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1. 教材母题 教材P₃₇练习T₁变式 下列函数中，是一次函数不是正比例函数的是 （
A.$y=2x-1$
B.$y=\dfrac{1}{x}$
C.$y=-3x$
D.$y=8x^2$
A
）A.$y=2x-1$
B.$y=\dfrac{1}{x}$
C.$y=-3x$
D.$y=8x^2$
答案
1.A
解析
【分析】
解题前首先要明确一次函数和正比例函数的定义及两者的区别：①一次函数需满足：表达式是关于x的整式、x的最高次数为1、一次项系数不为0，一般形式为$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$）；②正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的条件外，还需常数项$b=0$，一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）。解题时先逐一判断各选项是否为一次函数，排除非一次函数的选项，再从剩余的一次函数中排除属于正比例函数的选项，即可得到答案。
【解析】
首先明确两类函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$）的函数；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数，是$b=0$的特殊一次函数。
逐个分析选项：
选项A：$y=2x-1$，符合一次函数形式，其中$k=2\ne0$，$b=-1\ne0$，是一次函数但不是正比例函数，符合题意；
选项B：$y=\dfrac{1}{x}$，右边是分式，不是整式，不属于一次函数，不符合题意；
选项C：$y=-3x$，符合$b=0$的一次函数特征，属于正比例函数，不符合题意；
选项D：$y=8x^2$，$x$的最高次数为2，属于二次函数，不属于一次函数，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义；一次函数与正比例函数的关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对一次函数和正比例函数概念的理解，解题的关键是准确掌握两类函数的特征，区分清楚两者的联系与差异，避免混淆不同类型函数的判定标准。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确一次函数和正比例函数的定义及两者的区别：①一次函数需满足：表达式是关于x的整式、x的最高次数为1、一次项系数不为0，一般形式为$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$）；②正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的条件外，还需常数项$b=0$，一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）。解题时先逐一判断各选项是否为一次函数，排除非一次函数的选项，再从剩余的一次函数中排除属于正比例函数的选项，即可得到答案。
【解析】
首先明确两类函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$）的函数；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数，是$b=0$的特殊一次函数。
逐个分析选项：
选项A：$y=2x-1$，符合一次函数形式，其中$k=2\ne0$，$b=-1\ne0$，是一次函数但不是正比例函数，符合题意；
选项B：$y=\dfrac{1}{x}$，右边是分式，不是整式，不属于一次函数，不符合题意；
选项C：$y=-3x$，符合$b=0$的一次函数特征，属于正比例函数，不符合题意；
选项D：$y=8x^2$，$x$的最高次数为2，属于二次函数，不属于一次函数，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义；一次函数与正比例函数的关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对一次函数和正比例函数概念的理解，解题的关键是准确掌握两类函数的特征，区分清楚两者的联系与差异，避免混淆不同类型函数的判定标准。
【难度系数】
0.8
2. 新考法辨析法 下列说法中正确的是（
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.不是一次函数就不是正比例函数
D
）A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.不是一次函数就不是正比例函数
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道概念辨析题，首先需要回忆一次函数和正比例函数的定义，明确二者的逻辑关系：正比例函数是特殊的一次函数，即一次函数包含正比例函数，所有正比例函数都属于一次函数，但一次函数只有当常数项为0时才是正比例函数。接下来我们可以用这个从属关系逐一排查每个选项，排除错误表述即可得到正确答案。
【解析】
首先明确两个函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数，是一次函数中$b=0$的特殊情况。
逐一分析选项：
A选项：当一次函数中$b≠0$时，比如$y=2x+1$，就不是正比例函数，因此一次函数不一定是正比例函数，A错误；
B选项：正比例函数是$b=0$的特殊一次函数，属于一次函数的范畴，B错误；
C选项：以$y=2x+1$为例，它不是正比例函数，但属于一次函数，C错误；
D选项：因为所有正比例函数都属于一次函数，所以如果一个函数不是一次函数，它必然不可能是正比例函数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数概念，正比例函数概念，函数从属关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对一次函数和正比例函数定义的理解，解题的关键是理清二者的包含关系，熟练掌握概念就能快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道概念辨析题，首先需要回忆一次函数和正比例函数的定义，明确二者的逻辑关系：正比例函数是特殊的一次函数，即一次函数包含正比例函数，所有正比例函数都属于一次函数，但一次函数只有当常数项为0时才是正比例函数。接下来我们可以用这个从属关系逐一排查每个选项，排除错误表述即可得到正确答案。
