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18.已知关于$x$的方程$2x - a = 3$的解是不等式$1 - \dfrac{x - 2}{2} ＜ \dfrac{1 + x}{3}$的最小整数解，求$a$的值.
答案
18.解:先解不等式,
去分母,得$6-3x+6＜2+2x$,
移项、合并同类项,得$-5x＜-10$,
系数化为1,得$x＞2$,
所以不等式的最小整数解为3.
把$x=3$代入$2x-a=3$,得$6-a=3$,
所以$a=3$.
去分母,得$6-3x+6＜2+2x$,
移项、合并同类项,得$-5x＜-10$,
系数化为1,得$x＞2$,
所以不等式的最小整数解为3.
把$x=3$代入$2x-a=3$,得$6-a=3$,
所以$a=3$.
解析
【分析】
本题需结合一元一次不等式和一元一次方程的知识求解，解题思路如下：首先明确方程的解是不等式的最小整数解，因此第一步先解一元一次不等式，求出x的取值范围，找到范围内的最小整数解；第二步将这个整数解代入一元一次方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值。解题时注意解不等式去分母不要漏乘不含分母的项，系数化为1时若除以负数要改变不等号方向。
【解析】
先解不等式$1 - \dfrac{x - 2}{2} ＜ \dfrac{1 + x}{3}$：
1. 去分母，两边同时乘6，得：$6 - 3(x - 2) ＜ 2(1 + x)$
2. 去括号，得：$6 - 3x + 6 ＜ 2 + 2x$
3. 移项、合并同类项，得：$-5x ＜ -10$
4. 系数化为1，得：$x ＞ 2$
因此不等式的最小整数解为3。
将$x=3$代入方程$2x - a = 3$，得：
$2×3 - a = 3$
即$6 - a = 3$，解得$a = 3$。
【答案】
$a=3$
【知识点】
解一元一次不等式、一元一次方程的解、代入求参数
【点评】
本题是一元一次不等式与一元一次方程的综合基础题，解题核心是先确定不等式的最小整数解，再利用方程解的定义求参数，易错点为解不等式时去分母漏乘常数项、系数化为1时未改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
本题需结合一元一次不等式和一元一次方程的知识求解，解题思路如下：首先明确方程的解是不等式的最小整数解，因此第一步先解一元一次不等式，求出x的取值范围，找到范围内的最小整数解；第二步将这个整数解代入一元一次方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值。解题时注意解不等式去分母不要漏乘不含分母的项，系数化为1时若除以负数要改变不等号方向。
【解析】
先解不等式$1 - \dfrac{x - 2}{2} ＜ \dfrac{1 + x}{3}$：
1. 去分母，两边同时乘6，得：$6 - 3(x - 2) ＜ 2(1 + x)$
2. 去括号，得：$6 - 3x + 6 ＜ 2 + 2x$
3. 移项、合并同类项，得：$-5x ＜ -10$
4. 系数化为1，得：$x ＞ 2$
因此不等式的最小整数解为3。
将$x=3$代入方程$2x - a = 3$，得：
$2×3 - a = 3$
即$6 - a = 3$，解得$a = 3$。
【答案】
$a=3$
【知识点】
解一元一次不等式、一元一次方程的解、代入求参数
【点评】
本题是一元一次不等式与一元一次方程的综合基础题，解题核心是先确定不等式的最小整数解，再利用方程解的定义求参数，易错点为解不等式时去分母漏乘常数项、系数化为1时未改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
19. 已知两个关于x的不等式$\frac{3x+a}{2}＜1$①与$1-3x＞0$②.
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值.
(2)若不等式①的解都是不等式②的解,求a的取值范围.
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值.
(2)若不等式①的解都是不等式②的解,求a的取值范围.
答案
19.解:由$\frac{3x+a}{2}＜1$,得$x＜\frac{2-a}{3}$.
由$1-3x＞0$,得$x＜\frac{1}{3}$.
(1)若①②两个不等式的解集相同,
则$\frac{2-a}{3}=\frac{1}{3}$,解得$a=1$.
(2)若不等式①的解都是不等式②的解,则
$\frac{1}{3}≥\frac{2-a}{3}$,解得$a≥1$.
由$1-3x＞0$,得$x＜\frac{1}{3}$.
(1)若①②两个不等式的解集相同,
则$\frac{2-a}{3}=\frac{1}{3}$,解得$a=1$.
