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9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 13 $,$ AC = 12 $,$ BC = 5 $,以边 $ AB $ 的中点 $ O $ 为圆心,作半圆与 $ AC $ 相切,点 $ P $,$ Q $ 分别是边 $ BC $ 和半圆上的动点,连接 $ PQ $,则 $ PQ $ 长的最大值与最小值的和等于( )
A.$ 7.5 $
B.$ 10 $
C.$ 12.5 $
D.$ 13 $
A.$ 7.5 $
B.$ 10 $
C.$ 12.5 $
D.$ 13 $
答案
C
解析
解：
∵ $AB=13$, $AC=12$, $BC=5$,
∴ $BC^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 13^2 = AB^2$,
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle C = 90°$.
$O$ 为 $AB$ 中点，$OA = OB = \frac{13}{2}$.
设半圆与 $AC$ 相切于点 $D$，连接 $OD$，则 $OD \perp AC$，$OD$ 为半径 $r$.
∵ $OD // BC$（均垂直于 $AC$），$O$ 为 $AB$ 中点，
∴ $OD = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}$，即 $r = \frac{5}{2}$.
过 $O$ 作 $OE \perp BC$ 于 $E$，则 $OE = CD = \frac{1}{2}AC = 6$（$O$ 为中点，$OE // AC$）.
PQ 最小值：$OE - r = 6 - \frac{5}{2} = \frac{7}{2}$.
PQ 最大值：$OB + r = \frac{13}{2} + \frac{5}{2} = 9$.
和：$\frac{7}{2} + 9 = \frac{25}{2} = 12.5$.
答案：C.
∵ $AB=13$, $AC=12$, $BC=5$,
∴ $BC^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 13^2 = AB^2$,
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle C = 90°$.
$O$ 为 $AB$ 中点，$OA = OB = \frac{13}{2}$.
设半圆与 $AC$ 相切于点 $D$，连接 $OD$，则 $OD \perp AC$，$OD$ 为半径 $r$.
∵ $OD // BC$（均垂直于 $AC$），$O$ 为 $AB$ 中点，
∴ $OD = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}$，即 $r = \frac{5}{2}$.
过 $O$ 作 $OE \perp BC$ 于 $E$，则 $OE = CD = \frac{1}{2}AC = 6$（$O$ 为中点，$OE // AC$）.
PQ 最小值：$OE - r = 6 - \frac{5}{2} = \frac{7}{2}$.
PQ 最大值：$OB + r = \frac{13}{2} + \frac{5}{2} = 9$.
和：$\frac{7}{2} + 9 = \frac{25}{2} = 12.5$.
答案：C.
10. 无论 $ m $ 为任何实数,二次函数 $ y = x^2 - (2 - m)x + m $ 的图象总过的点是( )
A.$ (1, 0) $
B.$ (-1, 0) $
C.$ (1, 3) $
D.$ (-1, 3) $
A.$ (1, 0) $
B.$ (-1, 0) $
C.$ (1, 3) $
D.$ (-1, 3) $
答案
D
解析
将二次函数 $ y = x^2 - (2 - m)x + m $ 整理为含 $ m $ 的项与不含 $ m $ 的项：
$ y = x^2 - 2x + mx + m = x^2 - 2x + m(x + 1) $。
要使函数图象总过某点，该点坐标需使含 $ m $ 的项系数为 $ 0 $，即：
$ x + 1 = 0 $，解得 $ x = -1 $。
将 $ x = -1 $ 代入函数式：
$ y = (-1)^2 - 2(-1) + m(0) = 1 + 2 = 3 $。
故二次函数图象总过点 $ (-1, 3) $。
D
$ y = x^2 - 2x + mx + m = x^2 - 2x + m(x + 1) $。
要使函数图象总过某点，该点坐标需使含 $ m $ 的项系数为 $ 0 $，即：
$ x + 1 = 0 $，解得 $ x = -1 $。
将 $ x = -1 $ 代入函数式：
$ y = (-1)^2 - 2(-1) + m(0) = 1 + 2 = 3 $。
故二次函数图象总过点 $ (-1, 3) $。
D
11. 方程 $ (x - 1)x = x - 1 $ 的根为____。
答案
x₁=x₂=1
解析
解：$(x - 1)x = x - 1$
移项得：$(x - 1)x - (x - 1) = 0$
提取公因式得：$(x - 1)(x - 1) = 0$
即$(x - 1)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = 1$
$x_1 = x_2 = 1$
移项得：$(x - 1)x - (x - 1) = 0$
提取公因式得：$(x - 1)(x - 1) = 0$
即$(x - 1)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = 1$
$x_1 = x_2 = 1$
12. 将抛物线 $ y = -4x^2 $ 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 5 个单位长度,所得抛物线的解析式是____。
答案
y=-4(x-5)²+3