【解析】
首先明确两个函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数，是一次函数中$b=0$的特殊情况。
逐一分析选项：
A选项：当一次函数中$b≠0$时，比如$y=2x+1$，就不是正比例函数，因此一次函数不一定是正比例函数，A错误；
B选项：正比例函数是$b=0$的特殊一次函数，属于一次函数的范畴，B错误；
C选项：以$y=2x+1$为例，它不是正比例函数，但属于一次函数，C错误；
D选项：因为所有正比例函数都属于一次函数，所以如果一个函数不是一次函数，它必然不可能是正比例函数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数概念，正比例函数概念，函数从属关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对一次函数和正比例函数定义的理解，解题的关键是理清二者的包含关系，熟练掌握概念就能快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x$的函数$y=(m+1)x^{2-|m|}+n+4.$
(1)当$m,n$为何值时,此函数是一次函数?
(2)当$m,n$为何值时,此函数是正比例函数?
(1)当$m,n$为何值时,此函数是一次函数?
(2)当$m,n$为何值时,此函数是正比例函数?
答案
3.【解】(1)根据一次函数的定义，得$2-|m|=1,m+1≠0$，所以$m=1$，所以当$m=1,n$为任意实数时，此函数是一次函数。
(2)根据正比例函数的定义，得$2-|m|=1,m+1≠0,n+4=0$，解得$m=1,n=-4$，所以当$m=1,n=-4$时，此函数是正比例函数。
(2)根据正比例函数的定义，得$2-|m|=1,m+1≠0,n+4=0$，解得$m=1,n=-4$，所以当$m=1,n=-4$时，此函数是正比例函数。
解析
【分析】
解决本题需紧扣一次函数、正比例函数的定义列条件求解：
(1) 一次函数要求形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$），因此对应本题需满足两个核心条件：一是自变量$x$的次数为1，即$2-|m|=1$；二是$x$的系数不为0，即$m+1\ne0$；一次函数对常数项无限制，因此$n$可取任意实数。
(2) 正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的所有条件外，还要求常数项为0，因此额外增加条件$n+4=0$，再求解参数即可。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义列条件：
$\begin{cases}2-|m|=1 \\ m+1≠0\end{cases}$
解方程$2-|m|=1$得$|m|=1$，即$m=\pm1$；
结合不等式$m+1\ne0$，排除$m=-1$，得$m=1$；
一次函数对常数项无要求，因此$n$为任意实数。
(2) 根据正比例函数的定义列条件：
$\begin{cases}2-|m|=1 \\ m+1≠0 \\ n+4=0\end{cases}$
同(1)解得$m=1$，解方程$n+4=0$得$n=-4$。
【答案】
(1) $m=1$，$n$为任意实数；
(2) $m=1$，$n=-4$
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题属于函数基础概念考查题，解题关键是牢记两类函数的成立条件，尤其不要遗漏自变量系数不为0的隐含限制，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
解决本题需紧扣一次函数、正比例函数的定义列条件求解：
(1) 一次函数要求形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$），因此对应本题需满足两个核心条件：一是自变量$x$的次数为1，即$2-|m|=1$；二是$x$的系数不为0，即$m+1\ne0$；一次函数对常数项无限制，因此$n$可取任意实数。
(2) 正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的所有条件外，还要求常数项为0，因此额外增加条件$n+4=0$，再求解参数即可。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义列条件：
$\begin{cases}2-|m|=1 \\ m+1≠0\end{cases}$
解方程$2-|m|=1$得$|m|=1$，即$m=\pm1$；
结合不等式$m+1\ne0$，排除$m=-1$，得$m=1$；
一次函数对常数项无要求，因此$n$为任意实数。
(2) 根据正比例函数的定义列条件：
$\begin{cases}2-|m|=1 \\ m+1≠0 \\ n+4=0\end{cases}$
同(1)解得$m=1$，解方程$n+4=0$得$n=-4$。
【答案】
(1) $m=1$，$n$为任意实数；
(2) $m=1$，$n=-4$
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题属于函数基础概念考查题，解题关键是牢记两类函数的成立条件，尤其不要遗漏自变量系数不为0的隐含限制，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
4. 正比例函数 $ y=kx(k≠0) $ 的图象如图所示，则k的值可能是（
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ -1 $
D.$ -\frac{1}{3} $
A
