13. 初高衔接 在讲解分类讨论思想的数学课上，老师要求同学们画函数$y=|x|$的图象，小红联想绝对值的性质得$y=x(x＞0)$，$y=-x(x≤0)$，于是她很快画出了该函数的图象(如图①②)。
(1)小红所画的图象对吗？如果不对，请你画出正确的函数图象。
(2)根据上述的作图方法，画出函数$y=-3|x|$的图象。

13.【解】(1)不对. 函数$y=|x|$的图象如图①.
(2)函数$y=-3|x|$的图象如图②.

【分析】
(1) 判断函数$y=|x|$的图象是否正确，首先回忆绝对值的化简规则：对于$|x|$，当$x≥0$时，$|x|=x$；当$x＜0$时，$|x|=-x$。$y=|x|$是分段函数，不是两条完整的直线$y=x$和$y=-x$，而是分别取两个正比例函数在对应定义域范围内的部分，拼接成连续的图象，据此判断小红的画法错误，再按分段规则画图。
(2) 画$y=-3|x|$的图象，同样先去绝对值，将函数转化为分段函数：当$x≥0$时，$y=-3x$；当$x＜0$时，$y=3x$。分别画出两个正比例函数在对应定义域内的射线，交于原点即可得到所求图象。
【解析】
(1) 小红所画的图象不对。
理由：函数$y=|x|$的定义域是全体实数，根据绝对值的性质进行分段：
① 当$x≥0$时，$y=x$，仅需要画出正比例函数$y=x$中$x≥0$的部分（即原点及第一象限内的射线）；
② 当$x＜0$时，$y=-x$，仅需要画出正比例函数$y=-x$中$x＜0$的部分（即第二象限内的射线）；
两段射线交于原点$(0,0)$，组合起来的V形图象就是$y=|x|$的正确图象。
(2) 画函数$y=-3|x|$的图象，先去绝对值分段：
① 当$x≥0$时，$y=-3x$，取点$(0,0)$、$(2,-6)$，连接两点画出$x≥0$部分的射线；
② 当$x＜0$时，$y=-3×(-x)=3x$，取点$(0,0)$、$(-2,-6)$，连接两点画出$x＜0$部分的射线；
两段射线交于原点，组合得到$y=-3|x|$的图象。
【答案】
(1)不对. 函数$y=|x|$的图象如图①.
(2)函数$y=-3|x|$的图象如图②.
【知识点】
绝对值的化简，分段函数作图，正比例函数的图象
【点评】
本题考查分类讨论思想在函数作图中的应用，解题关键是先通过去绝对值将含绝对值的函数转化为熟悉的分段正比例函数，再截取各段对应定义域内的部分拼接为完整图象，能帮助学生理解分段函数的图象特征。
【难度系数】
0.8

14. 如图,在三角形$ABC$中,$∠ABC=∠C$,BD平分$∠ABC$交AC于点D.设$∠A=x,∠CBD=y$.
(提示:$∠A+∠ABC+∠C=180°$)
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式.
(2)(1)中的函数是一次函数吗?若是,请指出$k,b$的值,并写出$x$的取值范围.

14.【解】(1)因为$∠ABC=∠C$,所以$∠ABC=\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A=90°-\frac{1}{2}x$. 因为$BD$平分$∠ABC$,所以$∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}·(90°-\frac{1}{2}x)=45°-\frac{1}{4}x$.
所以$y=-\frac{1}{4}x+45°$.
(2)$y=-\frac{1}{4}x+45°$是一次函数,其中$k=-\frac{1}{4},b=45°$.
$x$的取值范围为$0°＜x＜180°$.

