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8 新情境 学科融合 如图，天平左右两边盘中标有相同字母的物体的质量相同.若A物体的质量为20克，则当天平处于平衡状态时，B物体的质量为 （
A.10克
B.15克
C.20克
D.30克
A
）A.10克
B.15克
C.20克
D.30克
答案
A 【解析】由题图,可得$2A+B=A+3B$,则$A=2B$. 因为A物体的质量为20克,所以B物体的质量为10克.
解析
【分析】
解题时首先利用天平平衡的特征：天平平衡时左右两边总质量相等，先根据图中左右托盘内A、B的数量列出对应的等量关系式，再运用等式的性质对等式变形，得到A和B的质量关系，最后代入已知的A的质量，即可求出B的质量。
【解析】
解：由天平平衡可知左右两盘总质量相等，可列等式：
$2A + B = A + 3B$
根据等式的性质，等式两边同时减去$A+B$，可得：
$A=2B$
已知A物体的质量为20克，代入上式得$20=2B$，解得$B=10$克。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质，列方程解应用题，天平平衡原理
【点评】
本题结合天平的直观情境，考查等量关系提取和等式性质的应用，解题核心是准确根据天平平衡状态列出等式，属于基础能力考查范畴。
【难度系数】
0.9
解题时首先利用天平平衡的特征：天平平衡时左右两边总质量相等，先根据图中左右托盘内A、B的数量列出对应的等量关系式，再运用等式的性质对等式变形，得到A和B的质量关系，最后代入已知的A的质量，即可求出B的质量。
【解析】
解：由天平平衡可知左右两盘总质量相等，可列等式：
$2A + B = A + 3B$
根据等式的性质，等式两边同时减去$A+B$，可得：
$A=2B$
已知A物体的质量为20克，代入上式得$20=2B$，解得$B=10$克。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质，列方程解应用题，天平平衡原理
【点评】
本题结合天平的直观情境，考查等量关系提取和等式性质的应用，解题核心是准确根据天平平衡状态列出等式，属于基础能力考查范畴。
【难度系数】
0.9
9 教材 P117 练习 T1 变式
(1) 若 $5a + 8b = 3b + 10$，则 $a + b = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 若 $\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$，则 $a - b = \_\_\_\_\_\_$。
(1) 若 $5a + 8b = 3b + 10$，则 $a + b = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 若 $\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$，则 $a - b = \_\_\_\_\_\_$。
答案
(1) $2$ (2) $6$
解析
【分析】
这两道题均不需要单独求出a、b的具体值，可利用等式的性质对已知等式变形，凑出目标代数式即可求解。
(1) 先将等式右边的3b移到左边合并同类项，得到含5(a+b)的式子，再两边同时除以5即可得到a+b的值；
(2) 先给等式两边同时乘3消去分母，再移项整理即可直接得到a-b的值。
【解析】
(1) 已知$5a + 8b = 3b + 10$，
根据等式的性质1，两边同时减去$3b$，得：$5a + 8b - 3b = 10$，
整理得：$5a + 5b = 10$，即$5(a + b) = 10$，
根据等式的性质2，两边同时除以5，得：$a + b = 2$。
(2) 已知$\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$，
根据等式的性质2，两边同时乘3，得：$b + 6 = a$，
根据等式的性质1，两边同时减去$b$，得：$6 = a - b$，即$a - b = 6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
等式的性质；整体求值；代数式变形
【点评】
本题侧重考察等式性质的灵活运用，解题核心是观察所求代数式与已知等式的关联，运用整体思想简化运算，避免单独求解未知数增加计算量。
【难度系数】
0.85
这两道题均不需要单独求出a、b的具体值，可利用等式的性质对已知等式变形，凑出目标代数式即可求解。
(1) 先将等式右边的3b移到左边合并同类项，得到含5(a+b)的式子，再两边同时除以5即可得到a+b的值；
(2) 先给等式两边同时乘3消去分母，再移项整理即可直接得到a-b的值。
【解析】
(1) 已知$5a + 8b = 3b + 10$，
根据等式的性质1，两边同时减去$3b$，得：$5a + 8b - 3b = 10$，
整理得：$5a + 5b = 10$，即$5(a + b) = 10$，
根据等式的性质2，两边同时除以5，得：$a + b = 2$。
(2) 已知$\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$，
根据等式的性质2，两边同时乘3，得：$b + 6 = a$，
