1. 在等边$△ ABC$中,线段$AM$为$BC$边上的中线,当动点$D$在直线$AM$上时,以$CD$为一边,在$CD$的下方作等边$△ CDE$,连接$BE$.
(1)若点$D$在线段$AM$上,如图①,则$AD$$BE$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$” ),$∠ CAM=$度;
(2)当动点$D$在线段$AM$的延长线上时,如图②,试判断$AD$与$BE$的数量关系,并说明理由.

1.(1)= 30 解析:
∵△ABC与△DEC都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵线段AM为BC边上的中线,
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°.
(2)AD=BE.理由如下:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
∵∠ACD=∠ACB+∠DCB,∠BCE=∠DCE+∠DCB,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.

2. (2025·南京月考)如图,已知$△ ABC$和$△ DCE$都是等边三角形.
(1)观察发现:如图①,若点$B,C,E$在同一条直线上,$P$为线段$AE,BD$的交点,则线段$AE$与$BD$之间的数量关系为________;$∠ APB=\_\_\_\_\_\_$.
(2)如图②,若点$B,C,E$在同一条直线上,$F$为线段$BD,AC$的交点,$H$为线段$AE,CD$的交点,连接$FH$,猜想$FH$与$BE$的位置关系,并证明.
(3)深入探究:如图③,若点$B,C,E$不在同一条直线上,$P$为线段$AE,BD$的交点.(1)中的结论仍成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(4)在(3)的条件下,连接$CP$,求证:$PC$平分$∠ BPE$.

$\gg$进一步挑战进阶专题:P40 专题27

2.(1)AE=BD 60° 解析:
∵△ABC和△DCE都是等边三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,CD=CE.
∵∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE.在△ACE和△BCD中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠EAC=∠DBC,AE=BD,
∴∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=180°-∠BAC-∠CAE-∠ABP=180°-∠BAC-∠CBD-∠ABP=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°.
(2)FH//BE.证明:同(1)可证△ACE≌△BCD,
∴∠CAE=∠CBD.在△CAH和△CBF中,
$\begin{cases} ∠CAH=∠CBF, \\ AC=BC, \\ ∠ACH=∠BCF=60°, \end{cases}$
∴△CAH≌△CBF (ASA),
∴CH=CF.
∵∠FCH=60°,
∴△CFH为等边三角形,
∴∠CHF=60°,
∴∠DCE=∠CHF,
∴FH//BE.
(3)(1)中的结论仍成立.证明:△ABC和△DCE都是等边三角形,设BD与AC交于点O,
∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,CD=CE,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE.在△BCD和△ACE中,
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△BCD≌△ACE (SAS),
∴BD=AE,∠CBD=∠CAE.
∵∠APB=180°-∠CAE-∠AOP,∠ACB=180°-∠CBD-∠BOC,∠AOP=∠BOC,
∴∠APB=∠ACB=60°.
(4)连接CP,过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M,N,.由(3)得△BCD≌△ACE,
∴BD=AE,$S_{△BCD}=S_{△ACE}$,
∴$\frac{1}{2}BD·CM=\frac{1}{2}AE·CN$,
∴CM=CN,
∴PC平分∠BPE.