13. 如图,将 $ \triangle ABC $ 绕其中一个顶点顺时针旋转 $ n_1° + n_2° + n_3° $ 后所得到的三角形和 $ \triangle ABC $ 的对称关系是____。
答案
关于旋转中心成中心对称
14. 如图,$ AC $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ \angle ACB = 60° $,连接 $ AB $,过 $ A $,$ B $ 两点分别作 $ \odot O $ 的切线,两切线交于点 $ P $。若已知 $ \odot O $ 的半径为 1,则 $ \triangle PAB $ 的周长为____。
答案
3√3
解析
解：
∵AC是⊙O的直径，半径为1，
∴AC=2，OA=OB=1。
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°。
∵∠ACB=60°，OC=OB=1，
∴△OBC是等边三角形，∠COB=60°，BC=1。
∴∠AOB=180°-∠COB=120°。
在四边形OAPB中，∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=60°，
∴△PAB是等边三角形，PA=PB=AB。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AC=2，
∴AB=AC·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
∴△PAB的周长=3AB=3$\sqrt{3}$。
3√3
∵AC是⊙O的直径，半径为1，
∴AC=2，OA=OB=1。
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°。
∵∠ACB=60°，OC=OB=1，
∴△OBC是等边三角形，∠COB=60°，BC=1。
∴∠AOB=180°-∠COB=120°。
在四边形OAPB中，∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=60°，
∴△PAB是等边三角形，PA=PB=AB。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AC=2，
∴AB=AC·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
∴△PAB的周长=3AB=3$\sqrt{3}$。
3√3
15. 有黑、蓝、红三支颜色的笔和白、绿两块橡皮,任意拿出一支笔和一块橡皮,则取到红笔、绿橡皮的概率为____。
答案
1/6
解析
笔有3种可能：黑、蓝、红；橡皮有2种可能：白、绿。
总共有$3×2 = 6$种等可能的结果。
取到红笔、绿橡皮的结果只有1种。
所以概率为$\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
总共有$3×2 = 6$种等可能的结果。
取到红笔、绿橡皮的结果只有1种。
所以概率为$\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
16. 已知一个圆锥的母线长为 $ 10 \, cm $,将侧面展开后所得扇形的圆心角是 $ 144° $,则这个圆锥的底面圆的半径是____ $ cm $。
答案
4
解析
设圆锥底面圆的半径为$r$。圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形弧长公式为$\frac{n\pi l}{180}$（$n$为圆心角度数，$l$为母线长），底面圆周长为$2\pi r$。
由题意得：$2\pi r = \frac{144\pi × 10}{180}$
化简得：$2\pi r = 8\pi$
解得：$r = 4$
4
由题意得：$2\pi r = \frac{144\pi × 10}{180}$
化简得：$2\pi r = 8\pi$
解得：$r = 4$
4
17. 如图,在等腰直角三角形 $ ABC $ 中,$ AC = BC = 1 $,点 $ P $ 在以斜边 $ AB $ 为直径的半圆上,$ M $ 为 $ PC $ 的中点,当点 $ P $ 沿半圆从点 $ A $ 运动至点 $ B $ 时,点 $ M $ 运动的路径长是____。
答案
√2/4π
解析
解：以点$C$为原点，$CA$所在直线为$y$轴，$CB$所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系。
则$C(0,0)$，$A(0,1)$，$B(1,0)$，$AB$中点坐标为$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$，$AB=\sqrt{2}$，半圆半径为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
设点$P\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta,\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta\right)$，$\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$。
因为$M$为$PC$中点，所以$M\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\cos\theta,\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\sin\theta\right)$。
点$M$轨迹是以$\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right)$为圆心，$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$为半径的半圆。
圆心角为$\pi$，路径长为$\dfrac{\sqrt{2}}{4}\pi$。
