8. 如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C在y轴正半轴上,点$B(8,6)$,将$\triangle OCE$沿OE折叠,使点C恰好落在对角线OB上的D处,则点E的坐标为 ()

A. $(3,6)$
B. $(\frac{5},{2},6)$
C. $(\frac{3},{2},6)$
D. $(1,6)$

A　解析:由题可得，OC=6=OD,BC=8,∴在Rt△BOC中,BO=10,∴BD=10 - 6=4.设CE=x,则DE=x,BE=8 - x.∵∠ECO=∠EDO=∠BDE=90°,∴在Rt△BDE中,DE²+BD²=BE²,即x²+4²=(8 - x)²,解得x=3,∴E(3,6).

9. 如图,在平面上取定一点O称为极点.从点O出发引一条射线Ox称为极轴.线段OP的长度称为极径.点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定,即$P(3,60^{\circ})或P(3,-300^{\circ})或P(3,420^{\circ})$等,则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标可以表示为____.

(3,240°)(答案不唯一)

10. 如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为$(3,0)$,点$P(1,2)$在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转$90^{\circ}$,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后,点P的坐标为____.

(6077,2)　　解析:第一次P₁(5,2),第二次P₂(8,1),第三次P₃(10,1),第四次P₄(13,2),第五次P₅(17,2)......发现点P 在正方形中的位置4次一个循环.∵2025÷4=506……1,∴点P₂₀₂₅ 的纵坐标与点P₁的纵坐标相同,为2,横坐标为5+12×506=6077,∴P₂₀₂₅(6077,2).

11. 在某河流的北岸有A,B两个村子,A村距河北岸的距离为1千米,B村距河北岸的距离为4千米,且两村相距5千米,B在A的右边,现以河北岸为x轴,A村在y轴正半轴上(单位:千米).
(1)请在图中建立平面直角坐标系,并描出A,B两村的位置,写出其坐标.(图中每个小正方形的边长代表1千米)
(2)A,B两村商议,共同在河北岸修一个水泵站,分别向两村各铺一条水管,要使所用水管最短,水泵站应修在什么位置? 在图中标出水泵站的位置,并求出所用水管的长度.

(1)建立平面直角坐标系并描出A,B两村的位置，如图所示.A(0,1),B(4,4).(坐标系的位置不唯一)
　　(2)如图,作点A关于x轴的对称点A',连接A'B交x轴于点P,则点P即为水泵站的位置(两点之间线段最短).PA+PB=PA'+PB=A'B,A'B即为所用水管的最短长度.过B,A'分别作x轴、y轴的垂线交于点E.∵点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,4),∴点A'的坐标为(0,-1).∵A'E=4,BE=5,∴在Rt△A'BE中,A'B=$\sqrt{4^{2}+5^{2}}$=$\sqrt{41}$.故所用水管的最短长度为$\sqrt{41}$千米.
　　　　　　　

12. (2024·南通期末)如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A的坐标为$(a,0)$,点C的坐标为$(0,b)$,且a,b满足$\sqrt{a - 4}+|b - 6| = 0$,点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着$O - C - B - A - O$的线路移动.
(1)点B的坐标为____;当点P移动3.5秒时,点P的坐标为____.
(2)在移动过程中,当点P到x轴的距离为4个单位长度时,求点P移动的时间.
(3)在移动过程中,当$\triangle OBP$的面积是10时,求点P移动的时间.

(1) (4,6) (1,6)　解析:∵a,b满足$\sqrt{a - 4}+|b - 6| = 0$,$\therefore a - 4 = 0$,$b - 6 = 0$,解得$a = 4$,$b = 6$,$\therefore$ 点B的坐标是$(4,6)$.∵点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着$O - C - B - A - O$的线路移动,$\therefore 2×3.5 = 7$.$\because OA = 4$,$OC = 6$,$\therefore$ 当点P移动3.5秒时,在线段CB上,离点C的距离是$7 - 6 = 1$,$\therefore$ 点P的坐标是$(1,6)$.
(2) 由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况。
第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是$4÷2 = 2$（秒）；
第二种情况，当点P在BA上时，点P移动的时间是$(6 + 4 + 2)÷2 = 6$（秒）。故在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或6秒。
(3) 如图①所示，$\because \triangle OBP$的面积为10，$\therefore \frac{1}{2}BC\cdot OP = 10$，即$\frac{1}{2}×4×OP = 10$，解得$OP = 5$，$\therefore$ 此时点P移动的时间是$\frac{5}{2}$秒。
　　　　　　　　　　　　　
如图②所示，$\because \triangle OBP$的面积为10，$\therefore \frac{1}{2}OC\cdot PB = 10$，即$\frac{1}{2}×6×PB = 10$，解得$BP = \frac{10}{3}$，$\therefore CP = \frac{2}{3}$，$\therefore$ 此时点P移动的时间是$\frac{10}{3}$秒。
　　　　　　　　　　　　　
如图③所示，$\because \triangle OBP$的面积为10，$\therefore \frac{1}{2}BC\cdot BP = 10$，即$\frac{1}{2}×4×PB = 10$，解得$BP = 5$，$\therefore$ 此时点P移动的时间是$\frac{15}{2}$秒。
　　　　　　　　　　　　　
如图④所示，$\because \triangle OBP$的面积为10，$\therefore \frac{1}{2}AB\cdot OP = 10$，即$\frac{1}{2}×6×OP = 10$，解得$OP = \frac{10}{3}$，$\therefore$ 此时点P移动的时间是$\frac{25}{3}$秒。
　　　　　　　　　　　　　
综上所述，点P移动的时间是$\frac{5}{2}$秒或$\frac{10}{3}$秒或$\frac{15}{2}$秒或$\frac{25}{3}$秒。