）A.$ \frac{1}{2} $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ -1 $
D.$ -\frac{1}{3} $
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的性质：系数k的符号决定函数图象经过的象限。首先观察题图中函数图象经过第一、三象限，可判断k＞0，再对比四个选项的数值符号，只有A选项的数值为正，其余均为负，即可选出正确答案。
【解析】
解：对于正比例函数$y=kx(k≠0)$：
当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；
当$k＜0$时，图象经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
由题图可知，该正比例函数图象经过第一、三象限，因此$k＞0$。
观察选项，B、C、D均为负数，只有A选项$\frac{1}{2}$为正数，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查正比例函数系数$k$的符号与图象所在象限的对应关系，熟练掌握该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正比例函数的性质：系数k的符号决定函数图象经过的象限。首先观察题图中函数图象经过第一、三象限，可判断k＞0，再对比四个选项的数值符号，只有A选项的数值为正，其余均为负，即可选出正确答案。
【解析】
解：对于正比例函数$y=kx(k≠0)$：
当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；
当$k＜0$时，图象经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
由题图可知，该正比例函数图象经过第一、三象限，因此$k＞0$。
观察选项，B、C、D均为负数，只有A选项$\frac{1}{2}$为正数，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查正比例函数系数$k$的符号与图象所在象限的对应关系，熟练掌握该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5. 正比例函数$y=ax$中，$y$随$x$的增大而增大，则直线$y=(-a-1)x$经过（
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
C
）A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
5.C
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，回忆正比例函数的增减性与比例系数的关系，根据已知的正比例函数y=ax的增减性，求出a的取值范围；第二步，将a的取值范围代入，求出待判断直线的比例系数(-a-1)的正负；第三步，再根据正比例函数图象与比例系数的关系，确定直线经过的象限。
【解析】
1. 由正比例函数的性质可知：若y随x的增大而增大，则比例系数大于0。
已知正比例函数y=ax中y随x的增大而增大，因此可得a＞0。
2. 计算直线y=(-a-1)x的比例系数的符号：
因为a＞0，所以-a＜0，进一步可得 -a-1 ＜ 0。
3. 对于正比例函数y=kx（k为常数，k≠0），当k＜0时，函数图象经过第二、四象限。
本题中直线y=(-a-1)x的比例系数为负，因此该直线经过第二、四象限。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的增减性；正比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用，需要熟练掌握正比例函数的增减性、图象位置和比例系数符号的对应关系，解题时要注意正确推导参数的正负，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步，回忆正比例函数的增减性与比例系数的关系，根据已知的正比例函数y=ax的增减性，求出a的取值范围；第二步，将a的取值范围代入，求出待判断直线的比例系数(-a-1)的正负；第三步，再根据正比例函数图象与比例系数的关系，确定直线经过的象限。
【解析】
1. 由正比例函数的性质可知：若y随x的增大而增大，则比例系数大于0。
已知正比例函数y=ax中y随x的增大而增大，因此可得a＞0。
2. 计算直线y=(-a-1)x的比例系数的符号：
因为a＞0，所以-a＜0，进一步可得 -a-1 ＜ 0。
3. 对于正比例函数y=kx（k为常数，k≠0），当k＜0时，函数图象经过第二、四象限。
本题中直线y=(-a-1)x的比例系数为负，因此该直线经过第二、四象限。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的增减性；正比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用，需要熟练掌握正比例函数的增减性、图象位置和比例系数符号的对应关系，解题时要注意正确推导参数的正负，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
6. [2025 长春] 已知点$A(-3,y_1)$，$B(3,y_2)$在同一正比例函数$y=kx(k＜0)$的图象上，则下列结论正确的是（
A.$y_1=-y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_2＞0$
D.$y_1＜0$
A
）A.$y_1=-y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_2＞0$
D.$y_1＜0$
答案
6.A 【点拨】因为点$A(-3,y_1),B(3,y_2)$在同一正比例函数$y=kx(k＜0)$的图象上，所以$y_1=-3k,y_2=3k$，所以$y_1=-y_2$。因为$k＜0$，所以正比例函数的图象经过二、四象限，当$x＜0$时，$y＞0$；当$x＞0$时，$y＜0$。因为$-3＜0＜3$，所以$y_1＞0,y_2＜0$，所以选项A正确，选项B,C,D错误。故选A.