$\dfrac{\sqrt{2}}{4}\pi$
则$C(0,0)$，$A(0,1)$，$B(1,0)$，$AB$中点坐标为$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$，$AB=\sqrt{2}$，半圆半径为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
设点$P\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta,\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta\right)$，$\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$。
因为$M$为$PC$中点，所以$M\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\cos\theta,\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\sin\theta\right)$。
点$M$轨迹是以$\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right)$为圆心，$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$为半径的半圆。
圆心角为$\pi$，路径长为$\dfrac{\sqrt{2}}{4}\pi$。
$\dfrac{\sqrt{2}}{4}\pi$
18. 已知抛物线 $ y = mx^2 + (m - 1)x + m - 1 $ 有最低点,且最低点在 $ x $ 轴上,则 $ m = $____。
答案
1
解析
解：因为抛物线有最低点，所以$m＞0$。
抛物线最低点在$x$轴上，即抛物线与$x$轴只有一个交点，所以判别式$\Delta=(m - 1)^2 - 4m(m - 1)=0$。
化简得：$(m - 1)(m - 1 - 4m)=0$，$(m - 1)(-3m - 1)=0$。
解得$m=1$或$m=-\dfrac{1}{3}$。
又因为$m＞0$，所以$m=1$。
1
抛物线最低点在$x$轴上，即抛物线与$x$轴只有一个交点，所以判别式$\Delta=(m - 1)^2 - 4m(m - 1)=0$。
化简得：$(m - 1)(m - 1 - 4m)=0$，$(m - 1)(-3m - 1)=0$。
解得$m=1$或$m=-\dfrac{1}{3}$。
又因为$m＞0$，所以$m=1$。
1
19. (7 分)解方程：$ 3x^2 - 5x - 2 = 0 $。
答案
x₁=-1/3,x₂=2
解析
解：$3x^2 - 5x - 2 = 0$
$a=3$，$b=-5$，$c=-2$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-5)^2 - 4×3×(-2)=25 + 24=49$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$
$x_1=\frac{5 + 7}{6}=2$，$x_2=\frac{5 - 7}{6}=-\frac{1}{3}$
$\therefore x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=2$
$a=3$，$b=-5$，$c=-2$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-5)^2 - 4×3×(-2)=25 + 24=49$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$
$x_1=\frac{5 + 7}{6}=2$，$x_2=\frac{5 - 7}{6}=-\frac{1}{3}$
$\therefore x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=2$
20. (9 分)已知二次函数 $ y = (t + 1)x^2 + 2(t + 2)x + \frac{3}{2} $ 图象的对称轴是直线 $ x = 1 $。
(1)求二次函数的解析式；
(2)将二次函数 $ y = (t + 1)x^2 + 2(t + 2)x + \frac{3}{2} $ 的图象向右平移 2 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,得到二次函数的解析式为____；
(3)将二次函数 $ y = (t + 1)x^2 + 2(t + 2)x + \frac{3}{2} $ 的图象绕顶点旋转 $ 180° $ 得到新的抛物线。求证：当新抛物线的顶点在原抛物线上运动时,新抛物线一定过原抛物线的顶点。
(1)求二次函数的解析式；
(2)将二次函数 $ y = (t + 1)x^2 + 2(t + 2)x + \frac{3}{2} $ 的图象向右平移 2 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,得到二次函数的解析式为____；
(3)将二次函数 $ y = (t + 1)x^2 + 2(t + 2)x + \frac{3}{2} $ 的图象绕顶点旋转 $ 180° $ 得到新的抛物线。求证：当新抛物线的顶点在原抛物线上运动时,新抛物线一定过原抛物线的顶点。
答案
(1)
∵ 二次函数y=(t+1)x²+2(t+2)x+3/2图象的对称轴是直线x=1,
∴ -2(t+2)/(2(t+1))=1. 解得t=-3/2. 故这个二次函数的解析式是y=-1/2x²+x+3/2.
(2) y=-1/2(x-3)².
(3)
∵ 新抛物线的顶点在原抛物线上，
∴ 设新抛物线的顶点为(k,-1/2k²+k+3/2),
∴ 新抛物线的解析式为y=1/2(x-k)²-1/2k²+k+3/2.
∴ 当x=1时,y=1/2(1-k)²-1/2k²+k+3/2=2.
∴ 新抛物线经过原抛物线的顶点(1,2).
