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【典型例题2】甲、乙两位采购员去同一家饲料公司购买饲料，两位采购员均购买了两次，两次购买饲料的价格分别为$m$元/千克和$n$元/千克($m$，$n$均为正数，且$m≠n$)，甲每次购买1 000千克的饲料，乙每次购买800元的饲料.
(1)甲、乙两次购买饲料的平均价格各是多少？
(2)谁购买饲料的方式更合算？
【解】(1)甲每次购买1 000千克的饲料，两次购买饲料的价格分别为$m$元/千克和$n$元/千克，由此可得甲两次购买饲料的平均价格为$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2}$(元/千克).
而乙每次购买800元的饲料，可得乙两次购买饲料的平均价格为$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$(元/千克).
(2)甲、乙两次购买饲料的平均价格的差为$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$.
因为$m$，$n$均为正数，且$m≠n$，所以$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} ＞ 0$.
因此，乙购买饲料的方式更合算.
规律方法 作差法是比较两个代数式大小的基本方法，一般步骤：(1)作差；(2)变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论，写出两个代数式的大小关系.
(1)甲、乙两次购买饲料的平均价格各是多少？
(2)谁购买饲料的方式更合算？
【解】(1)甲每次购买1 000千克的饲料，两次购买饲料的价格分别为$m$元/千克和$n$元/千克，由此可得甲两次购买饲料的平均价格为$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2}$(元/千克).
而乙每次购买800元的饲料，可得乙两次购买饲料的平均价格为$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$(元/千克).
(2)甲、乙两次购买饲料的平均价格的差为$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$.
因为$m$，$n$均为正数，且$m≠n$，所以$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} ＞ 0$.
因此，乙购买饲料的方式更合算.
规律方法 作差法是比较两个代数式大小的基本方法，一般步骤：(1)作差；(2)变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论，写出两个代数式的大小关系.
答案
解：
(1) 甲两次购买饲料的总费用为$1000m + 1000n$元，总购买量为$1000×2=2000$千克，
甲两次购买饲料的平均价格为：
$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2}\ (\mathrm{元/千克})$
乙两次购买饲料的总费用为$800×2=1600$元，总购买量为$\frac{800}{m} + \frac{800}{n}$千克，
乙两次购买饲料的平均价格为：
$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}\ (\mathrm{元/千克})$
(2) 作差比较两人平均价格的大小：
$\begin{aligned}\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} &= \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}\end{aligned}$
因为$m,n$均为正数，且$m≠ n$，所以$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，
可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，说明乙的平均购买价格更低。
答：(1)甲两次购买饲料的平均价格是$\frac{m+n}{2}$元/千克，乙两次购买饲料的平均价格是$\frac{2mn}{m+n}$元/千克；(2)乙购买饲料的方式更合算。
(1) 甲两次购买饲料的总费用为$1000m + 1000n$元，总购买量为$1000×2=2000$千克，
甲两次购买饲料的平均价格为：
$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2}\ (\mathrm{元/千克})$
乙两次购买饲料的总费用为$800×2=1600$元，总购买量为$\frac{800}{m} + \frac{800}{n}$千克，
乙两次购买饲料的平均价格为：
$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}\ (\mathrm{元/千克})$
(2) 作差比较两人平均价格的大小：
$\begin{aligned}\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} &= \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}\end{aligned}$
因为$m,n$均为正数，且$m≠ n$，所以$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，
可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，说明乙的平均购买价格更低。
答：(1)甲两次购买饲料的平均价格是$\frac{m+n}{2}$元/千克，乙两次购买饲料的平均价格是$\frac{2mn}{m+n}$元/千克；(2)乙购买饲料的方式更合算。
解析
【分析】
(1) 平均价格的计算公式为“总购买费用÷总购买质量”。计算甲的平均价格时，先求出两次购买的总费用和总质量，代入公式化简即可；计算乙的平均价格时，先求出两次购买的总费用和总质量，再代入公式化简。
(2) 判断谁的购买方式更合算，本质是比较两人的平均价格，平均价格更低的更合算。采用作差法比较：先作两个平均价格的差，再通过通分、因式分解变形，最后根据m、n的取值范围判断差的正负，即可得出结论。
【解析】
(1) 计算甲的平均价格：
甲两次购买饲料的总费用为$(1000m + 1000n)$元，总购买量为$1000×2=2000$千克，
