9.(2024·温州)综合与实践:设计纸盒制作方案。

素材1:某实践小组欲制作尺寸如图1所示的横式和竖式两种无盖纸盒。
素材2:如图2,现有长150 cm,宽30 cm的纸板60张。需要对该纸板进行裁切做成30 cm×30 cm的正方形和30 cm×40 cm的长方形,裁切时不计损耗但不能浪费纸板。
问题1:用1张150 cm×30 cm的纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张?
问题2:若制作后无材料剩余,设制作横式无盖纸盒$x(x＞0)$个,竖式无盖纸盒$y(y＞0)$个。
①用含$x,y$的代数式分别表示正方形纸板和长方形纸板的总数量。
②确定纸盒的所有制作方案,求出$x,y$的值。

9.解:问题1:设能裁切正方形纸板$m$张,长方形纸板$n$张。根据题意,得$30m+40n=150$,即$3m+4n=15$,整理得$m=5-\dfrac{4}{3}n$($m,n$均为自然数),当$n=0$时,$m=5$;当$n=3$时,$m=1$。 答:方法一:裁切正方形纸板5张,长方形纸板0张;方法二:裁切正方形纸板1张,长方形纸板3张。
问题2:①根据题意,得正方形纸板:$2x+y$,长方形纸板:$3x+4y$。
②设方法一用了$a$张纸板,方法二用了$(60-a)$张。
列方程组,得$\begin{cases} 5a+(60-a)=2x+y, \\ 3(60-a)=3x+4y, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=12+\dfrac{19}{5}a, \\ y=36-\dfrac{18}{5}a, \end{cases}$
当$a=0$时,$x=12$,$y=36$;当$a=5$时,$x=31$,$y=18$。
答:方案一:横式无盖纸盒12个,竖式无盖纸盒36个;方案二:横式无盖纸盒31个,竖式无盖纸盒18个。