1.“HL”判定法
和一分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“”)。

解：
依次填入：斜边；条直角边；HL

【分析】
这道题考查直角三角形全等“HL”判定法的基础概念，解题时只需回忆教材中“HL”判定定理的标准表述，对应空缺位置填写内容即可。首先要明确“HL”是仅适用于直角三角形的全等判定规则，其核心要素为两个直角三角形的斜边、一条直角边对应相等，字母缩写为“HL”。
【解析】
根据直角三角形全等的“HL”判定定理的标准定义：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，该判定方法可简写成“斜边、直角边”，也可用字母缩写“HL”表示，因此三个空缺依次对应填入相关内容即可。
【答案】
斜边；条直角边；HL
【知识点】
HL判定定理；直角三角形全等判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对“HL”判定定理内容的掌握，是全等三角形判定板块的基础考点，熟记课本相关概念即可正确作答。
【难度系数】
0.9

【例题】如图，$BE ⊥ AC$，$CD ⊥ AB$，垂足分别为$E,D$，$BE=CD$. 求证：$∠ ECB = ∠ DBC$.

证明：
∵ $BE ⊥ AC$，$CD ⊥ AB$
∴ $∠ BEC = ∠ CDB = 90°$
∴ $△ BEC$和$△ CDB$都是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ BEC$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中，
$\begin{cases}BE = CD \\BC = CB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BEC ≌ \mathrm{Rt}△ CDB(\mathrm{HL})$
∴ $∠ ECB = ∠ DBC$

【分析】
要证明∠ECB=∠DBC，可通过证明两个角所在的三角形全等来实现。首先观察到∠ECB在Rt△BEC中，∠DBC在Rt△CDB中，已知BE⊥AC、CD⊥AB，可得两个三角形均为直角三角形；再结合已知条件BE=CD，以及两个三角形的公共斜边BC=CB，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ $BE ⊥ AC$，$CD ⊥ AB$
∴ $∠ BEC = ∠ CDB = 90°$
∴ $△ BEC$和$△ CDB$都是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ BEC$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中，
$\begin{cases}BE = CD \\BC = CB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BEC ≌ \mathrm{Rt}△ CDB(\mathrm{HL})$
∴ $∠ ECB = ∠ DBC$
【答案】
证明：
∵ $BE ⊥ AC$，$CD ⊥ AB$
∴ $∠ BEC = ∠ CDB = 90°$
∴ $△ BEC$和$△ CDB$都是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ BEC$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中，
$\begin{cases}BE = CD \\BC = CB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BEC ≌ \mathrm{Rt}△ CDB(\mathrm{HL})$
∴ $∠ ECB = ∠ DBC$
【知识点】
垂直的定义、HL判定全等、全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是先确定待证角所在的三角形，结合已知的垂直条件判定三角形为直角三角形，再利用公共边和已知的等边通过HL定理证明全等，要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8

【变式】如图,点B,F,C,E在同一条直线上,∠A=∠D=90°,AB=DE,BF=CE.求证:∠B=∠E.

证明：
∵ BF = CE，
∴ BF + FC = CE + FC，
即 BC = EF。
∵ ∠A = ∠D = 90°，
∴ △ABC和△DEF都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\BC = EF\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。
∴ ∠B = ∠E。

【分析】
要证明∠B=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等实现。首先观察图形，∠B属于Rt△ABC，∠E属于Rt△DEF，已知两个三角形都是直角三角形，且给出直角边AB=DE，还需要得到斜边相等即可用HL判定全等。已知BF=CE，两条线段同时加上公共部分FC，就能得到BC=EF，满足HL的判定条件，证得全等后即可根据全等三角形对应角相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ BF = CE，
∴ BF + FC = CE + FC，
即 BC = EF。
∵ ∠A = ∠D = 90°，
∴ △ABC和△DEF都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\BC = EF\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。
∴ ∠B = ∠E。
【答案】
证明过程如上，可证得∠B=∠E。
【知识点】
线段和差计算，HL判定定理，全等三角形性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，核心是先利用线段的和差关系得到全等所需的对应边，再结合直角三角形特有的HL判定定理证明全等，进而得到对应角相等，侧重对基础定理应用和逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.8

1. 如图，可以利用“HL”判定$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$全等的条件是().


A.$AC=A'C', ∠C=∠C'$
B.$∠A=∠A', AB=A'B'$
C.$AC=A'C', AB=A'B'$
D.$∠B=∠B', BC=B'C'$

C

【分析】
解题首先要明确“HL”判定定理的内容：HL是仅用于直角三角形全等的判定定理，指斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。首先确定题中两个直角三角形的直角为∠C和∠C'，因此斜边是AB、A'B'，直角边为AC、BC和A'C'、B'C'。再逐一比对选项，判断哪个选项符合“一组斜边+一组直角边对应相等”的HL判定条件即可。
【解析】
已知△ABC和△A'B'C'均为直角三角形，∠C=∠C'=90°，因此两个三角形的斜边为AB、A'B'，直角边为AC、BC和A'C'、B'C'。
HL判定定理要求：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，即可判定全等。
对各选项逐一分析：
A选项：仅给出一组直角边$AC=A'C'$、直角$∠C=∠C'$，不满足HL的判定条件，不符合要求；
B选项：给出$∠A=∠A'$、斜边$AB=A'B'$，结合直角相等，属于AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
C选项：给出直角边$AC=A'C'$、斜边$AB=A'B'$，完全符合HL的判定条件，符合要求；
D选项：给出$∠B=∠B'$、直角边$BC=B'C'$，结合直角相等，属于AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. HL判定定理
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题考查对直角三角形全等HL判定定理的掌握，解题时要注意HL的适用范围仅限直角三角形，且必须满足“斜边+一条直角边对应相等”的条件，注意区分HL与普通三角形全等的判定方法，避免混淆。
【难度系数】
0.8

2. 如图,已知$AB⊥BD,CD⊥BD$,若用“HL”判定$Rt△ABD$和$Rt△CDB$全等,则需要添加的条件是().

