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1.(2025·姑苏区期中)在6张相同的卡片上分别写有数字-1,4,3,-3,6,10,将卡片的背面朝上并洗匀,从中抽取一张,抽到的数是奇数的概率为 （
A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.1
B
）A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.1
答案
1.B
解析
【分析】
要计算抽到奇数的概率，按照古典概型的常规思路逐步推导即可：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数，本题共有6张卡片，随机抽取1张总共有6种等可能的情况；第二步从给出的6个数字里，逐个筛选出属于奇数的数，统计符合要求的结果数量，这里要注意奇数的定义包含所有不能被2整除的整数，不能漏掉负奇数；第三步用“符合条件的结果数÷总结果数”算出对应概率，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
1. 确定总等可能结果数：6张卡片完全相同，背面朝上洗匀后随机抽取1张，总共有6种等可能的抽取结果。
2. 统计符合条件的结果数：给出的数字为-1、4、3、-3、6、10，其中不能被2整除的奇数为-1、3、-3，共3个，即抽到奇数的符合条件的结果有3种。
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{抽到的数是奇数})=\frac{\mathrm{抽到奇数的结果数}}{\mathrm{总抽取结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 整数奇偶性判断
【点评】
本题是概率模块的基础题型，核心考查简单随机事件的概率计算能力，易错点是部分学生误认为奇数仅指正整数，漏数-1、-3这类负奇数，导致统计的符合条件的数量出错，解题时只要牢记奇数的完整定义，按步骤统计数量即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要计算抽到奇数的概率，按照古典概型的常规思路逐步推导即可：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数，本题共有6张卡片，随机抽取1张总共有6种等可能的情况；第二步从给出的6个数字里，逐个筛选出属于奇数的数，统计符合要求的结果数量，这里要注意奇数的定义包含所有不能被2整除的整数，不能漏掉负奇数；第三步用“符合条件的结果数÷总结果数”算出对应概率，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
1. 确定总等可能结果数：6张卡片完全相同，背面朝上洗匀后随机抽取1张，总共有6种等可能的抽取结果。
2. 统计符合条件的结果数：给出的数字为-1、4、3、-3、6、10，其中不能被2整除的奇数为-1、3、-3，共3个，即抽到奇数的符合条件的结果有3种。
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{抽到的数是奇数})=\frac{\mathrm{抽到奇数的结果数}}{\mathrm{总抽取结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 整数奇偶性判断
【点评】
本题是概率模块的基础题型，核心考查简单随机事件的概率计算能力，易错点是部分学生误认为奇数仅指正整数，漏数-1、-3这类负奇数，导致统计的符合条件的数量出错，解题时只要牢记奇数的完整定义，按步骤统计数量即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
2.(2025·海门区月考)掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（
A.1
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
D
）A.1
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2.D
解析
【分析】
首先我们要理清这道题的核心逻辑：概率是随机事件本身的固有属性，和过往的试验结果无关。第一步先识别题干信息，前面给出的“掷5次硬币，3次正面朝上、2次正面朝下”是过往试验的频数，属于干扰信息；第二步回忆质地均匀的硬币的抛掷特点：每次抛掷只有正反两种等可能结果，且各次抛掷相互独立，之前的结果完全不会影响下一次的结果，直接计算单次掷硬币正面朝下的概率即可，不需要参考之前的试验数据。
【解析】
解：1. 已知该硬币质地均匀，因此单次抛掷硬币只会出现两种等可能的结果：正面朝上、正面朝下，两种结果发生的可能性完全相等。
2. 抛掷硬币属于独立重复试验，每一次抛掷的结果都互不影响，题干中给出的前5次抛掷的结果属于无关干扰条件，不会改变下一次抛掷的概率。
3. 因此再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率为$\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率；独立事件性质
【点评】
本题的易错点是容易被题干给出的过往试验的频率数据误导，误选B选项，要明确区分频率和概率的差异：概率是随机事件本身固有的属性，不会随之前的试验结果发生改变，质地均匀的硬币单次抛掷正反两面的概率始终为$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.8
首先我们要理清这道题的核心逻辑：概率是随机事件本身的固有属性，和过往的试验结果无关。第一步先识别题干信息，前面给出的“掷5次硬币，3次正面朝上、2次正面朝下”是过往试验的频数，属于干扰信息；第二步回忆质地均匀的硬币的抛掷特点：每次抛掷只有正反两种等可能结果，且各次抛掷相互独立，之前的结果完全不会影响下一次的结果，直接计算单次掷硬币正面朝下的概率即可，不需要参考之前的试验数据。
