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3. 已知甲同学手中有三张分别标有数字$-2,\dfrac{1}{4},1$的卡片,乙同学手中有三张分别标有数字$-1,3,2$的卡片,这些卡片除数字外其余都相同. 现从甲、乙两人手中各任取一张卡片,并将它们的数字分别记为$a$、$b$.
(1) 请用画树状图的方法求所选出的$a$、$b$使得$ax^2+bx+1=0$没有实数根的概率.
(2) 现制定游戏规则如下:若所选出的$a$、$b$能使得$ax^2+bx+1=0$有两个不相等的实数根,则甲获胜;否则乙获胜. 问:这样的游戏规则公平吗? 请说明理由.
(1) 请用画树状图的方法求所选出的$a$、$b$使得$ax^2+bx+1=0$没有实数根的概率.
(2) 现制定游戏规则如下:若所选出的$a$、$b$能使得$ax^2+bx+1=0$有两个不相等的实数根,则甲获胜;否则乙获胜. 问:这样的游戏规则公平吗? 请说明理由.
答案
3. (1)画树状图如图所示
.由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中所选出的a、b使得$ax^2+bx+1=0$没有实数根的结果有1种,∴所选出的a、b使得$ax^2+bx+1=0$没有实数根的概率是$\frac{1}{9}$.
(2)不公平.理由如下:由(1)可得,所选出的a、b能使得$ax^2+bx+1=0$有两个不相等的实数根的情况有6种,
∴P(甲获胜)=$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$,P(乙获胜)=$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
∵P(甲获胜)≠P(乙获胜),
∴这样的游戏规则不公平.
解析
【分析】
首先，通过树状图列举从甲、乙手中各取一张卡片的所有等可能结果，共9种。对于一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$，根的情况由判别式$\Delta = b^2 - 4a$（$c=1$）决定：$\Delta ＜ 0$时无实数根，$\Delta ＞ 0$时有两个不相等实数根，$\Delta = 0$时有两个相等实数根。接下来统计对应情况的数量，用概率公式计算概率，最后比较甲、乙获胜的概率判断游戏公平性。
【解析】
(1) 画树状图（如图所示），共有9种等可能结果：$(-2,-1), (-2,3), (-2,2), (\frac{1}{4},-1), (\frac{1}{4},3), (\frac{1}{4},2), (1,-1), (1,3), (1,2)$。
计算判别式$\Delta = b^2 - 4a$，仅当$a=1, b=-1$时，$\Delta = (-1)^2 - 4×1 = -3 ＜ 0$，无实数根，共1种情况。
因此所求概率为$\frac{1}{9}$。
(2) 统计有两个不相等实数根的情况：$(-2,-1), (-2,3), (-2,2), (\frac{1}{4},3), (\frac{1}{4},2), (1,3)$，共6种，故$P(甲获胜)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$；
有两个相等实数根和无实根的情况共3种，故$P(乙获胜)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因为$P(甲获胜)≠P(乙获胜)$，所以游戏规则不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{9}$；(2) 不公平。
【知识点】
概率计算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合概率与一元二次方程根的判别式，考查树状图法求概率、判别式的应用，是初中数学基础综合题，需掌握列举法和判别式计算。
【难度系数】
0.5
首先，通过树状图列举从甲、乙手中各取一张卡片的所有等可能结果，共9种。对于一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$，根的情况由判别式$\Delta = b^2 - 4a$（$c=1$）决定：$\Delta ＜ 0$时无实数根，$\Delta ＞ 0$时有两个不相等实数根，$\Delta = 0$时有两个相等实数根。接下来统计对应情况的数量，用概率公式计算概率，最后比较甲、乙获胜的概率判断游戏公平性。
【解析】
(1) 画树状图（如图所示），共有9种等可能结果：$(-2,-1), (-2,3), (-2,2), (\frac{1}{4},-1), (\frac{1}{4},3), (\frac{1}{4},2), (1,-1), (1,3), (1,2)$。
计算判别式$\Delta = b^2 - 4a$，仅当$a=1, b=-1$时，$\Delta = (-1)^2 - 4×1 = -3 ＜ 0$，无实数根，共1种情况。
因此所求概率为$\frac{1}{9}$。
