24. (12分)如图,在平行四边形ABCD中,$AB=4\sqrt{2}$,$AD=7$,$∠ ABC =45°$,点E,F分别为边AD,BC上的动点(不与顶点重合),且AE$=CF$,连结EF,将四边形CFED沿着EF折叠得到四边形$C'FED'$。
(1)连结BD交EF于点O,连结$BD'$。
①求证:$OB=OD$。
②若$OF=BD'$,求DE的长。
(2)若点$C'$落在平行四边形ABCD的边上,请直接写出$CC'$的长。

备用图
(本卷按最新教材改编)

24.(1)①在$□ ABCD$中,$AD// BC,AD=BC$。因为$AE=CF$,所以$AD-AE=BC-CF$,即$DE=BF$。
因为$AD// BC$所以$∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO$。所以$△DEO≌△BFO$。所以$OB=OD$。
②如图,过点D作$DH⊥BC$交BC的延长线于点H。因为$AB// CD$,所以$∠DCH=∠ABC=45°$。所以$CH=DH=\frac{\sqrt{2}}{2}×4\sqrt{2}=4$。在$\mathrm{Rt}△BDH$中,$BD=\sqrt{4^2+(4+7)^2}=\sqrt{137}$。连结$DD'$交EF于点G。由折叠可知$DG=D'G,DD'⊥EF$,又因为$BO=DO$,所以OG是$△DBD'$的中位线。所以$OG=\frac{1}{2}BD'=\frac{1}{2}OF=\frac{1}{2}OE$。所以DG是OE的垂直平分线。所以$DE=DO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{137}$。
(2)如图,当点$C'$在BC边上时,过点D作$DH⊥BC$交BC的延长线于点H,连结BD交EF于点O。由(1)得$OB=OD,BH=7+4=11$。由折叠得$∠EFC=∠EFC'=90°$,所以$EF// DH$。所以$BF=FH=\frac{11}{2}$。所以$C'F=CF=7-\frac{11}{2}=\frac{3}{2}$。所以$CC'=3$。如图,当点$C'$在AB边上时,连结AC交EF于点O,设$CC'$交EF于点M。同(1)理得$AO=OC$。由折叠得$CM=C'M,EF⊥CC'$,所以OM是$△ACC'$的中位线,$OM// AC'$。所以$CC'⊥BC'$,即$∠BC'C=90°$。因为$∠ABC=45°$,所以$CC'=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{7\sqrt{2}}{2}$。如图,当点$C'$与点A重合时,过点A作$AN⊥BC$于点N。因为$∠ABC=45°$,所以$AN=BN=4$。所以$CN=3$。所以$CC'=\sqrt{AN^2+CN^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。综上所述,$CC'$的长为3或$\frac{7\sqrt{2}}{2}$或5。