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1. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛,有15位同学参加了选拔赛,他们所得的分数互不相同.学校决定按成绩取前7名进入决赛,若知道某同学分数,要判断他能否进入决赛,只需知道15位同学分数的
（
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
（
B
）A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
1. B
解析
【分析】要判断某同学能否进入前7名，需结合15位同学分数的统计量意义分析：首先明确各统计量的作用，再结合题目中“取前7名”的需求，找到能反映排名分界的统计量。15个互不相同的分数排序后，中位数是第8名的成绩，对比某同学的分数与中位数，即可判断其是否在前7名，因此只需知道中位数。
【解析】逐一分析选项：
A. 平均数：反映所有数据的平均水平，无法体现某同学的具体排名，不能判断是否进入前7，排除；
B. 中位数：将15个不同分数按从高到低排序后，第8个分数为中位数，代表第8名的成绩。若某同学分数＞中位数，则排名在第7名及之前，可进入决赛；若分数≤中位数，则排名在第8名及之后，无法进入决赛，因此只需知道中位数即可判断，符合要求；
C. 众数：是一组数据中出现次数最多的数，本题中15位同学分数互不相同，不存在众数，排除；
D. 方差：反映数据的波动程度，与排名无关，无法判断是否进入前7，排除。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】中位数的意义，统计量的应用
【点评】本题考查统计量在实际问题中的应用，核心是理解中位数在排名问题中的分界作用，属于基础题型，需掌握各统计量的实际意义。
【难度系数】0.7
【解析】逐一分析选项：
A. 平均数：反映所有数据的平均水平，无法体现某同学的具体排名，不能判断是否进入前7，排除；
B. 中位数：将15个不同分数按从高到低排序后，第8个分数为中位数，代表第8名的成绩。若某同学分数＞中位数，则排名在第7名及之前，可进入决赛；若分数≤中位数，则排名在第8名及之后，无法进入决赛，因此只需知道中位数即可判断，符合要求；
C. 众数：是一组数据中出现次数最多的数，本题中15位同学分数互不相同，不存在众数，排除；
D. 方差：反映数据的波动程度，与排名无关，无法判断是否进入前7，排除。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】中位数的意义，统计量的应用
【点评】本题考查统计量在实际问题中的应用，核心是理解中位数在排名问题中的分界作用，属于基础题型，需掌握各统计量的实际意义。
【难度系数】0.7
2. 已知一组数据:5,5,6,4,若添加一个数据5,则发生变化的统计量是（
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
D
）A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
2. D 解析:原数据5,5,6,4的平均数为$\dfrac{5+5+6+4}{4}=5$,中位数为5,众数为5,方差为$\dfrac{1}{4}×[(4-5)^2+(5-5)^2×2+(6-5)^2]=\dfrac{1}{2}$;新数据4,5,5,5,6的平均数为5,中位数为5,众数为5,方差为$\dfrac{1}{5}×[(4-5)^2+(5-5)^2×3+(6-5)^2]=\dfrac{2}{5}$;所以添加一个数据5,方差发生变化.
解析
【分析】要解决本题，需分别计算原数据和添加数据后的平均数、中位数、众数、方差这四个统计量，再对比两者的结果，找出发生变化的统计量。具体步骤为：先计算原数据的各统计量，再计算添加数据后的新数据的各统计量，最后逐一对比判断。
【解析】
1. 原数据（5,5,6,4，共4个数据）的计算：
平均数：$\bar{x}_1=\frac{5+5+6+4}{4}=\frac{20}{4}=5$；
中位数：将数据从小到大排序为4,5,5,6，中间两个数为5和5，故中位数为$\frac{5+5}{2}=5$；
众数：5出现次数最多（2次），故众数为5；
方差：$s_1^2=\frac{1}{4}×[(4-5)^2+(5-5)^2×2+(6-5)^2]=\frac{1}{4}×(1+0+1)=\frac{1}{2}$；
2. 新数据（添加5后为4,5,5,5,6，共5个数据）的计算：