因此甲的平均价格为：
$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）
计算乙的平均价格：
乙两次购买饲料的总费用为$800×2=1600$元，两次购买的总质量为$(\frac{800}{m} + \frac{800}{n})$千克，
因此乙的平均价格为：
$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{1600}{800(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})} = \frac{2}{\frac{m+n}{mn}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）
(2) 用作差法比较两人平均价格的大小：
$\begin{aligned}\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} &= \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{m^2 + 2mn + n^2 - 4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{m^2 - 2mn + n^2}{2(m + n)} \\&= \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}\end{aligned}$
已知$m$、$n$均为正数，且$m≠n$，因此$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，说明乙的平均购买价格更低。
【答案】
(1) 甲两次购买饲料的平均价格是$\frac{m+n}{2}$元/千克，乙两次购买饲料的平均价格是$\frac{2mn}{m+n}$元/千克；
(2) 乙购买饲料的方式更合算。
【知识点】
分式的混合运算，作差比较法，平均价格计算
【点评】
本题结合生活采购场景考查分式运算的实际应用，解题核心是明确平均价格的计算逻辑，熟练掌握作差法比较代数式大小的步骤（作差、变形、定号、下结论），能将所学知识应用到实际问题的分析中。
【难度系数】
0.7
(1) 平均价格的计算公式为“总购买费用÷总购买质量”。计算甲的平均价格时，先求出两次购买的总费用和总质量，代入公式化简即可；计算乙的平均价格时，先求出两次购买的总费用和总质量，再代入公式化简。
(2) 判断谁的购买方式更合算，本质是比较两人的平均价格，平均价格更低的更合算。采用作差法比较：先作两个平均价格的差，再通过通分、因式分解变形，最后根据m、n的取值范围判断差的正负，即可得出结论。
【解析】
(1) 计算甲的平均价格：
甲两次购买饲料的总费用为$(1000m + 1000n)$元，总购买量为$1000×2=2000$千克，
因此甲的平均价格为：
$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）
计算乙的平均价格：
乙两次购买饲料的总费用为$800×2=1600$元，两次购买的总质量为$(\frac{800}{m} + \frac{800}{n})$千克，
因此乙的平均价格为：
$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{1600}{800(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})} = \frac{2}{\frac{m+n}{mn}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）
(2) 用作差法比较两人平均价格的大小：
$\begin{aligned}\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} &= \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{m^2 + 2mn + n^2 - 4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{m^2 - 2mn + n^2}{2(m + n)} \\&= \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}\end{aligned}$
已知$m$、$n$均为正数，且$m≠n$，因此$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，说明乙的平均购买价格更低。
【答案】
(1) 甲两次购买饲料的平均价格是$\frac{m+n}{2}$元/千克，乙两次购买饲料的平均价格是$\frac{2mn}{m+n}$元/千克；
(2) 乙购买饲料的方式更合算。
【知识点】
分式的混合运算，作差比较法，平均价格计算
【点评】
本题结合生活采购场景考查分式运算的实际应用，解题核心是明确平均价格的计算逻辑，熟练掌握作差法比较代数式大小的步骤（作差、变形、定号、下结论），能将所学知识应用到实际问题的分析中。
【难度系数】
0.7
【即学即练】
2. 小明从甲地到乙地的速度是$a$，从乙地返回甲地的速度是$b(a≠b)$，小彬从甲地到乙地，又从乙地返回甲地的速度一直是$\frac{a+b}{2}$.小明和小彬在甲、乙两地往返一次，谁用的时间短？
2. 小明从甲地到乙地的速度是$a$，从乙地返回甲地的速度是$b(a≠b)$，小彬从甲地到乙地，又从乙地返回甲地的速度一直是$\frac{a+b}{2}$.小明和小彬在甲、乙两地往返一次，谁用的时间短？
答案
【解】设甲、乙两地之间的路程为$s$,由题意知,小明、小彬在甲、乙两地往返一次的时间差为$(\frac{s}{a}+\frac{s}{b})-2s÷\frac{a+b}{2}=\frac{s(a+b)}{ab}-2s·\frac{2}{a+b}=\frac{s(a^2+b^2-2ab)}{ab(a+b)}=\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}.$
因为$a＞0,b＞0,s＞0,a≠ b$,
所以$\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0.$
由此可知,小彬用的时间短.
因为$a＞0,b＞0,s＞0,a≠ b$,
所以$\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0.$
由此可知,小彬用的时间短.