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：一是将点的坐标直接代入正比例函数解析式，分别求出$y_1$、$y_2$的表达式，对比二者关系，再结合$k＜0$的条件判断$y_1$、$y_2$的正负；二是利用正比例函数关于原点对称的性质，以及$k＜0$时函数的图象象限特征，逐一验证每个选项是否正确。
【解析】
将点$A(-3,y_1)$代入正比例函数$y=kx$，得$y_1=-3k$；
将点$B(3,y_2)$代入正比例函数$y=kx$，得$y_2=3k$；
因此$y_1=-y_2$，选项A正确，选项B错误。
已知$k＜0$，所以该正比例函数图象经过第二、四象限：当$x＜0$时，$y＞0$；当$x＞0$时，$y＜0$。
因为$-3＜0$，所以$y_1＞0$，选项D错误；因为$3＞0$，所以$y_2＜0$，选项C错误。
综上，只有选项A结论正确。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数的基础考查题，既可以通过代数代入计算快速得出$y_1$和$y_2$的数量关系，也可以结合函数图象的几何特征判断函数值正负，解题方法灵活，熟练掌握正比例函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：一是将点的坐标直接代入正比例函数解析式，分别求出$y_1$、$y_2$的表达式，对比二者关系，再结合$k＜0$的条件判断$y_1$、$y_2$的正负；二是利用正比例函数关于原点对称的性质，以及$k＜0$时函数的图象象限特征，逐一验证每个选项是否正确。
【解析】
将点$A(-3,y_1)$代入正比例函数$y=kx$，得$y_1=-3k$；
将点$B(3,y_2)$代入正比例函数$y=kx$，得$y_2=3k$；
因此$y_1=-y_2$，选项A正确，选项B错误。
已知$k＜0$，所以该正比例函数图象经过第二、四象限：当$x＜0$时，$y＞0$；当$x＞0$时，$y＜0$。
因为$-3＜0$，所以$y_1＞0$，选项D错误；因为$3＞0$，所以$y_2＜0$，选项C错误。
综上，只有选项A结论正确。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数的基础考查题，既可以通过代数代入计算快速得出$y_1$和$y_2$的数量关系，也可以结合函数图象的几何特征判断函数值正负，解题方法灵活，熟练掌握正比例函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 对于函数$y=-2x$，下列说法不正确的是（
A.它的图象是一条直线
B.y随着x的增大而增大
C.它的图象过点$(-1,2)$
D.它的图象经过第二、四象限
B
）A.它的图象是一条直线
B.y随着x的增大而增大
C.它的图象过点$(-1,2)$
D.它的图象经过第二、四象限
答案
7.B
解析
【分析】
本题考查正比例函数的图象与性质相关知识，解题思路是先明确所给函数是正比例函数，得到比例系数$k=-2$，再结合正比例函数的图象特点、增减性、象限分布，以及函数图象上的点满足函数解析式，逐个判断选项正误即可。
【解析】
函数$y=-2x$是正比例函数，比例系数$k=-2$，我们逐个分析选项：
1. 选项A：正比例函数的图象是过原点的一条直线，因此A说法正确，不符合题意；
2. 选项B：当$k＜0$时，正比例函数的$y$随$x$的增大而减小，因此$y$随$x$增大而增大的说法错误，B符合题意；
3. 选项C：将$x=-1$代入函数解析式，得$y=-2×(-1)=2$，因此图象过点$(-1,2)$，C说法正确，不符合题意；
4. 选项D：当$k＜0$时，正比例函数的图象经过第二、四象限，因此D说法正确，不符合题意。
综上，说法不正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对正比例函数相关性质的掌握，熟记比例系数$k$的正负对应的增减性、图象分布象限是解题的关键，做题时需注意题干要求选择“不正确”的选项，避免粗心失分。
【难度系数】
0.85
本题考查正比例函数的图象与性质相关知识，解题思路是先明确所给函数是正比例函数，得到比例系数$k=-2$，再结合正比例函数的图象特点、增减性、象限分布，以及函数图象上的点满足函数解析式，逐个判断选项正误即可。
【解析】
函数$y=-2x$是正比例函数，比例系数$k=-2$，我们逐个分析选项：
