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例2 (2025·杭州滨江)分解因式：
(1)$x^4 - x^2$。 (2)$3ax^2 - 6axy + 3ay^2$。 (3)$b - a + 3(a - b)^2$。
(1)$x^4 - x^2$。 (2)$3ax^2 - 6axy + 3ay^2$。 (3)$b - a + 3(a - b)^2$。
答案
例2 解:(1)原式$=x^2(x^2-1)=x^2(x-1)(x+1)$。
(2)原式$=3a(x^2-2xy+y^2)=3a(x-y)^2$。
(3)原式$=(b-a)+3(b-a)^2=(b-a)[1+3(b-a)]=(b-a)(3b-3a+1)$。
(2)原式$=3a(x^2-2xy+y^2)=3a(x-y)^2$。
(3)原式$=(b-a)+3(b-a)^2=(b-a)[1+3(b-a)]=(b-a)(3b-3a+1)$。
3.(2025·杭州余杭、临平)下列多项式可以用平方差公式分解因式的是 （
A.$x^{2}+4y^{2}$
B.$-x^{2}+4y^{2}$
C.$-x^{2}-4y^{2}$
D.$x^{2}+4xy+4y^{2}$
B
）A.$x^{2}+4y^{2}$
B.$-x^{2}+4y^{2}$
C.$-x^{2}-4y^{2}$
D.$x^{2}+4xy+4y^{2}$
答案
3. B
4.(2025·台州黄岩)因式分解:$a^{2}+2a=$
$a(a+2)$
。答案
4. $a(a+2)$
5.(2025·兰溪、浦江)在对多项式$a^2 - 4ab + 4b^2 - 1$进行因式分解时,我们可以把它先分组再分解:原式$=(a^2 - 4ab + 4b^2) - 1 = (a - 2b)^2 - 1 = (a - 2b + 1)(a - 2b - 1)$,这种方法叫作分组分解法。请你用以上方法,写出多项式$4x^2 + 4x - y^2 + 1$因式分解的结果为$\underline{\hspace{2cm}}$。
答案
5. $(2x+1-y)(2x+1+y)$
6.(2025·绍兴柯桥)因式分解：
(1)$ab - 2a^2b + a^3b$。
(2)$(a - b)^2 + b - a$。
(1)$ab - 2a^2b + a^3b$。
(2)$(a - b)^2 + b - a$。
答案
6. 解:(1)原式$=ab(1-2a+a^2)=ab(a-1)^2$。
(2)原式$=(a-b)^2-(a-b)=(a-b)(a-b-1)$。
(2)原式$=(a-b)^2-(a-b)=(a-b)(a-b-1)$。
例3 (2024·德清)已知$m,n$为两个不相等的正数,试比较$m^5+n^5$与$m^4n+mn^4$的大小。
答案
例3 解:因为$m^5 + n^5 -(m^4 n + mn^4 )=m^5 - m^4 n + n^5 - mn^4 =m^4(m-n)-n^4(m-n)=(m-n)(m^4-n^4)=(m-n)^2(m^2+n^2)(m+n)$,且$m＞0,n＞0,m≠n$,所以$(m-n)^2＞0,m^2+n^2＞0,m+n＞0$,所以$m^5 + n^5 -(m^4 n + mn^4 )＞0$,即$m^5 + n^5 ＞ m^4 n + mn^4$。
