三、解答题
11 每个正方体相对两个面上写的数之和都等于2.
（1）求如图①所示的正方体看不见的三个面上的数的积；
（2）现将两个这样的正方体黏合放置（如图②），求所有看不见的七个面上所写的数的和.

11.（1）因为每个正方体相对两个面上写的数之和都等于2,所以易得题图①中正方体下底面的数是1,后面的数是4,左面的数是-1.所以它们的积是$1×4×(-1)=-4$
（2）因为每个正方体相对两个面上写的数之和都等于2,所以易得题图②中左边的正方体下底面的数是1,后面的数是$\frac{1}{3}$,左右两面的数的和是2,右边的正方体下底面的数是6,左面的数是-1,后面的数是0.所以它们的和是$1+\frac{1}{3}+2+6-1+0=8\frac{1}{3}$

【分析】
（1）解题思路：正方体共3组相对的面，题目规定相对两个面上的数之和为2，因此已知一个面上的数，其对面的数可通过“2减去该面的数”得到。先找到图①中3个可见面的对面（即看不见的3个面）对应的数，再计算三个数的乘积即可。
（2）解题思路：分别分析两个正方体的可见面，结合相对面和为2的规则求出各未知面的数，注意两个正方体黏合处的两个面都属于看不见的面，最后将所有看不见的7个数相加即可得到结果。
【解析】
（1）根据相对两个面上的数之和为2：
上表面数为1，对应下底面（看不见）的数为$2-1=1$；
前表面数为-2，对应后表面（看不见）的数为$2-(-2)=4$；
右表面数为3，对应左表面（看不见）的数为$2-3=-1$；
因此三个看不见的面的数的积为：$1×4×(-1)=-4$。
（2）先分析左侧正方体：
上表面数为1，对应下底面（看不见）的数为$2-1=1$；
前表面数为$\frac{5}{3}$，对应后表面（看不见）的数为$2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}$；
左右为相对面，和为2，且左表面看不见、右表面与右侧正方体黏合也看不见，因此左右两面的数之和为2；
再分析右侧正方体：
上表面数为-4，对应下底面（看不见）的数为$2-(-4)=6$；
前表面数为2，对应后表面（看不见）的数为$2-2=0$；
右表面数为3，对应左表面（与左侧正方体黏合，看不见）的数为$2-3=-1$；
因此所有看不见的七个面的数的和为：$1+\frac{1}{3}+2+6+(-1)+0=8\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-4}$；（2）$\boldsymbol{8\frac{1}{3}}$（或$\frac{25}{3}$）
【知识点】
正方体相对面性质、有理数乘法、有理数加法
【点评】
本题结合正方体的结构特征考查有理数的基础运算，解题核心是利用“相对面的数之和为2”的条件求解未知面的数值，要注意两个正方体黏合处的两个面都属于看不见的面，计算时不要遗漏。
【难度系数】
0.7

12 如图，线段$AC=6\ \mathrm{cm}$，线段$AB=21\ \mathrm{cm}$，M是AC的中点，在BC上取一点N，使得$CN:NB=1:2$，求MN的长。
（第12题）

12. 因为M是AC的中点,$AC=6$ cm,所以$MC=\frac{1}{2}AC=3$ cm.因为$AC=6$ cm,$AB=21$ cm,所以$BC=AB-AC=15$ cm.因为$CN:NB=1:2$,所以$CN=15×\frac{1}{3}=5$(cm).所以$MN=MC+CN=3+5=8$(cm).所以MN的长为8 cm

【分析】
要求MN的长度，观察图形可知MN由MC和CN两段组成，因此只需分别求出MC、CN的长度再相加即可。第一步，利用线段中点的性质，已知AC的长度可直接求出MC的长度；第二步，先根据AB、AC的长度求出BC的长度，再结合CN和NB的比例关系求出CN的长度；最后将MC和CN相加得到MN的长度。
【解析】
解：
∵ M是AC的中点，$AC=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
∵ $AC=6\ \mathrm{cm}$，$AB=21\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=AB-AC=21-6=15\ \mathrm{cm}$。
∵ $CN:NB=1:2$，即CN占BC总长的$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
∴ $CN=15×\frac{1}{3}=5\ \mathrm{cm}$。
∴ $MN=MC+CN=3+5=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
MN的长为8 cm
【知识点】
线段中点的定义，线段和差计算，按比例分配
【点评】
本题是线段计算的常见基础题型，解题的核心是理清所求线段的组成部分，结合线段中点性质、线段和差关系和比例关系分步求解即可，难度不大。
【难度系数】
0.8

