1.下列关于公理和定理的联系，说法不正确的是()

A.公理和定理都是真命题
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理的正确性不需要证明，定理的正确性需要证明

1.B

【分析】
这是一道概念辨析题，解题时首先要回忆公理和定理的核心定义、二者的联系与区别，再逐一核对每个选项的描述是否正确，最终选出说法错误的选项即可。首先明确两个核心概念：公理是经过长期实践检验、正确性无需证明的公认真命题，是推理论证的原始依据；定理是通过公理或已证真命题推导得到的真命题，正确性需要证明，也可作为后续推理的依据，带着这两个核心点判断选项即可。
【解析】
首先明确公理和定理的定义：
公理：人们在长期实践中总结得到，正确性不需要证明的真命题，可作为推理论证的原始依据；
定理：经过严格推理论证得到的真命题，正确性需要证明，也可作为后续推理论证的依据。
逐一分析选项：
A. 公理和定理都是经过验证的真命题，该说法正确；
B. 公理无需证明，定理需要证明才能成立，二者概念不同，不能等同，该说法错误；
C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据，该说法正确；
D. 公理的正确性不需要证明，定理的正确性需要经过推理证明，该说法正确。
本题要求选择说法不正确的选项，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
公理的概念，定理的概念，命题辨析
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对公理和定理的概念、联系与区别的掌握，牢记二者的核心差异（是否需要证明）就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8

2.对于命题“三角形的任意两边之和大于第三边”，有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是定理。
其中正确的是()

A.①③
B.①③④
C.③④
D.①②④

2.B

【分析】
解题时先依次回忆命题、真假命题、定理的相关定义，再结合三角形三边关系的性质逐一判断各个说法：首先判断所给语句是否符合命题的定义，再判断它的真假性，最后判断它是否属于定理，最终选出正确选项。
【解析】
1. 判断①：命题是指可以判断真假的陈述句，“三角形的任意两边之和大于第三边”是对三角形三边关系的明确判断，属于命题，故①正确；
2. 判断②③：根据三角形的基本性质，任意三角形的两边之和都大于第三边，该命题描述符合客观事实，是真命题，故②错误，③正确；
3. 判断④：定理是指经过推理证实的、可作为证明其他命题依据的真命题，该结论是经过严格证明的几何常用基础结论，属于定理，故④正确。
综上，①③④均正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
命题的概念；真假命题判断；定理的概念
【点评】
本题侧重考查基础概念的辨析，结合了三角形三边关系的基础性质，只要准确掌握相关概念的区别与联系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

3.请你完成命题“两个全等三角形的对应角平分线相等”的证明。
如图，$△ ABC≌△ A'B'C'$，$BD$，$B'D'$分别平分$∠ ABC$，$∠ A'B'C'$。
求证：。
（第3题）
证明：$\because △ ABC≌△ A'B'C'$，
$\therefore ∠ A=∠ A'$，$AB=A'B'$，
。
$\because BD$，$B'D'$分别平分$∠ ABC$，$∠ A'B'C'$，
$\therefore$ ，
。
$\therefore$ 。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，$∠ A=$
$∠ A'$，$AB=A'B'$，，
$\therefore$ （）。
$\therefore$ 。

证明过程配图为：
$\because △ ABC≌△ A'B'C'$，
$\therefore ∠ A=∠ A'$，$AB=A'B'$，$∠ABC=∠A'B'C'$。
$\because BD$，$B'D'$分别平分$∠ ABC$，$∠ A'B'C'$，
$\therefore ∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠A'B'D'=\frac{1}{2}∠A'B'C'$。
$\therefore ∠ABD=∠A'B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，$∠ A=∠ A'$，$AB=A'B'$，$∠ABD=∠A'B'D'$，
$\therefore △ABD≌△A'B'D'$（$ASA$）。
$\therefore BD=B'D'$。

【分析】
要证明两个全等三角形的对应角平分线相等，首先明确求证结论为$BD=B'D'$，解题思路如下：1. 先利用已知的$△ ABC≌△ A'B'C'$的性质，得到对应边$AB=A'B'$，对应角$∠A=∠A'$、$∠ABC=∠A'B'C'$，得到证明的基础等量关系；2. 结合角平分线的定义，可推导出$∠ABD$和$∠A'B'D'$分别是两个对应角的一半，因此这两个角也相等；3. 观察包含待证线段$BD$、$B'D'$的$△ ABD$和$△ A'B'D'$，已经具备两角及其夹边对应相等的条件，可通过ASA判定这两个小三角形全等；4. 最后根据全等三角形对应边相等的性质，即可得到$BD=B'D'$的结论。
【解析】
首先补全求证内容：$BD=B'D'$，完整证明过程如下：
1. 由已知$△ ABC≌△ A'B'C'$，根据全等三角形的性质，可得对应边相等、对应角相等，即$∠A=∠A'$，$AB=A'B'$，$∠ABC=∠A'B'C'$；
2. 由已知$BD$，$B'D'$分别平分$∠ABC$，$∠A'B'C'$，根据角平分线的定义，可得$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠A'B'D'=\frac{1}{2}∠A'B'C'$；
3. 通过等量代换可得$∠ABD=∠A'B'D'$；
4. 在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，有三组对应相等的条件：$∠A=∠A'$，$AB=A'B'$，$∠ABD=∠A'B'D'$，符合角边角（ASA）的全等判定条件，因此$△ ABD≌△ A'B'D'$；
5. 根据全等三角形的对应边相等，可得$BD=B'D'$，即证明了全等三角形的对应角平分线相等。
【答案】
证明过程配图为：
$\because △ ABC≌△ A'B'C'$，
$\therefore ∠ A=∠ A'$，$AB=A'B'$，$∠ABC=∠A'B'C'$。
$\because BD$，$B'D'$分别平分$∠ ABC$，$∠ A'B'C'$，
$\therefore ∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠A'B'D'=\frac{1}{2}∠A'B'C'$。
$\therefore ∠ABD=∠A'B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，$∠ A=∠ A'$，$AB=A'B'$，$∠ABD=∠A'B'D'$，
$\therefore △ABD≌△A'B'D'$（$ASA$）。
$\therefore BD=B'D'$。
【知识点】
全等三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的ASA判定
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，核心是通过证明包含待证线段的小三角形全等来推导结论，需要学生熟练掌握全等三角形的性质和判定定理，理清从已知到结论的逻辑推导顺序，是几何证明的基础训练题。
【难度系数】
0.8

