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1. (湖南衡阳自主招生)甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度 $y(\mathrm{m})$ 与挖掘时间 $x(\mathrm{h})$ 之间的关系如图所示,根据图象所提供的信息,其中不正确的是(
A.甲队挖掘 30 m 时,用了 3 h
B.挖掘 5 h 时甲队比乙队多挖了 5 m
C.乙队的挖掘速度总是小于甲队
D.开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时,
$x = 4$
C
).A.甲队挖掘 30 m 时,用了 3 h
B.挖掘 5 h 时甲队比乙队多挖了 5 m
C.乙队的挖掘速度总是小于甲队
D.开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时,
$x = 4$
答案
由图象,可得甲队的速度为 60÷6=10(m/h).故甲队挖掘 30 m,用时 30÷10=3(h).故 A 正确;
当x＞2时,乙队的速度为(50-30)÷(6-2)=5(m/h),故挖掘 5 h 时甲队比乙队多挖了 10×5-[30+(5-2)×5]=5(m).故 B 正确;
前2 h乙队挖得快,在2~6 h之间,甲队挖得快.故 C错误;
当2＜x＜6时,令[30+5(x-2)]-10x=0,得x=4.故D正确.故选C.
当x＞2时,乙队的速度为(50-30)÷(6-2)=5(m/h),故挖掘 5 h 时甲队比乙队多挖了 10×5-[30+(5-2)×5]=5(m).故 B 正确;
前2 h乙队挖得快,在2~6 h之间,甲队挖得快.故 C错误;
当2＜x＜6时,令[30+5(x-2)]-10x=0,得x=4.故D正确.故选C.
2. (2025·泰州姜堰区期末)如图,购买一种苹果所付款金额 $y$(元) 与购买量 $x$(千克) 之间的函数图象由线段 $OA$ 和射线 $AB$ 组成,若一次购买 5 千克这种苹果所付金额为 $y_1$(元),购买五次 1 千克所付金额为 $y_2$(元),则 $y_2-y_1=$
6
.答案
由图象可得,2 千克以内,每千克苹果的单价为 20÷2=10(元),当 x≥2 时,设 y 与 x 的函数表达式为 y=kx+b.
∵点(2,20),(4,36)在该函数图象上,
∴$\begin{cases}2k+b=20,\\4k+b=36,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=8,\\b=4,\end{cases}$
即当x≥2时,y 与 x 的函数表达式为 y=8x+4,
y₁=8×5+4=44,y₂=10×5=50,
∴y₂-y₁=50-44=6.
∵点(2,20),(4,36)在该函数图象上,
∴$\begin{cases}2k+b=20,\\4k+b=36,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=8,\\b=4,\end{cases}$
即当x≥2时,y 与 x 的函数表达式为 y=8x+4,
y₁=8×5+4=44,y₂=10×5=50,
∴y₂-y₁=50-44=6.
3. 为增加校园绿化面积,某校计划购买甲、乙两种树苗.已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1 280元,购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元.
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵,且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍.则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少?请说明理由.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元.
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵,且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍.则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少?请说明理由.
答案
(1)设甲种树苗每棵的价格是 x 元,乙种树苗每棵的价格是 y 元.
由题意,得$\begin{cases}20x+16y=1\ 280,\\x-y=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=40,\\y=30.\end{cases}$
故甲种树苗每棵的价格是 40 元,乙种树苗每棵的价格是30 元.
(2)购买甲种树苗 25 棵,乙种树苗 75 棵,花费最少.理由如下:
设购买两种树苗共花费 W 元,购买甲种树苗 m 棵,则购买乙种树苗(100-m)棵.
∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的 3 倍,
∴100-m≤3m,解得 m≥25.
根据题意,得 W=40m+30(100-m)=10m+3 000.
∵10＞0,
∴W 随 m 的增大而增大,
∴当 m=25 时,W 取最小值,最小值为 10×25+3 000=3 250(元),此时 100-m=75.
故购买甲种树苗 25 棵,乙种树苗 75 棵,花费最少.
由题意,得$\begin{cases}20x+16y=1\ 280,\\x-y=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=40,\\y=30.\end{cases}$
故甲种树苗每棵的价格是 40 元,乙种树苗每棵的价格是30 元.
(2)购买甲种树苗 25 棵,乙种树苗 75 棵,花费最少.理由如下:
设购买两种树苗共花费 W 元,购买甲种树苗 m 棵,则购买乙种树苗(100-m)棵.
∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的 3 倍,
∴100-m≤3m,解得 m≥25.
根据题意,得 W=40m+30(100-m)=10m+3 000.
∵10＞0,
∴W 随 m 的增大而增大,
∴当 m=25 时,W 取最小值,最小值为 10×25+3 000=3 250(元),此时 100-m=75.
故购买甲种树苗 25 棵,乙种树苗 75 棵,花费最少.