【分析】
(1) 要求y与x的函数表达式，首先利用三角形内角和为180°，结合已知∠ABC=∠C，可先用含x的式子表示出∠ABC的度数；再根据BD是∠ABC的角平分线，可知∠CBD是∠ABC的一半，代入整理即可得到y与x的关系式。(2) 判断函数是否为一次函数，对照一次函数的定义（形如y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0）即可判断，再结合x是三角形的内角，确定x的取值范围。
【解析】
(1) 已知在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，且∠ABC=∠C，因此可得：
$∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$
把∠A=x代入，得$∠ ABC=90°-\frac{1}{2}x$
因为BD平分∠ABC，所以$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC$，即$y=\frac{1}{2}×(90°-\frac{1}{2}x)$
整理得$y=-\frac{1}{4}x+45°$
(2) 形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k\ne 0$）的函数是一次函数，$y=-\frac{1}{4}x+45°$符合一次函数的形式，因此它是一次函数，其中$k=-\frac{1}{4}$，$b=45°$。
由于x是三角形的内角，所以x必须满足$0°＜x＜180°$，即x的取值范围是$0°＜x＜180°$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{4}x+45°$
(2) 是一次函数，$k=-\frac{1}{4}$，$b=45°$，x的取值范围为$0°＜x＜180°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题的核心是利用三角形内角的相关性质建立两个角之间的数量关系，再结合函数的相关概念作答，需要注意自变量的取值范围要符合几何实际意义。
【难度系数】
0.8

15. ★★★ 新考法方程思想 如图,已知四边形ABCD是正方形,点B,C分别在两条射线$y=2x(x≥0)$和$y=kx(x≥0)$上,A,D是x轴上两点.
(1)若此正方形的边长为2,则$k=$;
(2)若此正方形的边长为a,则k的值是否会发生变化?若不发生变化,请说明理由,若发生变化,求出k的值.

15.【解】(1)$\frac{2}{3}$
(2)$k$的值不会发生变化.理由如下:
因为正方形的边长为$a$,所以$AB=AD=CD=a$.
在直线$y=2x$中,当$y=a$时,$x=\frac{a}{2}$,所以$OA=\frac{a}{2}$,所以$OD=OA+AD=\frac{3}{2}a$,所以点$C$的坐标为$(\frac{3}{2}a,a)$.
将$C(\frac{3}{2}a,a)$代入$y=kx$,得$a=k×\frac{3}{2}a$,所以$k=\frac{2}{3}$.
故$k$为定值,不会发生变化.

【分析】
本题为正比例函数与正方形性质的结合题，解题思路如下：①先利用正方形边长等于竖直边的长度，得到点B的纵坐标，代入$y=2x$求出点B的横坐标，即OA的长度；②结合正方形边长求出OD的长度，得到点C的坐标（横坐标为OD长度，纵坐标为正方形边长）；③将点C坐标代入$y=kx$即可求出k值；第二问将边长换成a，沿用相同思路推导，观察k是否与a有关即可。
【解析】
(1) 当正方形边长为2时，$AB=AD=CD=2$。
点B在$y=2x$上，且B的纵坐标为2，代入得$2=2x$，解得$x=1$，即$OA=1$。
因此$OD=OA+AD=1+2=3$，点C坐标为$(3,2)$。
将$C(3,2)$代入$y=kx$，得$2=3k$，解得$k=\frac{2}{3}$。
(2) k的值不会发生变化，理由如下：
若正方形边长为a，则$AB=AD=CD=a$。
在$y=2x$中，令$y=a$，得$a=2x$，解得$x=\frac{a}{2}$，即$OA=\frac{a}{2}$。
因此$OD=OA+AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3a}{2}$，点C坐标为$(\frac{3a}{2},a)$。
将$C(\frac{3a}{2},a)$代入$y=kx$，得$a=k·\frac{3a}{2}$，由于$a≠0$，两边同时除以a，解得$k=\frac{2}{3}$。
因此k为定值，不会随边长a的变化而变化。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$；(2) k的值不会发生变化，$k=\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数的性质，正方形的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题将几何图形性质与正比例函数相结合，解题关键是利用正方形的边长确定函数上点的坐标，再代入函数解析式求解，同时考察了从特殊到一般的探究思路，渗透了方程思想。
【难度系数】
0.6