1. 选项A：正比例函数的图象是过原点的一条直线，因此A说法正确，不符合题意；
2. 选项B：当$k＜0$时，正比例函数的$y$随$x$的增大而减小，因此$y$随$x$增大而增大的说法错误，B符合题意；
3. 选项C：将$x=-1$代入函数解析式，得$y=-2×(-1)=2$，因此图象过点$(-1,2)$，C说法正确，不符合题意；
4. 选项D：当$k＜0$时，正比例函数的图象经过第二、四象限，因此D说法正确，不符合题意。
综上，说法不正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对正比例函数相关性质的掌握，熟记比例系数$k$的正负对应的增减性、图象分布象限是解题的关键，做题时需注意题干要求选择“不正确”的选项，避免粗心失分。
【难度系数】
0.85
8.[2025江西]在趣味跳高比赛中,规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四名同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示,则获胜的同学是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
8.A 【点拨】如图，设跳跃高度为$y$,身高为$x$,跳跃高度与自己身高的比值为$k$,则$k=\frac{y}{x}$,所以$y=kx$.根据正比例函数的意义,$k$值越大,图象越陡,反之图象越陡,$k$值越大,所以观察图象,跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲,故选A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目核心是找跳跃高度与身高比值最大的同学，我们可以将这个问题转化为正比例函数相关问题：设身高为自变量$x$，跳跃高度为因变量$y$，二者的比值为$k$，可得$k=\frac{y}{x}$，变形后就是正比例函数表达式$y=kx$，其中$k$就是需要比较的比值。根据正比例函数的性质，过原点的直线$y=kx$中，$k$值越大直线越陡峭，反之过原点和对应点的直线越陡，对应的$k$值就越大。因此只需要将四个点分别与原点连线，比较四条直线的陡峭程度，最陡的直线对应的同学就是获胜者。
【解析】
设跳跃高度为$ y $，身高为$ x $，跳跃高度与身高的比值为$ k $，则$k=\frac{y}{x}$，即$y=kx$，$k$为该正比例函数的比例系数。
根据正比例函数的图象性质：比例系数$k$越大，过原点的函数图象越陡峭；反之过原点和该点的直线越陡峭，对应的$k$值越大。
分别连接原点与甲、乙、丙、丁四个点，观察可得连接原点和甲的直线最陡峭，说明甲的$k$值最大，也就是跳跃高度与自己身高的比值最大，因此获胜的是甲。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象与性质，比值的意义
【点评】
这道题将生活实际问题与数学知识结合，考查数形结合思想的应用，解题关键是把所求比值转化为正比例函数的比例系数，通过判断直线陡峭程度即可快速得到结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确题目核心是找跳跃高度与身高比值最大的同学，我们可以将这个问题转化为正比例函数相关问题：设身高为自变量$x$，跳跃高度为因变量$y$，二者的比值为$k$，可得$k=\frac{y}{x}$，变形后就是正比例函数表达式$y=kx$，其中$k$就是需要比较的比值。根据正比例函数的性质，过原点的直线$y=kx$中，$k$值越大直线越陡峭，反之过原点和对应点的直线越陡，对应的$k$值就越大。因此只需要将四个点分别与原点连线，比较四条直线的陡峭程度，最陡的直线对应的同学就是获胜者。
【解析】
设跳跃高度为$ y $，身高为$ x $，跳跃高度与身高的比值为$ k $，则$k=\frac{y}{x}$，即$y=kx$，$k$为该正比例函数的比例系数。
根据正比例函数的图象性质：比例系数$k$越大，过原点的函数图象越陡峭；反之过原点和该点的直线越陡峭，对应的$k$值越大。
分别连接原点与甲、乙、丙、丁四个点，观察可得连接原点和甲的直线最陡峭，说明甲的$k$值最大，也就是跳跃高度与自己身高的比值最大，因此获胜的是甲。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象与性质，比值的意义
【点评】