根据等式的性质1，两边同时减去$b$，得：$6 = a - b$，即$a - b = 6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
等式的性质；整体求值；代数式变形
【点评】
本题侧重考察等式性质的灵活运用，解题核心是观察所求代数式与已知等式的关联，运用整体思想简化运算，避免单独求解未知数增加计算量。
【难度系数】
0.85
10 在等式$4x - 7 = 3x + 5$的两边同时减去一个多项式可以得到等式$x = 12$，则这个多项式为
$3x-7$
。答案
$3x-7$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立。我们可以设需要减去的多项式为A，根据题意，原等式两边同时减去A后，左边变为x，右边变为12，因此可以通过原等式左边的表达式减去变形后的左边（x）求出A，也可以用原等式右边的表达式减去变形后的右边（12）求出A，最后验证结果即可。
【解析】
设这个多项式为$ A $，根据题意，等式$ 4x - 7 = 3x + 5 $两边同时减去$ A $后得到$ x = 12 $。
从等式左边的变形可得：
$ 4x - 7 - A = x $
移项求$ A $：
$ A = 4x - 7 - x $
合并同类项得：
$ A = 3x - 7 $
验证右边的变形：
右边减去$ A $后为$ 3x + 5 - (3x - 7) = 3x + 5 - 3x + 7 = 12 $，符合变形要求。
【答案】
$ 3x-7 $
【知识点】
等式的性质、整式的加减
【点评】
本题考查等式性质的应用，解题时可以通过等式变形前后的表达式差值求出需要减去的多项式，也可以结合一元一次方程移项的思路反推，解题思路灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立。我们可以设需要减去的多项式为A，根据题意，原等式两边同时减去A后，左边变为x，右边变为12，因此可以通过原等式左边的表达式减去变形后的左边（x）求出A，也可以用原等式右边的表达式减去变形后的右边（12）求出A，最后验证结果即可。
【解析】
设这个多项式为$ A $，根据题意，等式$ 4x - 7 = 3x + 5 $两边同时减去$ A $后得到$ x = 12 $。
从等式左边的变形可得：
$ 4x - 7 - A = x $
移项求$ A $：
$ A = 4x - 7 - x $
合并同类项得：
$ A = 3x - 7 $
验证右边的变形：
右边减去$ A $后为$ 3x + 5 - (3x - 7) = 3x + 5 - 3x + 7 = 12 $，符合变形要求。
【答案】
$ 3x-7 $
【知识点】
等式的性质、整式的加减
【点评】
本题考查等式性质的应用，解题时可以通过等式变形前后的表达式差值求出需要减去的多项式，也可以结合一元一次方程移项的思路反推，解题思路灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
11 若关于x的方程$x+3a=3-2x$的解为$x=2$，则$a+1=$
0
。答案
$0$
解析
【分析】
解题思路：首先根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将已知的解x=2代入原方程，得到关于a的一元一次方程；接着解这个一元一次方程求出a的值；最后将a的值代入a+1计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵x=2是方程$x+3a=3-2x$的解，
∴将x=2代入原方程，可得：
$2 + 3a = 3 - 2×2$
计算等号右侧得：$2 + 3a = 3 - 4$，即$2 + 3a = -1$，
根据等式的性质1，两边同时减2，得：$3a = -1 - 2$，
合并同类项得：$3a = -3$，
根据等式的性质2，两边同时除以3，得：$a = -1$，
将$a=-1$代入$a+1$，得：$a+1 = -1 + 1 = 0$。
【答案】
$0$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，解题核心是理解方程解的含义，通过代入已知解将含参数的方程转化为只含参数的一元一次方程，计算量小，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将已知的解x=2代入原方程，得到关于a的一元一次方程；接着解这个一元一次方程求出a的值；最后将a的值代入a+1计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵x=2是方程$x+3a=3-2x$的解，
∴将x=2代入原方程，可得：
$2 + 3a = 3 - 2×2$
计算等号右侧得：$2 + 3a = 3 - 4$，即$2 + 3a = -1$，
根据等式的性质1，两边同时减2，得：$3a = -1 - 2$，
合并同类项得：$3a = -3$，
根据等式的性质2，两边同时除以3，得：$a = -1$，
将$a=-1$代入$a+1$，得：$a+1 = -1 + 1 = 0$。
【答案】
$0$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，解题核心是理解方程解的含义，通过代入已知解将含参数的方程转化为只含参数的一元一次方程，计算量小，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
12 利用等式的性质解下列方程.
