出$NM$的长度，进而求出$BN$的长度，最终得到$BC$的长度。
【解析】
延长$ED$交$BC$于点$M$，延长$AD$交$BC$于点$N$。
1. 因为$AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$AN⊥ BC$，$BN=CN=\frac{1}{2}BC$。
2. 因为$∠ EBC=∠ E=60°$，所以$△ BEM$为等边三角形，因此$BM=EM=BE=6\ \mathrm{cm}$，$∠ EMB=60°$。
3. 已知$DE=2\ \mathrm{cm}$，则$DM=EM-DE=6-2=4\ \mathrm{cm}$。
4. 因为$AN⊥ BC$，所以$∠ DNM=90°$，在$\mathrm{Rt}△ DNM$中，$∠ NDM=90°-∠ EMB=30°$，根据含$30°$角的直角三角形的性质，可得$NM=\frac{1}{2}DM=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
5. 因此$BN=BM-NM=6-2=4\ \mathrm{cm}$，所以$BC=2BN=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含$30°$角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊三角形的性质应用，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形和含$30°$角的直角三角形，对学生的辅助线构造能力和性质灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

11.(最值问题)(2025·吕梁期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$AD$平分$∠ BAC$,$∠ BAD=15°$,点$P$,$Q$分别为边$AD$,$AB$上的动点,连接$BP$,$PQ$,则$BP+PQ$的最小值为.

11.4

【分析】
本题为两条线段和的最值问题，解题思路如下：首先回忆最短路径的常用解法，结合AD是角平分线的条件，利用角平分线的轴对称性转化线段：AD平分∠BAC，说明AB和AC关于AD所在直线对称，可将AD上一点到AB上点的距离转化为该点到AC上对应对称点的距离；再根据“垂线段最短”，确定两条线段和的最小值为点B到AC的垂线段长度；最后结合已知角度和边长，用含30°角的直角三角形的性质计算即可。
【解析】
解：过点B作$BQ'⊥ AC$于点$Q'$，交AD于点P。
∵AD平分$∠ BAC$，$∠ BAD=15°$，
∴$∠ BAC=2∠ BAD=30°$，且AB、AC关于AD所在直线对称。
在AB上取点Q关于AD的对称点，易知该对称点为$Q'$，因此$PQ=PQ'$，
则$BP+PQ=BP+PQ'$。
根据“垂线段最短”可得，当B、P、$Q'$三点共线且$BQ'⊥ AC$时，$BP+PQ'$的取值最小，最小值就是垂线段$BQ'$的长度。
在$Rt△ ABQ'$中，$∠ BAC=30°$，斜边$AB=8$，
由含30°角的直角三角形的性质可得：$BQ'=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
即$BP+PQ$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是轴对称求最值的典型题型，解题核心是利用角平分线的对称性完成线段的等量转化，将折线和的最值问题转化为点到直线的距离问题，再结合特殊直角三角形的性质计算结果，解题时要注意轴对称性质和垂线段最短的结合使用。
【难度系数】
0.6

12.(学科内综合)如图，$△ ABC$为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且$AE=CD$，AD和BE相交于点M，$BN⊥ AD$于N.
(1)求证:$BE=AD$；
(2)求$∠ BMN$的度数；
(3)若$MN=3$，$ME=1$，求AD的长.

12.(1)
∵$△ABC$为等边三角形,
∴$∠BAC=∠ACB=60°$,$AB=CA$.在$△ABE$和$△CAD$中,$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠BAC=∠ACB, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴$△ABE≌△CAD(\mathrm{SAS})$.
∴$BE=AD$
(2)
∵$△ABE≌△CAD$,
∴$∠ABE=∠CAD$.
∴$∠BMN=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAE=60°$
(3)
∵$BN⊥AD$,
∴$∠BNM=90°$,由(2)得$∠BMN=60°$,
∴$∠NBM=30°$,
∴$BM=2MN=2×3=6$ ,
∴$BE=BM+ME=6+1=7$,由(1)得$AD=BE$,
∴$AD=7$