(2) 统计有两个不相等实数根的情况：$(-2,-1), (-2,3), (-2,2), (\frac{1}{4},3), (\frac{1}{4},2), (1,3)$，共6种，故$P(甲获胜)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$；
有两个相等实数根和无实根的情况共3种，故$P(乙获胜)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因为$P(甲获胜)≠P(乙获胜)$，所以游戏规则不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{9}$；(2) 不公平。
【知识点】
概率计算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合概率与一元二次方程根的判别式，考查树状图法求概率、判别式的应用，是初中数学基础综合题，需掌握列举法和判别式计算。
【难度系数】
0.5
4. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是$\dfrac{1}{2}$.（提示:在一次试验中,每个电子元件的状态有两种可能:通电、断开,并且这两种状态的可能性相等）
(1)如图1,在一定时间段内,A、B之间电流能正常通过的概率是
(2)如图2,请用画树状图的方法求出在一定时间段内,C、D之间电流能正常通过的概率.
(1)如图1,在一定时间段内,A、B之间电流能正常通过的概率是
$\frac{1}{4}$
.(2)如图2,请用画树状图的方法求出在一定时间段内,C、D之间电流能正常通过的概率.
答案
4. (1)$\frac{1}{4}$ 解析:画树状图如图所示
.由树状图可知,共有4种等可能的结果,其中A、B之间的两个元件都通电,A、B之间电流才能正常通过,这种结果只有1种,∴A、B之间电流能正常通过的概率是$\frac{1}{4}$.
(2)由树状图可知,共有4种等可能的结果,其中C、D之间的两个元件中至少有一个元件通电,C、D之间电流就能正常通过,这种结果共有3种,
∴C、D之间电流能正常通过的概率是$\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确每个电子元件有通电、断开两种等可能状态，再结合串并联电路电流通过的条件，用树状图列举所有等可能结果，最后通过满足条件的结果数计算概率。其中，串联电路电流正常通过的条件是所有元件都通电，并联电路电流正常通过的条件是至少一个元件通电。
【解析】
(1) 图1中元件①和②串联，电流正常通过需两个元件都通电。每个元件有2种等可能状态，画树状图可得共有4种等可能结果：(通电,通电)、(通电,断开)、(断开,通电)、(断开,断开)，仅(通电,通电)这1种结果满足A、B间电流正常通过，因此概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 图2中元件①和②并联，电流正常通过只需至少一个元件通电。由树状图可知，共有4种等可能结果，其中满足条件的结果有(通电,通电)、(通电,断开)、(断开,通电)，共3种，因此概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{3}{4}$
【知识点】
概率计算、树状图法、串并联电路
【点评】
本题结合串并联电路考查概率计算，核心是用树状图列举等可能结果，明确串并联电路电流通过的条件是解题关键，属于基础概率应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确每个电子元件有通电、断开两种等可能状态，再结合串并联电路电流通过的条件，用树状图列举所有等可能结果，最后通过满足条件的结果数计算概率。其中，串联电路电流正常通过的条件是所有元件都通电，并联电路电流正常通过的条件是至少一个元件通电。
【解析】
(1) 图1中元件①和②串联，电流正常通过需两个元件都通电。每个元件有2种等可能状态，画树状图可得共有4种等可能结果：(通电,通电)、(通电,断开)、(断开,通电)、(断开,断开)，仅(通电,通电)这1种结果满足A、B间电流正常通过，因此概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 图2中元件①和②并联，电流正常通过只需至少一个元件通电。由树状图可知，共有4种等可能结果，其中满足条件的结果有(通电,通电)、(通电,断开)、(断开,通电)，共3种，因此概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{3}{4}$
【知识点】
概率计算、树状图法、串并联电路
【点评】
本题结合串并联电路考查概率计算，核心是用树状图列举等可能结果，明确串并联电路电流通过的条件是解题关键，属于基础概率应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. 为了弘扬中华民族传统文化,某市举办了中小学生“国学经典大赛”,比赛项目有:A. 唐诗；B. 宋词;C. 论语;D. 三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.