(1) $\frac{1}{2}x -1 = 2 - \frac{1}{2}x$;
(2) $3x + 1 = 2x - 2$;
(3) $5x + 2 = 7x - 3$.
(1) $\frac{1}{2}x -1 = 2 - \frac{1}{2}x$;
(2) $3x + 1 = 2x - 2$;
(3) $5x + 2 = 7x - 3$.
答案
(1) $x=3$ (2) $x=-3$ (3) $x=\frac{5}{2}$
解析
【分析】
要利用等式的性质解一元一次方程，核心是通过等式的性质逐步将方程变形为“x=a”的形式。解题思路分为两步：第一步，利用等式的性质1（等式两边加或减同一个数/整式，等式仍然成立），将含未知数x的项移到等号的一侧，常数项移到等号的另一侧，合并同类项后得到“mx=n（m≠0）”的形式；第二步，利用等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立），将未知数的系数化为1，即可得到x的解，变形过程中要注意符号变化。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，等式两边同时加$\frac{1}{2}x$，得：
$\frac{1}{2}x -1 + \frac{1}{2}x = 2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x$
化简得：$x - 1 = 2$
再根据等式的性质1，等式两边同时加1，得：
$x - 1 + 1 = 2 + 1$
解得：$x=3$
(2) 根据等式的性质1，等式两边同时减$2x$，得：
$3x + 1 - 2x = 2x - 2 - 2x$
化简得：$x + 1 = -2$
再根据等式的性质1，等式两边同时减1，得：
$x + 1 - 1 = -2 - 1$
解得：$x=-3$
(3) 根据等式的性质1，等式两边同时减$7x$，得：
$5x + 2 - 7x = 7x - 3 - 7x$
化简得：$-2x + 2 = -3$
再根据等式的性质1，等式两边同时减2，得：
$-2x + 2 - 2 = -3 - 2$
化简得：$-2x = -5$
根据等式的性质2，等式两边同时除以$-2$（$-2≠0$），得：
$x = \frac{5}{2}$
【答案】
(1) $x=3$ (2) $x=-3$ (3) $x=\frac{5}{2}$
【知识点】
1. 等式的性质 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是利用等式性质解一元一次方程的基础题型，重点考查对等式两个性质的理解和运用，解题时要注意每一步变形都要符合等式性质的要求，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
要利用等式的性质解一元一次方程，核心是通过等式的性质逐步将方程变形为“x=a”的形式。解题思路分为两步：第一步，利用等式的性质1（等式两边加或减同一个数/整式，等式仍然成立），将含未知数x的项移到等号的一侧，常数项移到等号的另一侧，合并同类项后得到“mx=n（m≠0）”的形式；第二步，利用等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立），将未知数的系数化为1，即可得到x的解，变形过程中要注意符号变化。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，等式两边同时加$\frac{1}{2}x$，得：
$\frac{1}{2}x -1 + \frac{1}{2}x = 2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x$
化简得：$x - 1 = 2$
再根据等式的性质1，等式两边同时加1，得：
$x - 1 + 1 = 2 + 1$
解得：$x=3$
(2) 根据等式的性质1，等式两边同时减$2x$，得：
$3x + 1 - 2x = 2x - 2 - 2x$
化简得：$x + 1 = -2$
再根据等式的性质1，等式两边同时减1，得：
$x + 1 - 1 = -2 - 1$
解得：$x=-3$
(3) 根据等式的性质1，等式两边同时减$7x$，得：
$5x + 2 - 7x = 7x - 3 - 7x$
化简得：$-2x + 2 = -3$
再根据等式的性质1，等式两边同时减2，得：
$-2x + 2 - 2 = -3 - 2$
化简得：$-2x = -5$
根据等式的性质2，等式两边同时除以$-2$（$-2≠0$），得：
$x = \frac{5}{2}$
【答案】
(1) $x=3$ (2) $x=-3$ (3) $x=\frac{5}{2}$
【知识点】
1. 等式的性质 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是利用等式性质解一元一次方程的基础题型，重点考查对等式两个性质的理解和运用，解题时要注意每一步变形都要符合等式性质的要求，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