【解析】
解：1. 已知该硬币质地均匀，因此单次抛掷硬币只会出现两种等可能的结果：正面朝上、正面朝下，两种结果发生的可能性完全相等。
2. 抛掷硬币属于独立重复试验，每一次抛掷的结果都互不影响，题干中给出的前5次抛掷的结果属于无关干扰条件，不会改变下一次抛掷的概率。
3. 因此再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率为$\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率；独立事件性质
【点评】
本题的易错点是容易被题干给出的过往试验的频率数据误导，误选B选项，要明确区分频率和概率的差异：概率是随机事件本身固有的属性，不会随之前的试验结果发生改变，质地均匀的硬币单次抛掷正反两面的概率始终为$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.8
3.(2025·苏州二模)一只不透明的袋子中,装有4个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,摸到白球的概率为$\frac{4}{5}$,则红球的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.A
解析
【分析】
这是一道古典概型的基础应用题，解题思路非常清晰：首先回忆概率的定义，摸到白球的概率等于白球的数量除以袋中所有球的总数量。已知白球共4个，摸到白球的概率为$\frac{4}{5}$，我们可以设红球个数为未知数，用白球数加红球数表示总球数，代入概率公式列出方程，求解后就能得到红球的数量，最后验证结果是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设红球的个数为$x$，则袋中球的总个数为$4+x$。
根据古典概型的概率计算公式，摸到白球的概率等于白球个数除以总球数，据此列方程：
$\frac{4}{4+x} = \frac{4}{5}$
方程两边同时乘以$5(4+x)$去分母得：
$20 = 4(4+x)$
展开化简：
$20 = 16 + 4x$
移项计算得：
$4x=4 \implies x=1$
检验：当$x=1$时，分母$4+x=5≠0$，满足分式方程要求，且红球个数为正整数，符合实际意义。
因此红球的个数为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
概率基本公式；分式方程求解
【点评】
本题属于概率模块的基础送分题，核心考察对古典概型概率公式的掌握，通过设未知数列方程即可快速求解，仅需要注意求解分式方程后要进行检验，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.9
这是一道古典概型的基础应用题，解题思路非常清晰：首先回忆概率的定义，摸到白球的概率等于白球的数量除以袋中所有球的总数量。已知白球共4个，摸到白球的概率为$\frac{4}{5}$，我们可以设红球个数为未知数，用白球数加红球数表示总球数，代入概率公式列出方程，求解后就能得到红球的数量，最后验证结果是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设红球的个数为$x$，则袋中球的总个数为$4+x$。
根据古典概型的概率计算公式，摸到白球的概率等于白球个数除以总球数，据此列方程：
$\frac{4}{4+x} = \frac{4}{5}$
方程两边同时乘以$5(4+x)$去分母得：
$20 = 4(4+x)$
展开化简：
$20 = 16 + 4x$
移项计算得：
$4x=4 \implies x=1$
检验：当$x=1$时，分母$4+x=5≠0$，满足分式方程要求，且红球个数为正整数，符合实际意义。
因此红球的个数为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
概率基本公式；分式方程求解
【点评】
本题属于概率模块的基础送分题，核心考察对古典概型概率公式的掌握，通过设未知数列方程即可快速求解，仅需要注意求解分式方程后要进行检验，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.9
4. 将$-2,\dfrac{8}{7},π,0,\sqrt{2},3.14$这6个数分别写在6张同样的卡片上,从中随机抽取1张,卡片上的数为有理数的概率是
$\frac{2}{3}$
.答案
4.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要计算抽到有理数的概率，我们按照古典概型的解题思路分步推进：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数，本题共有6张卡片，随机抽1张总共有6种等可能结果；第二步明确有理数的定义，逐个判断给出的6个数中哪些属于有理数，统计出有理数的总个数；第三步用“符合条件的结果数÷总结果数”即可算出对应概率。判断时要注意区分有理数和无理数，不要把π、√2这类无限不循环小数误判为有理数，也不要漏数整数、有限小数类的有理数。
【解析】
解：
1. 确定总结果数：共有6张不同的卡片，从中随机抽取1张，总共有6种等可能的抽取结果。
2. 逐一判断数的属性：
$-2$是整数，属于有理数；
$\frac{8}{7}$是分数，属于有理数；
$π$是无限不循环小数，属于无理数；
$0$是整数，属于有理数；
$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
$3.14$是有限小数，属于有理数。
统计可得，6个数中有理数共有4个。