这道题将生活实际问题与数学知识结合，考查数形结合思想的应用，解题关键是把所求比值转化为正比例函数的比例系数，通过判断直线陡峭程度即可快速得到结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.7
9. 如果关于x的函数$y=(m-2)x + m^2 -4$是正比例函数，那么m的值是（
A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.任意实数
B
）A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.任意实数
答案
9.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确正比例函数的定义要求：正比例函数的形式为$y=kx$（$k$是常数，且$k≠0$），也就是要同时满足两个核心条件：①一次项系数不为0；②常数项为0。我们只需要根据这两个条件列出关于$m$的方程和不等式，求解后排除不符合的取值即可得到正确答案。
【解析】
根据正比例函数的定义，函数$y=(m-2)x + m^2 -4$要为正比例函数，需同时满足：
1. 常数项为0：$m^2 -4=0$，解方程得$m=2$或$m=-2$；
2. 一次项系数不为0：$m-2≠0$，即$m≠2$。
综合两个条件，排除$m=2$，可得$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义、一元二次方程求解、一元一次不等式求解
【点评】
本题是正比例函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误选$m=\pm2$，解题时需紧扣定义的两个要求，不要遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确正比例函数的定义要求：正比例函数的形式为$y=kx$（$k$是常数，且$k≠0$），也就是要同时满足两个核心条件：①一次项系数不为0；②常数项为0。我们只需要根据这两个条件列出关于$m$的方程和不等式，求解后排除不符合的取值即可得到正确答案。
【解析】
根据正比例函数的定义，函数$y=(m-2)x + m^2 -4$要为正比例函数，需同时满足：
1. 常数项为0：$m^2 -4=0$，解方程得$m=2$或$m=-2$；
2. 一次项系数不为0：$m-2≠0$，即$m≠2$。
综合两个条件，排除$m=2$，可得$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义、一元二次方程求解、一元一次不等式求解
【点评】
本题是正比例函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误选$m=\pm2$，解题时需紧扣定义的两个要求，不要遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
10. 已知A(2,5),B(1,1),C(-2,-5),D(-6,-15)四点中,只有一点不在同一个正比例函数的图象上,这个点是 (
A.A点
B.B点
C.C点
D.D点
B
)A.A点
B.B点
C.C点
D.D点
答案
10.B
解析
【分析】
要判断哪个点不在同一正比例函数图象上，首先回忆正比例函数的解析式为y=kx（k为常数，k≠0），因此位于同一正比例函数图象上的点，其纵坐标与横坐标的比值（x≠0时）都等于定值k。因此解题思路为：分别计算四个点的纵坐标与横坐标的比值，比值与其他三个不同的点，就是不在该正比例函数图象上的点。
【解析】
设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），若点(x,y)在该函数图象上，则满足$k=\frac{y}{x}$（x≠0）。
分别计算四个点的纵坐标与横坐标的比值：
1. 点A(2,5)：$\frac{y}{x}=\frac{5}{2}=2.5$
2. 点B(1,1)：$\frac{y}{x}=\frac{1}{1}=1$
3. 点C(-2,-5)：$\frac{y}{x}=\frac{-5}{-2}=2.5$
4. 点D(-6,-15)：$\frac{y}{x}=\frac{-15}{-6}=2.5$