13 教材 P118 习题 T6 变式 根据题意列方程，并用等式的性质解方程：
（1）小江买了8个莲蓬，付了50元，找回了38元，则每个莲蓬的价格为多少元？
（2）甲工厂有某种原料120吨，乙工厂有同样的原料96吨，甲工厂每天用15吨，乙工厂每天用9吨，多少天后两个工厂剩下的原料一样多？
（1）小江买了8个莲蓬，付了50元，找回了38元，则每个莲蓬的价格为多少元？
（2）甲工厂有某种原料120吨，乙工厂有同样的原料96吨，甲工厂每天用15吨，乙工厂每天用9吨，多少天后两个工厂剩下的原料一样多？
答案
(1) 设每个莲蓬的价格为$x$元. 根据题意,列得方程$8x+38=50$,解得$x=1.5$ (2) 设$x$天后两个工厂剩下的原料一样多. 根据题意,列得方程$120-15x=96-9x$,解得$x=4$
解析
【分析】
（1）先确定未知量为每个莲蓬的价格，设为x元，梳理等量关系：8个莲蓬的总花费+找回的钱=付出的总钱数，据此列方程后，先利用等式的性质1消去方程左侧的常数项，再利用等式的性质2将x的系数化为1即可求解。
（2）先确定未知量为天数，设为x天，梳理等量关系：x天后甲工厂剩余原料重量=x天后乙工厂剩余原料重量，其中剩余原料重量=原有原料重量-每天使用量×天数，据此列方程后，利用等式的性质1将含x的项、常数项分别移到方程两侧，再利用等式的性质2将x的系数化为1即可求解。
【解析】
（1）解：设每个莲蓬的价格为$x$元。
根据题意列方程：$8x + 38 = 50$
根据等式的性质1，两边同时减38，得：
$8x + 38 - 38 = 50 - 38$，即$8x = 12$
根据等式的性质2，两边同时除以8，得：
$x = 12÷8 = 1.5$
经检验，$x=1.5$符合题意。
（2）解：设$x$天后两个工厂剩下的原料一样多。
根据题意列方程：$120 - 15x = 96 - 9x$
根据等式的性质1，两边同时加$15x$，得：
$120 = 96 + 6x$
再根据等式的性质1，两边同时减96，得：
$120 - 96 = 96 + 6x - 96$，即$24 = 6x$
根据等式的性质2，两边同时除以6，得：
$x = 24÷6 = 4$
经检验，$x=4$符合题意。
【答案】
(1) 每个莲蓬的价格为1.5元；
(2) 4天后两个工厂剩下的原料一样多。
【知识点】
列一元一次方程；等式的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题，解题核心是找准题干中的等量关系，列方程时要注意各量的对应关系，解方程时严格遵循等式的性质操作，求解后可代入题干检验结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
（1）先确定未知量为每个莲蓬的价格，设为x元，梳理等量关系：8个莲蓬的总花费+找回的钱=付出的总钱数，据此列方程后，先利用等式的性质1消去方程左侧的常数项，再利用等式的性质2将x的系数化为1即可求解。
（2）先确定未知量为天数，设为x天，梳理等量关系：x天后甲工厂剩余原料重量=x天后乙工厂剩余原料重量，其中剩余原料重量=原有原料重量-每天使用量×天数，据此列方程后，利用等式的性质1将含x的项、常数项分别移到方程两侧，再利用等式的性质2将x的系数化为1即可求解。
【解析】
（1）解：设每个莲蓬的价格为$x$元。
根据题意列方程：$8x + 38 = 50$
根据等式的性质1，两边同时减38，得：
$8x + 38 - 38 = 50 - 38$，即$8x = 12$
根据等式的性质2，两边同时除以8，得：
$x = 12÷8 = 1.5$
经检验，$x=1.5$符合题意。
（2）解：设$x$天后两个工厂剩下的原料一样多。
根据题意列方程：$120 - 15x = 96 - 9x$
根据等式的性质1，两边同时加$15x$，得：
$120 = 96 + 6x$
再根据等式的性质1，两边同时减96，得：
$120 - 96 = 96 + 6x - 96$，即$24 = 6x$
根据等式的性质2，两边同时除以6，得：
$x = 24÷6 = 4$
经检验，$x=4$符合题意。
【答案】
(1) 每个莲蓬的价格为1.5元；
(2) 4天后两个工厂剩下的原料一样多。
【知识点】
列一元一次方程；等式的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题，解题核心是找准题干中的等量关系，列方程时要注意各量的对应关系，解方程时严格遵循等式的性质操作，求解后可代入题干检验结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
【方法归纳】若$a-b＞0$,则$a＞b$;若$a-b=0$,则$a=b$;若$a-b＜0$,则$a＜b$,这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.
