7. (常州新北·应用意识)王老师给手机设置了一个四位数锁屏密码：$27□□$，他记得这个四位数既是 $5$ 的倍数，又是 $3$ 的倍数。为了解锁，他最多需要尝试几次？为什么？

7. 他最多需要尝试7次，因为密码可能是2700、2730、2760、2790、2715、2745或2775。

8. (淮安洪泽·推导探究)设一个三位数为 $100a + 10b + c$，记作 $\overline{abc}$。如果要说明只要个位上的数是 $2$ 的倍数，三位数 $\overline{abc}$ 就是 $2$ 的倍数，可以用以下办法：

请模仿以上方法，说明只要个位上的数是 $5$ 的倍数，三位数 $\overline{abc}$ 就是 $5$ 的倍数。

8. 设一个任意三位数为$\overline{abc}$，则$(100a + 10b + c) ÷ 5 = 20a + 2b + c ÷ 5$。只要c是5的倍数，$\overline{abc}$一定是5的倍数。所以只要个位上的数是5的倍数，这个三位数就是5的倍数。

9. (扬州广陵·行程问题)甲、乙两名同学绕环形跑道跑步，甲跑完一圈要 $1$ 分钟，乙跑完一圈要 $1$ 分钟 $30$ 秒，现在两人同时从同一地点出发，同向而行。几分钟后，两人又在出发地会合？这时他们各跑了多少圈？

9. 1分钟=60秒 1分钟30秒=90秒
$[60,90] = 180$ 180秒=3分钟
$180 ÷ 60 = 3$（圈） $180 ÷ 90 = 2$（圈）
答：3分钟后，两人又在出发地会合，甲跑了3圈，乙跑了2圈。

10. (泰州兴化·规律探究)阅读下面的材料并回答问题。
我们学习了求两个数的最大公因数与最小公倍数。比如：$2$ 和 $5$ 的最大公因数是 $1$，最小公倍数是 $10$；再比如：$4$ 和 $6$ 的最大公因数是 $2$，最小公倍数是 $12······$ 那么这两个数与它们的最大公因数与最小公倍数之间有什么关系？看看刚才的例子，$2×5 = 1×10$，$4×6 = 2×12$。显然有：两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积正好等于这两个数的乘积。是不是任意两个自然数都具有这一规律呢？
(1) 请你任意举一个例子，验证上面的猜想。
(2) $10$ 和 $12$ 是两个连续的偶数，它们的最大公因数是 $2$，最小公倍数是()。
(3) $15$ 与一个数的最大公因数是 $5$，最小公倍数是 $75$，这个数是多少？(请列式并计算出这个数)

10. (1)8和12，最大公因数是4，最小公倍数是24，$8 × 12 = 96$，$4 × 24 = 96$，所以有$8 × 12 = 4 × 24$。（答案不唯一，合理即可）
(2)60 (3)$5 × 75 ÷ 15 = 25$
提示：(1)任选两个自然数，求出它们的最大公因数和最小公倍数，再将这两个自然数的乘积和它们的最大公因数与最小公倍数的乘积比较即可。(2)设10和12的最小公倍数是x，那么$10 × 12 = 2 × x$，解得$x = 60$，所以10和12的最小公倍数是60。(3)15与一个数的最大公因数是5，最小公倍数是75，这个数为$5 × 75 ÷ 15 = 25$。

11. (南京浦口·解决复杂的实际问题)劳动技能大赛上，低年级举行了小巧手叠衣服比赛，共准备了 $200$ 件外套和 $280$ 条裤子，每名学生分到的外套数量相同，裤子数量也相同，且没有剩余。最多有多少名学生参赛？每名学生最少叠多少件衣服？

11. $200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5$ $280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7$
最大公因数是$2 × 2 × 2 × 5 = 40$
外套：$200 ÷ 40 = 5$（件）
裤子：$280 ÷ 40 = 7$（条） $7 + 5 = 12$（件）
答：最多有40名学生参赛，每名学生最少叠12件衣服。
提示：要让每名学生分到的外套和裤子数量都相同，且没有剩余，那么参赛的学生人数必须是“200和280的公因数”。要让参赛人数最多，就要找“200和280的最大公因数”。用分解质因数的方法：$200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5$，$280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7$，共同的质因数是2和5，最大公因数是$2 × 2 × 2 × 5 = 40$，则最多有40名学生参赛。$200 ÷ 40 = 5$（件），$280 ÷ 40 = 7$（条），每名学生最少叠的衣服总数为$5 + 7 = 12$（件）。