【分析】
(1)要证明两条线段相等，常通过证明线段所在的三角形全等实现。已知△ABC是等边三角形，可得到一组等边和一组等角，再结合已知的AE=CD，即可用SAS判定△ABE和△CAD全等，从而得到BE=AD。
(2)求∠BMN的度数，可利用(1)的全等结论得到对应角相等，再结合三角形外角的性质，将∠BMN转化为等边三角形的内角，即可求出度数。
(3)已知BN⊥AD，结合(2)得到的∠BMN的度数，可利用含30°角的直角三角形的性质求出BM的长度，再通过线段和差求出BE的长度，最后结合(1)中BE=AD的结论即可求出AD的长。
【解析】
(1)
∵$△ABC$为等边三角形，
∴$∠BAC=∠ACB=60°$，$AB=CA$。
在$△ABE$和$△CAD$中，
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠BAC=∠ACB, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴$△ABE≌△CAD(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=AD$。
(2)
∵$△ABE≌△CAD$，
∴$∠ABE=∠CAD$，
∴$∠BMN=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAE=60°$。
(3)
∵$BN⊥AD$，
∴$∠BNM=90°$，由(2)得$∠BMN=60°$，
∴$∠NBM=30°$，
∴$BM=2MN=2×3=6$，
∴$BE=BM+ME=6+1=7$，由(1)得$AD=BE$，
∴$AD=7$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$60°$；
(3)$7$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何递进式综合题，前一问的结论可直接作为后一问的解题条件，解题时要注意把握各小问的关联性，熟练掌握特殊三角形的性质和全等三角形的判定方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

13.(方程思想)如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动。
(1)点P的运动速度是1 cm/s，点Q的运动速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
(2)若它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t(s)，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

13.(1)根据题意得$AP=t\ \mathrm{cm}$,$BQ=2t\ \mathrm{cm}$,当$t=2$时,$AP=2\ \mathrm{cm}$,$BQ=4\ \mathrm{cm}$,
∵$△ABC$是边长为6 cm的等边三角形,
∴$AB=6\ \mathrm{cm}$,$∠B=60°$,
∴$BP=4\ \mathrm{cm}$,
∴$BP=BQ$,
∴$△BPQ$是等边三角形
(2)在$△PBQ$中,$BP=6−t$,$BQ=t$,若$△PBQ$是直角三角形,则$∠BQP=90°$或$∠BPQ=90°$,①当$∠BQP=90°$时,
∵$∠B=60°$,
∴$∠BPQ=30°$,
∴$BQ=\frac{1}{2} BP$,即$t=\frac{1}{2}(6−t)$,解得$t=2$;②当$∠BPQ=90°$时,同理得:$BP=\frac{1}{2} BQ$,即$6−t=\frac{1}{2} t$,解得$t=4$,综上可知,当$t=2$或$t=4$时,$△PBQ$是直角三角形

【分析】
(1) 要判断△BPQ的形状，已知△ABC是等边三角形，可得∠B=60°，先根据运动速度、时间计算出BP和BQ的长度，判断两边是否相等，再结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可得出结论。
(2) △PBQ中∠B固定为60°，若为直角三角形，直角只能是∠BQP或∠BPQ两种情况，分别根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”列方程求解，同时注意t的取值符合运动停止的条件即可。
【解析】
(1) 根据题意得：$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，
当$t=2$时，$AP=1×2=2\ \mathrm{cm}$，$BQ=2×2=4\ \mathrm{cm}$，
∵△ABC是边长为6 cm的等边三角形，
∴$AB=6\ \mathrm{cm}$，$∠B=60°$，
∴$BP=AB-AP=6-2=4\ \mathrm{cm}$，
∴$BP=BQ$，又
∵$∠B=60°$，
∴△BPQ是等边三角形。
(2) 根据题意得：$BP=(6-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，点P运动到B点停止，故t的取值范围是$0≤ t≤6$。
若△PBQ是直角三角形，因$∠B=60°$，则分两种情况：
①当$∠BQP=90°$时，$∠BPQ=90°-∠B=30°$，
根据含30°角的直角三角形性质，得$BQ=\frac{1}{2}BP$，
即$t=\frac{1}{2}(6-t)$，解得$t=2$，符合取值范围；
②当$∠BPQ=90°$时，$∠BQP=90°-∠B=30°$，
同理得$BP=\frac{1}{2}BQ$，
即$6-t=\frac{1}{2}t$，解得$t=4$，符合取值范围。
综上，当t为2或4时，△PBQ是直角三角形。
【答案】
(1) △BPQ是等边三角形；(2) $t=2$或$t=4$
【知识点】
等边三角形判定、含30°角直角三角形性质、分类讨论思想
【点评】
本题将动点问题与特殊三角形的性质结合考查，第一问难度较低，第二问需要根据直角的位置进行分类讨论，避免漏解，能够很好地考查对特殊三角形性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7