可见A、C、D三点的比值相同，均满足正比例函数$y=\frac{5}{2}x$的解析式，只有B点的比值不同，不在该函数图象上。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题侧重考查正比例函数的基础性质，解题的核心是抓住同一正比例函数上所有点的纵、横坐标比值为定值的特点，通过计算对比即可快速得出结果，解题时无需挨个求解析式验证，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断哪个点不在同一正比例函数图象上，首先回忆正比例函数的解析式为y=kx（k为常数，k≠0），因此位于同一正比例函数图象上的点，其纵坐标与横坐标的比值（x≠0时）都等于定值k。因此解题思路为：分别计算四个点的纵坐标与横坐标的比值，比值与其他三个不同的点，就是不在该正比例函数图象上的点。
【解析】
设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），若点(x,y)在该函数图象上，则满足$k=\frac{y}{x}$（x≠0）。
分别计算四个点的纵坐标与横坐标的比值：
1. 点A(2,5)：$\frac{y}{x}=\frac{5}{2}=2.5$
2. 点B(1,1)：$\frac{y}{x}=\frac{1}{1}=1$
3. 点C(-2,-5)：$\frac{y}{x}=\frac{-5}{-2}=2.5$
4. 点D(-6,-15)：$\frac{y}{x}=\frac{-15}{-6}=2.5$
可见A、C、D三点的比值相同，均满足正比例函数$y=\frac{5}{2}x$的解析式，只有B点的比值不同，不在该函数图象上。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题侧重考查正比例函数的基础性质，解题的核心是抓住同一正比例函数上所有点的纵、横坐标比值为定值的特点，通过计算对比即可快速得出结果，解题时无需挨个求解析式验证，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
11.已知函数$y=(k-1)x(k≠1)$，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么$k=$
-1
.答案
11.$-1$ 【点拨】因为函数$y=(k-1)x(k≠1)$,当自变量取值增加1的时候,函数值减少2,所以$y-2=(k-1)(x+1)$,将$y=(k-1)x$代入$y-2=(k-1)(x+1)$,得$(k-1)x-2=(k-1)(x+1)$,即$(k-1)x-2=(k-1)x+(k-1)$,解得$k=-1$.
解析
【分析】
解题时首先要把题目中文字描述的变量变化转化为数学等式：已知原函数为$y=(k-1)x$，自变量x增加1后变为$x+1$，对应的函数值减少2后变为$y-2$，变化后的x和y仍然满足原函数的表达式，据此可列出等式，再将原函数式代入消去x、y，就能求出参数k的值。
【解析】
解：根据题意，自变量增加1即变为$x+1$，此时函数值减少2即变为$y-2$，二者满足原函数关系式，可得：
$y - 2 = (k - 1)(x + 1)$
把$y=(k-1)x$代入上式：
$(k - 1)x - 2 = (k - 1)(x + 1)$
展开右侧得：
$(k - 1)x - 2 = (k - 1)x + k - 1$
两边同时减去$(k-1)x$，得：
$-2 = k - 1$
解得：$k = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
正比例函数的对应关系、一元一次方程求解
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，重点考查对函数中自变量与函数值对应变化规律的理解，解题关键是将文字描述的变化转化为代数等式，再通过代入消元求解参数，熟练掌握函数基本概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先要把题目中文字描述的变量变化转化为数学等式：已知原函数为$y=(k-1)x$，自变量x增加1后变为$x+1$，对应的函数值减少2后变为$y-2$，变化后的x和y仍然满足原函数的表达式，据此可列出等式，再将原函数式代入消去x、y，就能求出参数k的值。
【解析】
解：根据题意，自变量增加1即变为$x+1$，此时函数值减少2即变为$y-2$，二者满足原函数关系式，可得：
$y - 2 = (k - 1)(x + 1)$
把$y=(k-1)x$代入上式：
$(k - 1)x - 2 = (k - 1)(x + 1)$
展开右侧得：
