3. 项目式学习（2025·泰州期中）根据以下素材，探索完成任务.
校内小型植物园规划设计
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| 素材1 | 如图①是一块边长为a米的正方形场地，某校拟在这块正方形场地上修建一个小型植物园，并沿着植物园的外围修建一圈观赏走廊，观赏走廊的长度即为植物园的周长.（忽略走廊宽度） | A B
D C
① |
| 素材2 | 通过在师生中广泛收集并投票选出如下两个方案作为备选方案：
方案一：拟在这块正方形场地ABCD上修建一个如图②阴影部分的圆形植物园.记植物园外围的观赏走廊的长度为m米；
方案二：拟在这块正方形场地ABCD上修建一个如图③阴影部分的植物园，四周空白部分是半径相同的扇形，设扇形所在圆的半径为ka米，其中k为大于0且小于$\frac{1}{2}$的常数.记植物园外围的观赏走廊的长度为n米. |
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| 问题解决 | | |
| 任务1
判断方案 | (1)用含a的代数式表示方案一(如图②)中$m=$.(结果保留π)
(2)求出方案二中的n的大小.(用含a和k的代数式表示,结果保留π)
(3)试判断哪个方案中观赏走廊更长,并说明理由.$(π≈3)$ | |
| 任务2
确定方案 | (4)结合实际情况,需要观赏走廊的长度大于$πa$米,还要植物园的面积小于正方形面积的$\frac{7}{8}$.请你参照备选方案,设计一个满足条件方案,画出草图,并在图中标出具体的数据.(只要画出一个符合条件的图即可)$(π≈3)$ |
备用图 |

(1) $π a$
【解析】由题意知观赏走廊的长度即为植物园的周长,$m=π a$.
(2) 由题意得$n=4(a-2ka)+2π ka=4a-(8-2π)ka$.
(3) 方案二中观赏走廊更长,理由如下:由(1)(2)得$m≈3a$,$n≈4a-(8-6)ka=4a-2ka$,因为$0＜k＜\frac{1}{2}$,所以$0＜2k＜1$,所以$n≈4a-2ka＞3a$,即$n＞m$,所以方案二中观赏走廊更长.
(4) 答案不唯一,合理即可.
例如:令$k=\frac{1}{4}$,则$n≈4a-(8-2×3)×\frac{1}{4}a=4a-\frac{1}{2}a=3.5a＞π a≈3a$,$S_{空白}=π×(\frac{1}{4}a)^2≈\frac{3}{16}a^2$,则$S_{阴影}≈\frac{13}{16}a^2$,所以$\frac{S_{阴影}}{S_{正方形ABCD}}=\frac{13}{16}＜\frac{7}{8}$,所以该图即为所求.