(1)小华参加“单人组”,他从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率是多少?
(2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次.请问:恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少?小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少?请用画树状图的方法进行说明.
(1)小华参加“单人组”,他从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率是多少?
(2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次.请问:恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少?小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少?请用画树状图的方法进行说明.
答案
5. (1)他从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率是$\frac{1}{4}$.
(2)画树状图如图所示
.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果有1种,小明和小红都没有抽到“三字经”的结果有6种,∴恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是$\frac{1}{12}$,小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
第(1)问，单人组抽取时，总共有4个等可能的比赛项目，抽中“论语”是其中1种情况，直接用概率公式计算即可。第(2)问，双人组比赛中，小明先抽有4种选择，小红抽取时不能和小明项目相同，因此需通过画树状图列出所有等可能结果，再分别找出对应条件的结果数，结合概率公式计算。
【解析】
(1) 单人组共有4个等可能的比赛项目，恰好抽中“论语”的情况有1种，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图：小明抽取项目有A、B、C、D4种选择，小红抽取项目时不能与小明相同，因此当小明抽A时，小红可抽B、C、D；小明抽B时，小红可抽A、C、D；小明抽C时，小红可抽A、B、D；小明抽D时，小红可抽A、B、C。由树状图可知，共有$4×3=12$种等可能的结果。
① 恰好小明抽中“唐诗”（A）且小红抽中“宋词”（B）的结果仅1种，概率为$\frac{1}{12}$；
② 小明和小红都没抽到“三字经”（D）的结果有6种，概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
5. (1)他从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率是$\frac{1}{4}$.
(2)画树状图如图所示.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果有1种,小明和小红都没有抽到“三字经”的结果有6种,
∴恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是$\frac{1}{12}$,小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
【知识点】
概率计算、树状图法求概率
【点评】
本题考查概率的基本计算，树状图法是列举等可能结果的常用方法，需注意双人组项目不能重复的条件，避免结果遗漏，整体属于基础概率应用题型。
【难度系数】
0.3
第(1)问，单人组抽取时，总共有4个等可能的比赛项目，抽中“论语”是其中1种情况，直接用概率公式计算即可。第(2)问，双人组比赛中，小明先抽有4种选择，小红抽取时不能和小明项目相同，因此需通过画树状图列出所有等可能结果，再分别找出对应条件的结果数，结合概率公式计算。
【解析】
(1) 单人组共有4个等可能的比赛项目，恰好抽中“论语”的情况有1种，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图：小明抽取项目有A、B、C、D4种选择，小红抽取项目时不能与小明相同，因此当小明抽A时，小红可抽B、C、D；小明抽B时，小红可抽A、C、D；小明抽C时，小红可抽A、B、D；小明抽D时，小红可抽A、B、C。由树状图可知，共有$4×3=12$种等可能的结果。
① 恰好小明抽中“唐诗”（A）且小红抽中“宋词”（B）的结果仅1种，概率为$\frac{1}{12}$；
② 小明和小红都没抽到“三字经”（D）的结果有6种，概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
5. (1)他从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率是$\frac{1}{4}$.
(2)画树状图如图所示
.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果有1种,小明和小红都没有抽到“三字经”的结果有6种,∴恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是$\frac{1}{12}$,小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
【知识点】
概率计算、树状图法求概率
【点评】
本题考查概率的基本计算，树状图法是列举等可能结果的常用方法，需注意双人组项目不能重复的条件，避免结果遗漏，整体属于基础概率应用题型。
【难度系数】
0.3