$(k - 1)x - 2 = (k - 1)x + k - 1$
两边同时减去$(k-1)x$，得：
$-2 = k - 1$
解得：$k = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
正比例函数的对应关系、一元一次方程求解
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，重点考查对函数中自变量与函数值对应变化规律的理解，解题关键是将文字描述的变化转化为代数等式，再通过代入消元求解参数，熟练掌握函数基本概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12. 如图，若正比例函数$y=kx$的图象与直线$x=-1,x=2,y=2,y=4$相交围成的长方形ABCD有公共点，则$k$的取值范围是
$k≥1或k≤-2$
。答案
12.$k≥1$或$k≤-2$ 【点拨】易知$C(2,2),B(-1,2)$.当正比例函数图象经过$C(2,2)$时,$2=2k$,解得$k=1$.当正比例函数图象经过$B(-1,2)$时,$2=-k$,解得$k=-2$,所以当正比例函数$y=kx$的图象与长方形$ABCD$有公共点时,$k≥1$或$k≤-2$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确长方形ABCD的边界特征：它由直线x=-1、x=2、y=2、y=4围成，四个顶点坐标分别为A(-1,4)、B(-1,2)、C(2,2)、D(2,4)。正比例函数y=kx是过原点的直线，要使它和长方形有公共点，只需找到直线刚好经过长方形顶点的临界状态，求出对应k值后，结合正比例函数图象的走势判断k的取值范围即可：k＞0时直线过一、三象限，k越大直线越陡；k＜0时直线过二、四象限，k越小（越负）直线越陡，据此可确定范围。
【解析】
1. 确定长方形的临界交点：
由题意得，长方形靠近原点的两个临界交点为C(2,2)、B(-1,2)。
2. 计算临界状态下的k值：
① 当y=kx经过点C(2,2)时，将x=2，y=2代入解析式：
$2=2k$，解得$k=1$。
当$k≥1$时，正比例函数第一象限的图象会与长方形有公共点。
② 当y=kx经过点B(-1,2)时，将x=-1，y=2代入解析式：
$2=-k$，解得$k=-2$。
当$k≤-2$时，正比例函数第二象限的图象会与长方形有公共点。
3. 综合得k的取值范围：$k≥1$或$k≤-2$。
【答案】
$k≥ 1$或$k≤ -2$
【知识点】
正比例函数的性质，待定系数法，数形结合思想
【点评】
本题考查正比例函数与几何图形的综合应用，核心是抓住正比例函数过原点的特征，找到直线与长方形相交的临界交点，通过代入计算临界k值，再结合图象走势确定取值范围，解题时需注意分k的正负讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要明确长方形ABCD的边界特征：它由直线x=-1、x=2、y=2、y=4围成，四个顶点坐标分别为A(-1,4)、B(-1,2)、C(2,2)、D(2,4)。正比例函数y=kx是过原点的直线，要使它和长方形有公共点，只需找到直线刚好经过长方形顶点的临界状态，求出对应k值后，结合正比例函数图象的走势判断k的取值范围即可：k＞0时直线过一、三象限，k越大直线越陡；k＜0时直线过二、四象限，k越小（越负）直线越陡，据此可确定范围。
【解析】
1. 确定长方形的临界交点：
由题意得，长方形靠近原点的两个临界交点为C(2,2)、B(-1,2)。
2. 计算临界状态下的k值：
① 当y=kx经过点C(2,2)时，将x=2，y=2代入解析式：
$2=2k$，解得$k=1$。
当$k≥1$时，正比例函数第一象限的图象会与长方形有公共点。
② 当y=kx经过点B(-1,2)时，将x=-1，y=2代入解析式：
$2=-k$，解得$k=-2$。
当$k≤-2$时，正比例函数第二象限的图象会与长方形有公共点。
3. 综合得k的取值范围：$k≥1$或$k≤-2$。
【答案】
$k≥ 1$或$k≤ -2$
【知识点】
正比例函数的性质，待定系数法，数形结合思想
【点评】
本题考查正比例函数与几何图形的综合应用，核心是抓住正比例函数过原点的特征，找到直线与长方形相交的临界交点，通过代入计算临界k值，再结合图象走势确定取值范围，解题时需注意分k的正负讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