（1）已知代数式$3a+2b$与$2a+3b$相等,试用等式的性质比较$a,b$的大小关系;
（2）已知$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$,试用等式的性质比较$m,n$的大小关系.
（1）已知代数式$3a+2b$与$2a+3b$相等,试用等式的性质比较$a,b$的大小关系;
（2）已知$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$,试用等式的性质比较$m,n$的大小关系.
答案
(1) 因为$3a+2b=2a+3b$,所以等式两边同时减去$(2a+3b)$,得$3a+2b-(2a+3b)=0$. 整理,得$a-b=0$,所以$a=b$
(2) 因为$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$,所以等式两边同时乘6,可得$3m-2n-6=3n-2m$. 整理,得$5m-5n=6$,即$5(m-n)=6$,所以$m-n＞0$. 所以$m＞n$
(2) 因为$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$,所以等式两边同时乘6,可得$3m-2n-6=3n-2m$. 整理,得$5m-5n=6$,即$5(m-n)=6$,所以$m-n＞0$. 所以$m＞n$
解析
【分析】
本题两小问均需结合等式的性质与“作差法”比较大小。对于（1），已知两个代数式相等，可先利用等式的性质1，将等式右边的项移到左边，整理得到a与b的差，根据差的取值判断a、b的大小；对于（2），等式中含有分数系数，可先利用等式的性质2两边同乘分母的最小公倍数去分母，再通过移项整理得到m与n的差，根据差的正负判断m、n的大小。
【解析】
（1）因为$3a+2b=2a+3b$，根据等式的性质1，等式两边同时减去$(2a+3b)$，得$3a+2b-(2a+3b)=0$，整理得$a-b=0$，因此$a=b$。
（2）因为$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$，分母2和3的最小公倍数是6，根据等式的性质2，等式两边同时乘6，可得$3m-2n-6=3n-2m$，整理得$5m-5n=6$，即$5(m-n)=6$，由此可得$m-n=\frac{6}{5}＞0$，因此$m＞n$。
【答案】
（1）$a=b$；（2）$m＞n$
【知识点】
等式的性质，作差法比较大小，整式的加减运算
【点评】
本题重点考查等式性质的灵活运用，以及作差法比较大小的方法，解题的核心是通过等式的变形得到两个待比较量的差，根据差的符号判断两者大小关系，是对基础运算和方法应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题两小问均需结合等式的性质与“作差法”比较大小。对于（1），已知两个代数式相等，可先利用等式的性质1，将等式右边的项移到左边，整理得到a与b的差，根据差的取值判断a、b的大小；对于（2），等式中含有分数系数，可先利用等式的性质2两边同乘分母的最小公倍数去分母，再通过移项整理得到m与n的差，根据差的正负判断m、n的大小。
【解析】
（1）因为$3a+2b=2a+3b$，根据等式的性质1，等式两边同时减去$(2a+3b)$，得$3a+2b-(2a+3b)=0$，整理得$a-b=0$，因此$a=b$。
（2）因为$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$，分母2和3的最小公倍数是6，根据等式的性质2，等式两边同时乘6，可得$3m-2n-6=3n-2m$，整理得$5m-5n=6$，即$5(m-n)=6$，由此可得$m-n=\frac{6}{5}＞0$，因此$m＞n$。
【答案】
（1）$a=b$；（2）$m＞n$
【知识点】
等式的性质，作差法比较大小，整式的加减运算
【点评】
本题重点考查等式性质的灵活运用，以及作差法比较大小的方法，解题的核心是通过等式的变形得到两个待比较量的差，根据差的符号判断两者大小关系，是对基础运算和方法应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