4.如图,有下面四个论断:①$AE=AD$;②$AB=AC$;③$OB=OC$;④$∠B=∠C$。请从中任选两个作为条件,再选定一个作为结论组成命题,并判断其真假。

解:(答案不唯一)
条件:①$AE=AD$；②$AB=AC$。
结 论：④ $∠B = ∠C$。该命题是真命题。
证明:在$△ AEC$和$△ ADB$中，
$\because AE=AD,∠EAC=∠DAB,AC=AB$，
$\therefore△ AEC≌△ ADB(\mathrm{SAS})$。$\therefore∠B=∠C$。
配图为

【分析】
这是一道开放性几何命题题，解题思路如下：首先可任选两个论断作为条件，一个作为结论，优先选择涉及同一个三角形的边、角条件更易推导：若选①$AE=AD$、②$AB=AC$作为条件，④$∠B=∠C$作为结论，观察可得$△AEC$和$△ADB$有公共角$∠EAC=∠DAB$，结合两组对应边相等的已知条件，刚好符合全等三角形的SAS判定规则，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应角相等的性质，即可推出$∠B=∠C$的结论。
【解析】
我们选择条件：①$AE=AD$；②$AB=AC$，结论：④$∠B = ∠C$，判断为真命题，证明过程如下：
在$△ AEC$和$△ ADB$中：
已知$AE=AD$，$∠EAC$和$∠DAB$是公共角故相等，又已知$AC=AB$，
满足全等三角形的SAS判定条件，因此$△ AEC≌△ ADB(\mathrm{SAS})$。
根据全等三角形对应角相等的性质，可得$∠B=∠C$，因此该命题为真命题。
（注：本题答案不唯一，也可选择其他合理的条件、结论组合，推导逻辑成立即可）
【答案】
解:(答案不唯一)
条件:①$AE=AD$；②$AB=AC$。
结 论：④ $∠B = ∠C$。该命题是真命题。
证明:在$△ AEC$和$△ ADB$中，
$\because AE=AD,∠EAC=∠DAB,AC=AB$，
$\therefore△ AEC≌△ ADB(\mathrm{SAS})$。$\therefore∠B=∠C$。
配图为
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 命题的组成
【点评】
本题属于开放性基础题，答案不唯一，核心考查全等三角形判定定理、性质的应用，以及对命题结构的理解，解题时只要选取的条件可通过合理的几何推导得到结论即可，要注意全等判定的条件要满足对应边、对应角的要求，避免错用判定定理。
【难度系数】
0.8

5. 提升题 证明命题“等腰三角形两腰上的高线相等”是真命题。（请根据题意并结合如图所示的图形，写出已知、求证和证明过程）

解:已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,BD⊥ AC$于点$D$,$CE⊥ AB$于点$E$。
求证:$BD=CE$。
证 明：$\because BD ⊥ AC, CE ⊥ AB$，
$\therefore∠ADB=∠AEC=90°$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\because∠ADB = ∠AEC = 90°,∠A = ∠A,AB = AC,\therefore△ ABD≌△ ACE(\mathrm{AAS})$。
$\therefore BD=CE$。
配图为

【分析】
证明文字类几何命题，首先要将文字描述转化为规范的几何已知、求证，再进行证明。本题命题的条件为：△ABC是等腰三角形，BD、CE分别是两腰AC、AB上的高；结论为：BD=CE。要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等，观察图形可知BD、CE分别在△ABD和△ACE中，两个三角形有公共角∠A，均含直角，再结合等腰三角形两腰相等的条件，可通过AAS判定两三角形全等，再由全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
第一步：根据题意写出已知和求证
已知：在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E。
求证：BD=CE。
第二步：证明过程
∵ BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴ ∠ADB=∠AEC=90°（垂直的定义）。
在△ABD和△ACE中：
$\begin{cases}∠ADB=∠AEC \\∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角}) \\AB=AC \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE（AAS），
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,BD⊥ AC$于点$D$,$CE⊥ AB$于点$E$。
求证:$BD=CE$。
证 明：$\because BD ⊥ AC, CE ⊥ AB$，
$\therefore∠ADB=∠AEC=90°$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\because∠ADB = ∠AEC = 90°,∠A = ∠A,AB = AC,\therefore△ ABD≌△ ACE(\mathrm{AAS})$。
$\therefore BD=CE$。
配图为
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，全等三角形性质
【点评】
本题是文字几何证明题的基础题型，核心考查文字命题到几何语言的转化能力，以及利用全等三角形证明线段相等的常用方法，熟练掌握此类题的解题规范，能有效提升几何证明的逻辑性和严谨性。
【难度系数】
0.7