(2)若不等式①的解都是不等式②的解,则
$\frac{1}{3}≥\frac{2-a}{3}$,解得$a≥1$.
解析
【分析】
解题时首先要先分别求出两个一元一次不等式的解集，这是解决问题的基础。第(1)问两个不等式解集相同，说明两个解集的取值范围完全一致，因此两个解集的临界值相等，据此列方程即可求出a的值。第(2)问不等式①的解都是②的解，说明①的所有取值都在②的解集范围内，即①的解集临界值不能大于②的临界值，据此列不等式求解即可，注意要判断临界值是否可取等号。
【解析】
先分别求解两个不等式：
解不等式①$\frac{3x+a}{2}＜1$：
两边同乘2得：$3x+a＜2$
移项得：$3x＜2-a$
系数化为1得：$x＜\frac{2-a}{3}$
解不等式②$1-3x＞0$：
移项得：$-3x＞-1$
系数化为1得：$x＜\frac{1}{3}$
(1)若两个不等式的解集相同，则两个解集的临界值相等，即：
$\frac{2-a}{3}=\frac{1}{3}$
两边同乘3得：$2-a=1$
解得：$a=1$
(2)若不等式①的解都是不等式②的解，则①的解集临界值不大于②的临界值，即：
$\frac{2-a}{3}≤\frac{1}{3}$
两边同乘3得：$2-a≤1$
移项、系数化为1得：$a≥1$
【答案】
(1)$a=1$；(2)$a≥1$
【知识点】
解一元一次不等式，同解不等式，解集包含关系
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的解法及根据解集的对应关系求解参数，解题核心是先正确求出两个不等式的解集，再根据题意建立关于参数的等量或不等关系，注意第二问要验证临界值是否符合题意，避免漏写等号。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先分别求出两个一元一次不等式的解集，这是解决问题的基础。第(1)问两个不等式解集相同，说明两个解集的取值范围完全一致，因此两个解集的临界值相等，据此列方程即可求出a的值。第(2)问不等式①的解都是②的解，说明①的所有取值都在②的解集范围内，即①的解集临界值不能大于②的临界值，据此列不等式求解即可，注意要判断临界值是否可取等号。
【解析】
先分别求解两个不等式：
解不等式①$\frac{3x+a}{2}＜1$：
两边同乘2得：$3x+a＜2$
移项得：$3x＜2-a$
系数化为1得：$x＜\frac{2-a}{3}$
解不等式②$1-3x＞0$：
移项得：$-3x＞-1$
系数化为1得：$x＜\frac{1}{3}$
(1)若两个不等式的解集相同，则两个解集的临界值相等，即：
$\frac{2-a}{3}=\frac{1}{3}$
两边同乘3得：$2-a=1$
解得：$a=1$
(2)若不等式①的解都是不等式②的解，则①的解集临界值不大于②的临界值，即：
$\frac{2-a}{3}≤\frac{1}{3}$
两边同乘3得：$2-a≤1$
移项、系数化为1得：$a≥1$
【答案】
(1)$a=1$；(2)$a≥1$
【知识点】
解一元一次不等式，同解不等式，解集包含关系
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的解法及根据解集的对应关系求解参数，解题核心是先正确求出两个不等式的解集，再根据题意建立关于参数的等量或不等关系，注意第二问要验证临界值是否符合题意，避免漏写等号。
【难度系数】
0.7
20.【情境类】某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球。已知购买2个篮球和3个足球共需510元；购买3个篮球和5个足球共需810元。
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元。
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，那么有哪几种购买方案？
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元。
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，那么有哪几种购买方案？
答案
20.解:(1)设篮球的单价为$a$元,足球的单价为$b$元,
由题意可得$\begin{cases}2a+3b=510,\\3a+5b=810,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=120,\\b=90.\end{cases}$
答:篮球的单价为120元,足球的单价为90元.
(2)设学校采购篮球$x$个,则采购足球$(50-x)$个,因为篮球不少于30个,且总费用不超过5500元,所以$\begin{cases}x≥30,\\120x+90(50-x)≤5500,\end{cases}$
解得$30≤ x≤33\frac{1}{3}$.
因为$x$为整数,所以$x$的值可以为30,31,32,33,所以共有四种购买方案,
方案一:采购篮球30个,采购足球20个;
方案二:采购篮球31个,采购足球19个;
方案三:采购篮球32个,采购足球18个;
方案四:采购篮球33个,采购足球17个.