平均数：$\bar{x}_2=\frac{4+5+5+5+6}{5}=\frac{25}{5}=5$；
中位数：将数据从小到大排序为4,5,5,5,6，中间的数为第3个，即5；
众数：5出现次数最多（3次），故众数为5；
方差：$s_2^2=\frac{1}{5}×[(4-5)^2+(5-5)^2×3+(6-5)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+1)=\frac{2}{5}$；
对比可知，只有方差发生变化，故答案为D。
【答案】D
【知识点】平均数、中位数、众数、方差
【点评】本题考查基础统计量的计算，需熟练掌握各统计量的定义及计算方法，通过逐一对比原数据和新数据的统计量即可得出答案，属于常规基础题。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 原数据（5,5,6,4，共4个数据）的计算：
平均数：$\bar{x}_1=\frac{5+5+6+4}{4}=\frac{20}{4}=5$；
中位数：将数据从小到大排序为4,5,5,6，中间两个数为5和5，故中位数为$\frac{5+5}{2}=5$；
众数：5出现次数最多（2次），故众数为5；
方差：$s_1^2=\frac{1}{4}×[(4-5)^2+(5-5)^2×2+(6-5)^2]=\frac{1}{4}×(1+0+1)=\frac{1}{2}$；
2. 新数据（添加5后为4,5,5,5,6，共5个数据）的计算：
平均数：$\bar{x}_2=\frac{4+5+5+5+6}{5}=\frac{25}{5}=5$；
中位数：将数据从小到大排序为4,5,5,5,6，中间的数为第3个，即5；
众数：5出现次数最多（3次），故众数为5；
方差：$s_2^2=\frac{1}{5}×[(4-5)^2+(5-5)^2×3+(6-5)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+1)=\frac{2}{5}$；
对比可知，只有方差发生变化，故答案为D。
【答案】D
【知识点】平均数、中位数、众数、方差
【点评】本题考查基础统计量的计算，需熟练掌握各统计量的定义及计算方法，通过逐一对比原数据和新数据的统计量即可得出答案，属于常规基础题。
【难度系数】0.6
3. 小明想研究本学期班级同学阅读课外书籍的数量,于是对全班40名同学进行问卷调查,得到阅读课外书籍数量的统计数据如下表所示,但小明不慎打翻墨水,其中两个数据被遮盖,下列关于阅读课外书籍数量的统计量中,与被遮盖的数据无关的是 （
A.平均数,方差
B.平均数,众数
C.中位数,众数
D.中位数,方差
C
）A.平均数,方差
B.平均数,众数
C.中位数,众数
D.中位数,方差
答案
3. C 解析:这组数据中,阅读数量为2本和3本的人数和为40-(7+6+10+12)=5,则这组数据中出现次数最多的数是7,即众数为7,第20个和第21个数据都是6,则中位数为6,故与被遮盖的数据无关的是中位数和众数.
解析
【分析】
要解决该问题，需先算出被遮盖的2本和3本的人数总和，再结合各统计量的定义，判断其是否受遮盖数据的影响。首先，全班共40人，已知4本、5本、6本、7本的人数，可算出2本和3本的人数和；接着分别分析众数、中位数、平均数、方差的计算逻辑，确定哪些统计量与遮盖数据无关。
【解析】
1. 计算被遮盖的人数和：全班总人数为40，已知4本、5本、6本、7本的人数和为7+6+10+12=35，因此2本和3本的人数和为40-35=5。
2. 分析众数：众数是一组数据中出现次数最多的数，表格中7本的人数为12，是所有数量中人数最多的，无论2本和3本的人数如何分配（总和为5），7本的人数始终最多，故众数不变，与被遮盖数据无关。
3. 分析中位数：总共有40个数据，中位数是将数据从小到大排列后第20个和第21个数据的平均数。将数据分组累计：2本和3本共5人，4本累计5+7=12人，5本累计12+6=18人，6本累计18+10=28人，7本累计28+12=40人。因此第19至28个数据均为6本，第20、21个数据都是6，中位数为6，不受2本和3本人数分配的影响，故中位数与被遮盖数据无关。
4. 分析平均数和方差：平均数需要计算所有数据的总和，2本和3本的人数变化会导致总和变化，因此平均数与被遮盖数据有关；方差反映数据的离散程度，与平均数和各数据的频数相关，平均数和频数变化都会影响方差，故方差与被遮盖数据有关。
综上，与被遮盖的数据无关的是中位数和众数，答案选C。
【答案】C
【知识点】众数、中位数、统计量
【点评】本题考查统计量的概念及应用，核心是理解众数、中位数的定义，判断其是否受未知数据的影响，需要学生熟练掌握统计基础知识，难度适中。