4. (湖北襄阳自主招生)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为 $ y $，观影人数记为 $ x $，其函数图象如图(1)所示. 由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后 $ y $ 与 $ x $ 的函数图象. 给出下列四种说法：
①图(2)对应的方案是提高票价，并提高成本；
②图(2)对应的方案是保持票价不变，并降低成本；
③图(3)对应的方案是提高票价，并保持成本不变；
④图(3)对应的方案是提高票价，并降低成本.
其中，正确的说法是(
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
①图(2)对应的方案是提高票价，并提高成本；
②图(2)对应的方案是保持票价不变，并降低成本；
③图(3)对应的方案是提高票价，并保持成本不变；
④图(3)对应的方案是提高票价，并降低成本.
其中，正确的说法是(
C
).A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
由题图(1)可知,点 A 的纵坐标的相反数表示成本,直线的倾斜程度越大表示票价越高.题图(2)对应的方案是保持票价不变,并降低成本.故①错误,②正确;题图(3)对应的方案是提高票价,并保持成本不变.故③正确,④错误.故选 C.
5. (2025·无锡期末)如图,甲、乙两车从A城出发匀速行驶到B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车距离B城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示,则甲、乙两车相距50千米时,t的值为
$\frac{25}{36}$或$\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$或$\frac{155}{36}$
.答案
设甲车距离 B 城的距离 y₁ 与甲车行驶的时间 t 之间的函数关系为 y₁=k₁t+b₁(k₁,b₁ 为常数,且 k₁≠0).
将坐标(0,360)和(5,0)分别代入 y₁=k₁t+b₁,
得$\begin{cases}b₁=360,\\5k₁+b₁=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k₁=-72,\\b₁=360,\end{cases}$
∴甲车距离 B 城的距离 y₁ 与甲车行驶的时间 t 之间的函数关系为 y₁=-72t+360(0≤t≤5);
当1＜t≤4时,设乙车距离 B 城的距离 y₂ 与甲车行驶的时间 t 之间的函数关系为 y₂=k₂t+b₂(k₂,b₂ 为常数,且 k₂≠0).
将坐标(1,360)和(4,0)分别代入 y₂=k₂t+b₂,
得$\begin{cases}k₂+b₂=360,\\4k₂+b₂=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k₂=-120,\\b₂=480,\end{cases}$
∴当1＜t≤4时,乙车距离 B 城的距离 y₂ 与甲车行驶的时间 t 之间的函数关系为 y₂=-120t+480,
∴乙车距离 B 城的距离 y₂ 与甲车行驶的时间 t 之间的函数关系为 y₂=$\begin{cases}360(0≤t≤1),\\-120t+480(1＜t≤4),\\0(4＜t≤5).\end{cases}$
当0≤t≤1时,甲、乙两车相距 50 千米时,得 360-(-72t+360)=50,解得 t=$\frac{25}{36}$;
当1＜t≤4时,甲、乙两车相距 50 千米时,得|-72t+360-(-120t+480)|=50,解得 t=$\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$;
当4＜t≤5时,甲、乙两车相距 50 千米时,得-72t+360=50,解得 t=$\frac{155}{36}$,
∴t 的值为$\frac{25}{36}$或$\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$或$\frac{155}{36}$.
将坐标(0,360)和(5,0)分别代入 y₁=k₁t+b₁,
得$\begin{cases}b₁=360,\\5k₁+b₁=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k₁=-72,\\b₁=360,\end{cases}$
∴甲车距离 B 城的距离 y₁ 与甲车行驶的时间 t 之间的函数关系为 y₁=-72t+360(0≤t≤5);
当1＜t≤4时,设乙车距离 B 城的距离 y₂ 与甲车行驶的时间 t 之间的函数关系为 y₂=k₂t+b₂(k₂,b₂ 为常数,且 k₂≠0).
将坐标(1,360)和(4,0)分别代入 y₂=k₂t+b₂,
得$\begin{cases}k₂+b₂=360,\\4k₂+b₂=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k₂=-120,\\b₂=480,\end{cases}$
∴当1＜t≤4时,乙车距离 B 城的距离 y₂ 与甲车行驶的时间 t 之间的函数关系为 y₂=-120t+480,
∴乙车距离 B 城的距离 y₂ 与甲车行驶的时间 t 之间的函数关系为 y₂=$\begin{cases}360(0≤t≤1),\\-120t+480(1＜t≤4),\\0(4＜t≤5).\end{cases}$
当0≤t≤1时,甲、乙两车相距 50 千米时,得 360-(-72t+360)=50,解得 t=$\frac{25}{36}$;
当1＜t≤4时,甲、乙两车相距 50 千米时,得|-72t+360-(-120t+480)|=50,解得 t=$\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$;
当4＜t≤5时,甲、乙两车相距 50 千米时,得-72t+360=50,解得 t=$\frac{155}{36}$,
∴t 的值为$\frac{25}{36}$或$\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$或$\frac{155}{36}$.