由题意可得$\begin{cases}2a+3b=510,\\3a+5b=810,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=120,\\b=90.\end{cases}$
答:篮球的单价为120元,足球的单价为90元.
(2)设学校采购篮球$x$个,则采购足球$(50-x)$个,因为篮球不少于30个,且总费用不超过5500元,所以$\begin{cases}x≥30,\\120x+90(50-x)≤5500,\end{cases}$
解得$30≤ x≤33\frac{1}{3}$.
因为$x$为整数,所以$x$的值可以为30,31,32,33,所以共有四种购买方案,
方案一:采购篮球30个,采购足球20个;
方案二:采购篮球31个,采购足球19个;
方案三:采购篮球32个,采购足球18个;
方案四:采购篮球33个,采购足球17个.
解析
【分析】
(1) 第一问需要求篮球和足球的单价，存在两个未知量，题目刚好给出两组购买费用的等量关系，我们可以通过设两个未知数，将等量关系转化为二元一次方程组，求解方程组就能得到两个单价。
(2) 第二问是方案设计问题，已知采购总数量，我们可以设采购篮球的数量为x个，足球数量就是(50-x)个，结合“篮球不少于30个”“总费用不超过5500元”两个限制条件列出一元一次不等式组，求出x的取值范围后，结合x为正整数的实际意义，就能找出所有符合条件的购买方案。
【解析】
(1) 设篮球的单价为$a$元，足球的单价为$b$元，
由题意可得方程组：$\begin{cases}2a+3b=510\\3a+5b=810\end{cases}$
对第一个方程乘3得$6a+9b=1530$，第二个方程乘2得$6a+10b=1620$，两式相减得$b=90$，将$b=90$代入$2a+3×90=510$，解得$a=120$。
(2) 设学校采购篮球$x$个，则采购足球$(50-x)$个，
根据限制条件列不等式组：$\begin{cases}x≥30\\120x+90(50-x)≤5500\end{cases}$
解第二个不等式：$120x+4500-90x≤5500$，$30x≤1000$，得$x≤33\frac{1}{3}$
因此x的取值范围为$30≤ x≤33\frac{1}{3}$，因为x为正整数，所以x可取30、31、32、33，对应4种方案。
【答案】
(1) 篮球的单价为120元，足球的单价为90元。
(2) 共有4种购买方案：
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一元一次不等式组的应用
3. 方案设计问题
【点评】
本题结合实际采购场景出题，既考查了用方程组解决双未知量实际问题的基础能力，也考查了通过不等式组整数解处理方案类问题的能力，解题时要注意未知数的实际意义，取值需符合现实要求。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需要求篮球和足球的单价，存在两个未知量，题目刚好给出两组购买费用的等量关系，我们可以通过设两个未知数，将等量关系转化为二元一次方程组，求解方程组就能得到两个单价。
(2) 第二问是方案设计问题，已知采购总数量，我们可以设采购篮球的数量为x个，足球数量就是(50-x)个，结合“篮球不少于30个”“总费用不超过5500元”两个限制条件列出一元一次不等式组，求出x的取值范围后，结合x为正整数的实际意义，就能找出所有符合条件的购买方案。
【解析】
(1) 设篮球的单价为$a$元，足球的单价为$b$元，
由题意可得方程组：$\begin{cases}2a+3b=510\\3a+5b=810\end{cases}$
对第一个方程乘3得$6a+9b=1530$，第二个方程乘2得$6a+10b=1620$，两式相减得$b=90$，将$b=90$代入$2a+3×90=510$，解得$a=120$。
(2) 设学校采购篮球$x$个，则采购足球$(50-x)$个，
根据限制条件列不等式组：$\begin{cases}x≥30\\120x+90(50-x)≤5500\end{cases}$
解第二个不等式：$120x+4500-90x≤5500$，$30x≤1000$，得$x≤33\frac{1}{3}$
因此x的取值范围为$30≤ x≤33\frac{1}{3}$，因为x为正整数，所以x可取30、31、32、33，对应4种方案。
【答案】
(1) 篮球的单价为120元，足球的单价为90元。
(2) 共有4种购买方案：
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一元一次不等式组的应用
3. 方案设计问题
【点评】
本题结合实际采购场景出题，既考查了用方程组解决双未知量实际问题的基础能力，也考查了通过不等式组整数解处理方案类问题的能力，解题时要注意未知数的实际意义，取值需符合现实要求。
【难度系数】
0.7