【难度系数】0.5
要解决该问题，需先算出被遮盖的2本和3本的人数总和，再结合各统计量的定义，判断其是否受遮盖数据的影响。首先，全班共40人，已知4本、5本、6本、7本的人数，可算出2本和3本的人数和；接着分别分析众数、中位数、平均数、方差的计算逻辑，确定哪些统计量与遮盖数据无关。
【解析】
1. 计算被遮盖的人数和：全班总人数为40，已知4本、5本、6本、7本的人数和为7+6+10+12=35，因此2本和3本的人数和为40-35=5。
2. 分析众数：众数是一组数据中出现次数最多的数，表格中7本的人数为12，是所有数量中人数最多的，无论2本和3本的人数如何分配（总和为5），7本的人数始终最多，故众数不变，与被遮盖数据无关。
3. 分析中位数：总共有40个数据，中位数是将数据从小到大排列后第20个和第21个数据的平均数。将数据分组累计：2本和3本共5人，4本累计5+7=12人，5本累计12+6=18人，6本累计18+10=28人，7本累计28+12=40人。因此第19至28个数据均为6本，第20、21个数据都是6，中位数为6，不受2本和3本人数分配的影响，故中位数与被遮盖数据无关。
4. 分析平均数和方差：平均数需要计算所有数据的总和，2本和3本的人数变化会导致总和变化，因此平均数与被遮盖数据有关；方差反映数据的离散程度，与平均数和各数据的频数相关，平均数和频数变化都会影响方差，故方差与被遮盖数据有关。
综上，与被遮盖的数据无关的是中位数和众数，答案选C。
【答案】C
【知识点】众数、中位数、统计量
【点评】本题考查统计量的概念及应用，核心是理解众数、中位数的定义，判断其是否受未知数据的影响，需要学生熟练掌握统计基础知识，难度适中。
【难度系数】0.5
4. 为落实劳动教育评价,学校对七、八年级学生的劳动技能实践成绩进行抽样分析,从两个年级参与劳动技能考核的学生中各随机抽取 20 名学生的成绩(单位:分,成绩为整数,用$x$表示,满分 100 分),并分为 A、B、C、D 四个等级:A:$x＜60$;B:$60 ≤ x＜70$;C:$70 ≤ x＜80$;D:$80 ≤ x ≤ 100$.
七年级学生的劳动技能实践成绩为:55,62,65,68,70,72,73,75,75,75,76,76,78,78,80,82,85,88,90,95.
八年级学生 C 等级的成绩为:71,72,73,73,76,78,79.
两组数据的统计量如下表所示:
七、八年级学生的劳动技能实践成绩统计表
八年级学生的劳动技能实践成绩统计图
(1)填空:$a=$
(2)从不同角度分析,哪个年级学生的劳动技能实践成绩更好?请说明理由.(任选两个角度即可)
(3)若七、八年级共有 2000 名学生参与劳动技能实践考核,估计两个年级中成绩等级为 D的学生人数.
七年级学生的劳动技能实践成绩为:55,62,65,68,70,72,73,75,75,75,76,76,78,78,80,82,85,88,90,95.
八年级学生 C 等级的成绩为:71,72,73,73,76,78,79.
两组数据的统计量如下表所示:
七、八年级学生的劳动技能实践成绩统计表
八年级学生的劳动技能实践成绩统计图
(1)填空:$a=$
75
,$b=$77
,$m=$40
.(2)从不同角度分析,哪个年级学生的劳动技能实践成绩更好?请说明理由.(任选两个角度即可)
(3)若七、八年级共有 2000 名学生参与劳动技能实践考核,估计两个年级中成绩等级为 D的学生人数.
答案
4. (1)75 77 40
解析:七年级20名学生的比赛成绩中,75出现的次数最多,故众数$a=75$;八年级A等级的学生有20×10%=2(人),B等级的学生有20×15%=3(人),把八年级20名学生的成绩从小到大排列,排在中间的两个数分别是76,78,故中位数$b=\dfrac{76+78}{2}=77$;$m\%=1-10\%-15\%-\dfrac{7}{20}=40\%$,即$m=40$.
(2)八年级的成绩更好.理由如下:因为两个年级成绩的平均数相同,但八年级成绩的中位数、众数均高于七年级,所以八年级的成绩更好.
(3)八年级D等级的学生有20×40%=8(人),$2000×\dfrac{6+8}{20+20}=700$(人).答:估计两个年级中成绩等级为D的学生共有700人.
解析:七年级20名学生的比赛成绩中,75出现的次数最多,故众数$a=75$;八年级A等级的学生有20×10%=2(人),B等级的学生有20×15%=3(人),把八年级20名学生的成绩从小到大排列,排在中间的两个数分别是76,78,故中位数$b=\dfrac{76+78}{2}=77$;$m\%=1-10\%-15\%-\dfrac{7}{20}=40\%$,即$m=40$.