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{抽到有理数})=\frac{\mathrm{有理数的个数}}{\mathrm{数的总个数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
有理数识别，古典概型概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，将有理数分类和简单概率计算结合考察，易错点是混淆π和3.14、误将开方开不尽的数判定为有理数，只要准确掌握有理数和无理数的区分规则，再代入概率公式即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要计算抽到有理数的概率，我们按照古典概型的解题思路分步推进：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数，本题共有6张卡片，随机抽1张总共有6种等可能结果；第二步明确有理数的定义，逐个判断给出的6个数中哪些属于有理数，统计出有理数的总个数；第三步用“符合条件的结果数÷总结果数”即可算出对应概率。判断时要注意区分有理数和无理数，不要把π、√2这类无限不循环小数误判为有理数，也不要漏数整数、有限小数类的有理数。
【解析】
解：
1. 确定总结果数：共有6张不同的卡片，从中随机抽取1张，总共有6种等可能的抽取结果。
2. 逐一判断数的属性：
$-2$是整数，属于有理数；
$\frac{8}{7}$是分数，属于有理数；
$π$是无限不循环小数，属于无理数；
$0$是整数，属于有理数；
$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
$3.14$是有限小数，属于有理数。
统计可得，6个数中有理数共有4个。
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{抽到有理数})=\frac{\mathrm{有理数的个数}}{\mathrm{数的总个数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
有理数识别，古典概型概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，将有理数分类和简单概率计算结合考察，易错点是混淆π和3.14、误将开方开不尽的数判定为有理数，只要准确掌握有理数和无理数的区分规则，再代入概率公式即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
5. 如图是扫雷游戏的示意图.点击中间的按钮,若出现的数字是6,表明数字6周围的8个位置有6颗地雷,现任意点击这8个按钮中的一个,则会出现地雷的概率为
$\frac{3}{4}$
.答案
5.$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
这道题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：第一步先明确试验的所有等可能结果总数：题目指定点击数字6周围的8个按钮中的任意一个，因此总共有8种等可能的点击情况；第二步确定目标事件“点击后出现地雷”对应的情况数：题干直接说明这8个位置里共有6颗地雷，也就是符合事件要求的情况有6种；第三步代入古典概型的概率公式，用目标事件的情况数除以总情况数，就能算出对应的概率。
【解析】
解：由题意可得，数字6周围的待点击按钮总共有8个，其中地雷的数量为6个。
任意点击这8个按钮中的一个，所有等可能的结果共8种，其中点击到地雷的结果有6种，
根据概率计算公式：
$P(\mathrm{出现地雷})=\frac{\mathrm{地雷数量}}{\mathrm{总按钮数量}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
古典概型，概率计算
【点评】
本题结合扫雷的趣味场景考查基础概率计算，只需要准确提取题干给出的总样本数和地雷数，直接代入概率公式即可求解，是概率部分的入门类习题，能帮助学生理解概率的实际含义。
【难度系数】
0.9
这道题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：第一步先明确试验的所有等可能结果总数：题目指定点击数字6周围的8个按钮中的任意一个，因此总共有8种等可能的点击情况；第二步确定目标事件“点击后出现地雷”对应的情况数：题干直接说明这8个位置里共有6颗地雷，也就是符合事件要求的情况有6种；第三步代入古典概型的概率公式，用目标事件的情况数除以总情况数，就能算出对应的概率。
【解析】
解：由题意可得，数字6周围的待点击按钮总共有8个，其中地雷的数量为6个。
任意点击这8个按钮中的一个，所有等可能的结果共8种，其中点击到地雷的结果有6种，
根据概率计算公式：
$P(\mathrm{出现地雷})=\frac{\mathrm{地雷数量}}{\mathrm{总按钮数量}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
古典概型，概率计算
【点评】
本题结合扫雷的趣味场景考查基础概率计算，只需要准确提取题干给出的总样本数和地雷数，直接代入概率公式即可求解，是概率部分的入门类习题，能帮助学生理解概率的实际含义。
【难度系数】
0.9
6. 某人的钱包内有 10 元,20 元和 50 元的纸币各 1 张,从中随机取出 2 张纸币.
第5题图
求:(1)取出纸币的总额是 30 元的概率;
(2)取出纸币的总额可购买一件 51 元的商品的概率.
第5题图
求:(1)取出纸币的总额是 30 元的概率;
(2)取出纸币的总额可购买一件 51 元的商品的概率.
答案
6.解:(1)共有3种等可能的结果,其中总额是30元的结果有1种,所以取出纸币的总额是30元的概率为$\frac{1}{3}$.
(2)共有3种等可能的结果,其中总额超过51元的结果有2种,
所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为$\frac{2}{3}$.
