19. 已知卡车从踩刹车到停车所滑行的距离s(m)与速度v(km/h)之间的关系式为$s = k \cdot M \cdot v ^ { 2 }$,其中k是比例系数,且$k ＞ 0$,M(t)是卡车及其装载货物的质量之和．已知某辆卡车不装载货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时,从踩刹车到停车需要滑行20 m．当这辆卡车装载等于车的质量的货物行驶时,发现前面20 m处有障碍物,为保证安全,要求卡车在离障碍物5 m及以外处停车,求卡车的最高速度．(设司机从发现障碍物到踩刹车经过1 s)

解：把$v = 36$，$s = 20$代入$s = k \cdot M \cdot v^2$，得$k \cdot M = \frac{20}{36^2} = \frac{5}{324}$。因为司机从发现障碍物到踩刹车经过$1s$，这$1s$内卡车行驶的路程为$\frac{5}{18}v m$，所以$\frac{5}{18}v + k \cdot 2M \cdot v^2 \leq 20 - 5$，整理，得$\frac{5}{162}v^2 + \frac{5}{18}v - 15 \leq 0$，即$v^2 + 9v - 486 \leq 0$。因为方程$v^2 + 9v - 486 = 0$有两个不相等的实数根$v_1 = -27$，$v_2 = 18$，所以不等式$v^2 + 9v - 486 \leq 0$的解集为$\{v|-27 \leq v \leq 18\}$。在这个实际问题中$v ＞ 0$，所以卡车的最高速度为$18 km/h$。

20. 已知函数$f ( x ) = m x ^ { 2 } - m x - 1$．
(1) 若对于任意的$x \in \mathbf { R }$,$f ( x ) ＜ 0$恒成立,求实数m的取值范围；
(2) 若对于任意的$x \in [ 1 , 3 ]$,$f ( x ) ＜ 5 - m$恒成立,求实数m的取值范围．
(提示：(1)第1步：由二次项系数为参数m,想到需要分$m = 0和m \neq 0$进行讨论．第2步：当$m = 0$时,代入判断；当$m \neq 0$时,根据$f ( x ) ＜ 0在\mathbf { R }$上恒成立,结合二次函数图象的性质列出不等式(组)求解．(2)分离参数m,问题即可转化为“$m ＜ g ( x )在[ 1 , 3 ]$上恒成立”的问题,即$m ＜ g ( x ) _ { \min }$)

解：（1）对于任意的$x \in \mathbf{R}$，$f(x) ＜ 0$恒成立，分类讨论：当$m = 0$时，得$-1 ＜ 0$恒成立；当$m \neq 0$时，即$\begin{cases}m ＜ 0, \\ \Delta = m^2 + 4m ＜ 0,\end{cases}$解得$-4 ＜ m ＜ 0$。综上，实数$m$的取值范围为$(-4, 0]$。（2）对于任意的$x \in [1, 3]$，$f(x) ＜ 5 - m$恒成立，即$m ＜ \frac{6}{x^2 - x + 1}$在$[1, 3]$上恒成立。由$x^2 - x + 1 \in [1, 7]$，得$\frac{6}{x^2 - x + 1}$的最小值为$\frac{6}{7}$，所以$m ＜ \frac{6}{7}$，故实数$m$的取值范围为$(-\infty, \frac{6}{7})$。

【变式1】若将(1)变为不等式$m x ^ { 2 } - m x - 1 ＜ 0对任意的m \in [ 1 , 2 ]$恒成立,求实数x的取值范围．

变式1解：不等式$mx^2 - mx - 1 ＜ 0$对任意的$m \in [1, 2]$恒成立，即$f(m) = m(x^2 - x) - 1 ＜ 0$在$[1, 2]$上恒成立，问题转化为$\begin{cases}f(1) ＜ 0, \\ f(2) ＜ 0,\end{cases}$即$\begin{cases}x^2 - x - 1 ＜ 0, \\ 2x^2 - 2x - 1 ＜ 0,\end{cases}$即$\begin{cases}\frac{1 - \sqrt{5}}{2} ＜ x ＜ \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \\ \frac{1 - \sqrt{3}}{2} ＜ x ＜ \frac{1 + \sqrt{3}}{2},\end{cases}$解得$\frac{1 - \sqrt{3}}{2} ＜ x ＜ \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$，故实数$x$的取值范围为$(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$。

【变式2】若将(2)中的条件“$f ( x ) ＜ 5 - m$恒成立”改为“$f ( x ) ＜ 5 - m$无解”,求实数m的取值范围．

变式2解：对于任意的$x \in [1, 3]$，$f(x) ＜ 5 - m$无解，即$m ＜ \frac{6}{x^2 - x + 1}$在$[1, 3]$上无解。由$x^2 - x + 1 \in [1, 7]$，得$\frac{6}{x^2 - x + 1}$的最小值为$\frac{6}{7}$，最大值为$6$，所以$m \geq 6$，故实数$m$的取值范围为$[6, +\infty)$。

【变式3】若将(2)中的条件“对于任意的$x \in [ 1 , 3 ]$,$f ( x ) ＜ 5 - m$恒成立”改为“存在$x \in [ 1 , 3 ]$,使$f ( x ) ＜ 5 - m$成立”,求实数m的取值范围．

变式3解：存在$x \in [1, 3]$，使$f(x) ＜ 5 - m$成立，即$m ＜ \frac{6}{x^2 - x + 1}$在$[1, 3]$上有解。由$x^2 - x + 1 \in [1, 7]$，得$\frac{6}{x^2 - x + 1}$的最小值为$\frac{6}{7}$，最大值为$6$，所以$m ＜ 6$，故实数$m$的取值范围为$(-\infty, 6)$。