A.$AD=CB$
B.$∠A=∠C$
C.$∠ADB=∠CBD$
D.$AB=CD$

第2题图 第3题图

A

【分析】
要解决这道题，首先明确“HL”判定定理的要求：仅适用于直角三角形全等判定，需满足斜边和一条直角边对应相等。首先观察两个三角形：Rt△ABD和Rt△CDB均为直角三角形，且有公共边BD，BD是两个三角形共有的直角边，已经满足一组直角边相等的条件。因此要使用HL判定全等，只需补充两个三角形的斜边对应相等即可，对应斜边为AD和CB，即添加AD=CB就可满足HL的判定条件。
【解析】
已知$AB⊥BD$，$CD⊥BD$，因此$∠ ABD=∠ CDB=90°$，$△ ABD$和$△ CDB$均为直角三角形。
两个三角形的公共边$BD=DB$，是一组相等的直角边：
若添加选项A的$AD=CB$：此时在$Rt△ ABD$和$Rt△ CDB$中，$\begin{cases} AD=CB \\ BD=DB \end{cases}$，满足“斜边+直角边对应相等”，可通过HL判定两三角形全等，符合要求。
若添加选项B的$∠ A=∠ C$：结合$∠ ABD=∠ CDB$、$BD=DB$，属于AAS判定，不符合HL要求。
若添加选项C的$∠ ADB=∠ CBD$：结合$∠ ABD=∠ CDB$、$BD=DB$，属于ASA判定，不符合HL要求。
若添加选项D的$AB=CD$：结合$∠ ABD=∠ CDB$、$BD=DB$，属于SAS判定，不符合HL要求。
因此符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理；全等三角形判定
【点评】
本题重点考查HL判定定理的适用条件，解题时需注意HL仅针对直角三角形，且必须是斜边与直角边对应相等，要注意区分HL和一般三角形的全等判定方法。
【难度系数】
0.8

3. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 和 $Rt△ DEF$ 中, $∠ B = ∠ E = 90°$, $AC = DF$, $AB = DE$. 若 $∠ A = 55°$, 则 $∠ DFE =$ .

$\boldsymbol{35°}$

【分析】
首先观察到题目中两个三角形均为直角三角形，已知斜边$AC=DF$，一组直角边$AB=DE$，符合直角三角形全等判定的HL定理的条件，可先证明两个三角形全等，得到对应角$∠ D=∠ A$，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出$∠ DFE$的度数。
【解析】
解：$\because ∠ B=∠ E=90°$，
$\therefore △ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形，
在$Rt△ ABC$和$Rt△ DEF$中：
$\begin{cases} AC=DF \\ AB=DE \end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC≌ Rt△ DEF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ D=∠ A=55°$，
在$Rt△ DEF$中，$∠ E=90°$，
$\therefore ∠ DFE=90°-∠ D=90°-55°=35°$。
【答案】
$\boldsymbol{35°}$
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，结合了直角三角形全等的判定和性质的应用，解题关键是先通过HL证明三角形全等得到对应角相等，再结合直角三角形的内角性质计算角度，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

4.如图,点 C,E,B,F 在同一条直线上,$AB ⊥ CF$于点 B,$DE ⊥ CF$于点 E,$AC = DF$,$AB = DE$.求证:$CE=BF$.

证明：
∵ $AB⊥CF$，$DE⊥CF$，
∴ $∠ ABC = ∠ DEF = 90°$，
∴ $△ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF \\AB = DE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$，
∴ $BC = EF$，
∴ $BC - BE = EF - BE$，
即 $CE = BF$。

【分析】
要证$CE=BF$，观察线段位置可得$CE=BC-BE$，$BF=EF-BE$，因此只需先证明$BC=EF$即可。$BC$和$EF$分别是$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEF$的直角边，由已知的垂直条件可确定两个三角形都是直角三角形，结合给出的斜边$AC=DF$、直角边$AB=DE$，可通过“HL”定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应边相等得到$BC=EF$，最后通过线段和差运算即可推出$CE=BF$。
【解析】
证明：
∵ $AB⊥CF$，$DE⊥CF$，
∴ $∠ ABC = ∠ DEF = 90°$，
∴ $△ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF \\AB = DE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$，
∴ $BC = EF$，
∴ $BC - BE = EF - BE$，
即 $CE = BF$。
【答案】
证明：
∵ $AB⊥CF$，$DE⊥CF$，
∴ $∠ ABC = ∠ DEF = 90°$，
∴ $△ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF \\AB = DE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$，
∴ $BC = EF$，
∴ $BC - BE = EF - BE$，
即 $CE = BF$。
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的基础常考题，解题核心是先利用HL判定直角三角形全等，得到对应边相等后，再结合线段的和差关系转化得到待证结论，解题时需注意先明确直角三角形的判定条件再套用全等判定定理。
【难度系数】
0.8