13 如图，P是线段AB上任意一点，AB=12 cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为t s.
(1)若AP=8 cm.
① 运动1 s后，求CD的长；
② 当点D在线段PB上运动时，试说明：AC=2CD.
(2)当t=2，CD=1 cm时，求AP的长.

13. (1) ① 由题意可知,$CP=2×1=2$(cm),$DB=3×1=3$(cm).因为$AP=8$ cm,$AB=12$ cm,所以$PB=AB-AP=4$ cm.所以$CD=CP+PB-DB=2+4-3=3$(cm)
② 由题意可知,$CP=2t$ cm,$DB=3t$ cm.因为$AP=8$ cm,$AB=12$ cm,所以$PB=4$ cm,$AC=(8-2t)$cm.所以$DP=(4-3t)$cm.所以$CD=CP+DP=2t+4-3t=(4-t)$cm.所以$AC=2CD$
(2) 当$t=2$时,$CP=2×2=4$(cm),$DB=3×2=6$(cm).如图①,当点D在点C的右边时,因为$CD=1$ cm,所以$CB=CD+DB=7$ cm.所以$AC=AB-CB=5$ cm.所以$AP=AC+CP=9$ cm.如图②,当点D在点C的左边时,因为$AD=AB-DB=6$ cm,所以$AP=AD+CD+CP=11$ cm.综上所述,AP的长为9 cm或11 cm

【分析】
本题是线段上的动点问题，解题核心是用运动时间表示出各线段的长度，再结合线段和差关系计算。
(1)①先根据运动速度和时间算出CP、DB的长度，再由AP和AB的长度算出PB，最后通过线段和差关系求出CD的长；②分别用含t的代数式表示出AC和CD的长度，验证AC是CD的2倍即可。
(2)t=2时先算出CP、DB的长度，由于D的速度比C快，运动过程中D可能在C右侧，也可能超过C到左侧，因此分两种情况，结合线段和差关系分别计算AP的长度。
【解析】
(1)①根据运动速度和时间可得：
运动1s后，$CP=2×1=2\ \mathrm{cm}$，$DB=3×1=3\ \mathrm{cm}$
已知$AP=8\ \mathrm{cm}$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=12-8=4\ \mathrm{cm}$
所以$CD=CP+PB-DB=2+4-3=3\ \mathrm{cm}$
②运动时间为t s时，$CP=2t\ \mathrm{cm}$，$DB=3t\ \mathrm{cm}$
由$AP=8\ \mathrm{cm}$，$PB=4\ \mathrm{cm}$，可得$AC=AP-CP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$
$DP=PB-DB=(4-3t)\ \mathrm{cm}$
因此$CD=CP+DP=2t+(4-3t)=(4-t)\ \mathrm{cm}$
所以$AC=8-2t=2(4-t)=2CD$，即$AC=2CD$成立。
(2)当$t=2$时，$CP=2×2=4\ \mathrm{cm}$，$DB=3×2=6\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
ⅰ 如图①，当点D在点C的右边时：
$CB=CD+DB=1+6=7\ \mathrm{cm}$，所以$AC=AB-CB=12-7=5\ \mathrm{cm}$
因此$AP=AC+CP=5+4=9\ \mathrm{cm}$
ⅱ 如图②，当点D在点C的左边时：
$AD=AB-DB=12-6=6\ \mathrm{cm}$，因此$AP=AD+CD+CP=6+1+4=11\ \mathrm{cm}$
综上，AP的长为9 cm或11 cm。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$；②$AC=2CD$，证明见解析；(2)$\boldsymbol{9\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{11\ \mathrm{cm}}$

【知识点】
线段和差计算，动点问题，分类讨论
【点评】
本题考查线段的和差运算与动点问题的结合，解题关键是用时间参数表示各动线段的长度，注意运动过程中点的位置有多种可能时，需要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6