(2)八年级的成绩更好.理由如下:因为两个年级成绩的平均数相同,但八年级成绩的中位数、众数均高于七年级,所以八年级的成绩更好.
(3)八年级D等级的学生有20×40%=8(人),$2000×\dfrac{6+8}{20+20}=700$(人).答:估计两个年级中成绩等级为D的学生共有700人.
解析
【分析】
首先解决第(1)问：①求七年级成绩的众数a，需找出七年级20个成绩中出现次数最多的数；②求八年级成绩的中位数b，需先确定八年级各等级人数，排序后找到中间两个数计算平均值；③求m，需用1减去A、B、C等级的占比，得到D等级的占比即m%。第(2)问，从平均数、中位数、众数中选两个角度比较，判断哪个年级成绩更好。第(3)问，先计算七、八年级样本中D等级的总人数，再求占样本总数的比例，最后乘以总人数2000得到估计值。
【解析】
(1) 七年级20名学生的成绩中，75出现了3次，次数最多，故众数$a=75$；
八年级A等级人数：$20×10\%=2$人，B等级人数：$20×15\%=3$人，C等级有7人，因此D等级人数为$20-2-3-7=8$人；将八年级20名学生成绩从小到大排列，第10、11个数分别为76、78，故中位数$b=\dfrac{76+78}{2}=77$；
D等级占比为$8÷20=40\%$，即$m=40$。
(2) 八年级学生的劳动技能实践成绩更好。理由：两个年级成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数（77）高于七年级，且八年级成绩的众数也高于七年级，说明八年级整体成绩更优。
(3) 七年级成绩等级为D的有6人，八年级等级为D的有8人，两个年级样本中D等级总人数为$6+8=14$人，样本总数为$20+20=40$人，因此估计两个年级成绩等级为D的学生人数为$2000×\dfrac{14}{40}=700$人。
【答案】
(1)75；77；40
(2)八年级学生的劳动技能实践成绩更好，理由：两个年级成绩的平均数相同，八年级成绩的中位数、众数均高于七年级，说明八年级整体成绩更优。
(3)估计两个年级中成绩等级为D的学生共有700人。
【知识点】
众数；中位数；用样本估计总体
【点评】
本题考查统计知识的综合应用，涉及众数、中位数的计算，以及利用样本估计总体的方法，需熟练掌握统计量的定义和计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先解决第(1)问：①求七年级成绩的众数a，需找出七年级20个成绩中出现次数最多的数；②求八年级成绩的中位数b，需先确定八年级各等级人数，排序后找到中间两个数计算平均值；③求m，需用1减去A、B、C等级的占比，得到D等级的占比即m%。第(2)问，从平均数、中位数、众数中选两个角度比较，判断哪个年级成绩更好。第(3)问，先计算七、八年级样本中D等级的总人数，再求占样本总数的比例，最后乘以总人数2000得到估计值。
【解析】
(1) 七年级20名学生的成绩中，75出现了3次，次数最多，故众数$a=75$；
八年级A等级人数：$20×10\%=2$人，B等级人数：$20×15\%=3$人，C等级有7人，因此D等级人数为$20-2-3-7=8$人；将八年级20名学生成绩从小到大排列，第10、11个数分别为76、78，故中位数$b=\dfrac{76+78}{2}=77$；
D等级占比为$8÷20=40\%$，即$m=40$。
(2) 八年级学生的劳动技能实践成绩更好。理由：两个年级成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数（77）高于七年级，且八年级成绩的众数也高于七年级，说明八年级整体成绩更优。
(3) 七年级成绩等级为D的有6人，八年级等级为D的有8人，两个年级样本中D等级总人数为$6+8=14$人，样本总数为$20+20=40$人，因此估计两个年级成绩等级为D的学生人数为$2000×\dfrac{14}{40}=700$人。
【答案】
(1)75；77；40
(2)八年级学生的劳动技能实践成绩更好，理由：两个年级成绩的平均数相同，八年级成绩的中位数、众数均高于七年级，说明八年级整体成绩更优。
(3)估计两个年级中成绩等级为D的学生共有700人。
【知识点】
众数；中位数；用样本估计总体
【点评】
本题考查统计知识的综合应用，涉及众数、中位数的计算，以及利用样本估计总体的方法，需熟练掌握统计量的定义和计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