(2)共有3种等可能的结果,其中总额超过51元的结果有2种,
所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为$\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这道题属于古典概型的基础问题，解题思路可以按两步走：第一步先枚举所有从3张纸币中随机取2张的等可能结果，因为纸币只有3张，组合数量很少，直接全部列举出来即可，不需要复杂计算；第二步分别对应两个小问，数出符合对应要求的结果数量，再用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”就能算出对应概率。第一问要找总额恰好为30元的情况，第二问要先明确“可购买51元商品”的含义是取出的两张纸币总额大于51元，再数出对应符合条件的情况数即可。
【解析】
首先列出从10元、20元、50元各1张的钱包中随机取出2张的所有等可能结果：
所有组合共3种：①取10元和20元，总额为$10+20=30$元；②取10元和50元，总额为$10+50=60$元；③取20元和50元，总额为$20+50=70$元。
(1) 取出纸币总额是30元的结果只有上述第①种，共1种，代入概率公式可得：
$P(\mathrm{总额为30元})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{3}$。
(2) 可购买51元的商品要求取出纸币的总额大于51元，上述结果里总额为60元、70元的2种情况都满足要求，共2种符合条件的结果，代入概率公式可得：
$P(\mathrm{可购买51元商品})=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率，古典概型
【点评】
本题是概率部分的基础题，由于样本空间很小，直接用枚举法就可以完整列出所有等可能结果，计算难度低，解题时注意第二问要准确理解“可购买51元商品”的含义是总金额超过51元，避免错数符合条件的情况。
【难度系数】
0.8
这道题属于古典概型的基础问题，解题思路可以按两步走：第一步先枚举所有从3张纸币中随机取2张的等可能结果，因为纸币只有3张，组合数量很少，直接全部列举出来即可，不需要复杂计算；第二步分别对应两个小问，数出符合对应要求的结果数量，再用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”就能算出对应概率。第一问要找总额恰好为30元的情况，第二问要先明确“可购买51元商品”的含义是取出的两张纸币总额大于51元，再数出对应符合条件的情况数即可。
【解析】
首先列出从10元、20元、50元各1张的钱包中随机取出2张的所有等可能结果：
所有组合共3种：①取10元和20元，总额为$10+20=30$元；②取10元和50元，总额为$10+50=60$元；③取20元和50元，总额为$20+50=70$元。
(1) 取出纸币总额是30元的结果只有上述第①种，共1种，代入概率公式可得：
$P(\mathrm{总额为30元})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{3}$。
(2) 可购买51元的商品要求取出纸币的总额大于51元，上述结果里总额为60元、70元的2种情况都满足要求，共2种符合条件的结果，代入概率公式可得：
$P(\mathrm{可购买51元商品})=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率，古典概型
【点评】
本题是概率部分的基础题，由于样本空间很小，直接用枚举法就可以完整列出所有等可能结果，计算难度低，解题时注意第二问要准确理解“可购买51元商品”的含义是总金额超过51元，避免错数符合条件的情况。
【难度系数】
0.8
7. 传统文化 中国象棋文化历史久远，在如图所示的部分棋盘中，“馬”的位置在虚线的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“·”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在虚线上方的概率是（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{8}$
B
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{8}$
答案
7.B
解析
【分析】
这道题属于古典概型的概率计算问题，解题思路非常清晰：首先我们需要先确定“馬”移动一次所有等可能到达的位置的总数量，也就是图中所有标记的“·”的总数；接着统计这些位置里，位于虚线上方的点的数量；最后用符合要求的位置数除以总位置数，就能算出对应的概率，得到最终结果。
【解析】
解：1. 统计总情况数：观察题图中所有标记的“·”，也就是“馬”移动一次可以到达的全部位置，数得总共有8个等可能的位置。
2. 统计符合条件的情况数：在这8个点中，位于虚线上方的点一共有2个。
3. 代入古典概型概率公式计算：
所求概率 $P=\frac{\mathrm{虚线上方的位置数}}{\mathrm{馬可到达的总位置数}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】B
【知识点】古典概型，概率基础计算
【点评】
本题结合中国象棋的传统文化背景出题，考点基础，解题的核心就是准确计数，只要不重复、不漏数图中的标记点，就可以轻松算出结果，同时也能让学生感受到传统文化和数学知识的结合。
【难度系数】0.8
这道题属于古典概型的概率计算问题，解题思路非常清晰：首先我们需要先确定“馬”移动一次所有等可能到达的位置的总数量，也就是图中所有标记的“·”的总数；接着统计这些位置里，位于虚线上方的点的数量；最后用符合要求的位置数除以总位置数，就能算出对应的概率，得到最终结果。
【解析】
解：1. 统计总情况数：观察题图中所有标记的“·”，也就是“馬”移动一次可以到达的全部位置，数得总共有8个等可能的位置。
2. 统计符合条件的情况数：在这8个点中，位于虚线上方的点一共有2个。
3. 代入古典概型概率公式计算：
所求概率 $P=\frac{\mathrm{虚线上方的位置数}}{\mathrm{馬可到达的总位置数}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】B
【知识点】古典概型，概率基础计算
【点评】
本题结合中国象棋的传统文化背景出题，考点基础，解题的核心就是准确计数，只要不重复、不漏数图中的标记点，就可以轻松算出结果，同时也能让学生感受到传统文化和数学知识的结合。
【难度系数】0.8