解析
【分析】
要比较两人往返一次的用时长短，首先可设甲、乙两地的路程为$s$，分别表示出小明、小彬往返的总时间，再采用作差法比较两个时间的大小：若差大于0，说明被减数对应的用时更长；若差小于0，说明减数对应的用时更长。计算差时按照分式混合运算的规则化简，再结合$a$、$b$、$s$均为正数、$a≠b$的条件判断差的正负，即可得出结论。
【解析】
设甲、乙两地之间的路程为$s$，由题意得：
小明往返一次的总时间为$\frac{s}{a}+\frac{s}{b}$，小彬往返一次的总时间为$2s÷\frac{a+b}{2}$。
计算两人的时间差：
$\begin{aligned}(\frac{s}{a}+\frac{s}{b})-2s÷\frac{a+b}{2}&=\frac{s(a+b)}{ab}-2s·\frac{2}{a+b}\\&=\frac{s(a+b)^2-4sab}{ab(a+b)}\\&=\frac{s(a^2+2ab+b^2-4ab)}{ab(a+b)}\\&=\frac{s(a^2+b^2-2ab)}{ab(a+b)}\\&=\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}\end{aligned}$
因为$a＞0,b＞0,s＞0,a≠b$，所以$(a-b)^2＞0$，$ab(a+b)＞0$，因此$\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0$，即小明的用时比小彬长。
【答案】
小彬用的时间短
【知识点】
1.分式的混合运算
2.作差法比较大小
3.非负数的性质
【点评】
本题是分式运算的实际应用类题目，核心是通过作差法比较两个代数式的大小，解题时需合理设出辅助量，正确对分式进行通分化简，结合已知条件判断差的符号即可求解，注重对基础运算能力和逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.7
要比较两人往返一次的用时长短，首先可设甲、乙两地的路程为$s$，分别表示出小明、小彬往返的总时间，再采用作差法比较两个时间的大小：若差大于0，说明被减数对应的用时更长；若差小于0，说明减数对应的用时更长。计算差时按照分式混合运算的规则化简，再结合$a$、$b$、$s$均为正数、$a≠b$的条件判断差的正负，即可得出结论。
【解析】
设甲、乙两地之间的路程为$s$，由题意得：
小明往返一次的总时间为$\frac{s}{a}+\frac{s}{b}$，小彬往返一次的总时间为$2s÷\frac{a+b}{2}$。
计算两人的时间差：
$\begin{aligned}(\frac{s}{a}+\frac{s}{b})-2s÷\frac{a+b}{2}&=\frac{s(a+b)}{ab}-2s·\frac{2}{a+b}\\&=\frac{s(a+b)^2-4sab}{ab(a+b)}\\&=\frac{s(a^2+2ab+b^2-4ab)}{ab(a+b)}\\&=\frac{s(a^2+b^2-2ab)}{ab(a+b)}\\&=\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}\end{aligned}$
因为$a＞0,b＞0,s＞0,a≠b$，所以$(a-b)^2＞0$，$ab(a+b)＞0$，因此$\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0$，即小明的用时比小彬长。
【答案】
小彬用的时间短
【知识点】
1.分式的混合运算
2.作差法比较大小
3.非负数的性质
【点评】
本题是分式运算的实际应用类题目，核心是通过作差法比较两个代数式的大小，解题时需合理设出辅助量，正确对分式进行通分化简，结合已知条件判断差的符号即可求解，注重对基础运算能力和逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.7
1. 化简$\frac{n}{n^2 + 1 - 2n} ÷ ( \frac{1}{n-1} + 1 ) × (n-1)$的结果是（
A.$\frac{1}{n-1}$
B.$1$
C.$\frac{1}{n+1}$
D.$\frac{1}{(n-1)^2}$
B
）A.$\frac{1}{n-1}$
B.$1$
C.$\frac{1}{n+1}$
D.$\frac{1}{(n-1)^2}$
答案
1.B
解析
【分析】
解决分式化简题首先要遵循分式混合运算的顺序：有括号先算括号内的运算，再算同级的乘除运算，乘除运算按从左到右的顺序进行。第一步先观察第一个分式的分母$n^2+1-2n$，符合完全平方公式的形式，先因式分解简化；第二步计算括号内的分式加法，先通分把常数1转化为和$\frac{1}{n-1}$同分母的分式，再相加；第三步将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），最后通过约分就能得到最终结果。
【解析】
解：分步化简原式：
1. 因式分解第一个分式的分母：
$n^2 +1 -2n = n^2 -2n +1 = (n-1)^2$，因此第一个分式为$\frac{n}{(n-1)^2}$；
2. 计算括号内的加法：
$\frac{1}{n-1} + 1 = \frac{1}{n-1} + \frac{n-1}{n-1} = \frac{1 + n -1}{n-1} = \frac{n}{n-1}$；
3. 将除法转化为乘法，原式改写为：
$\frac{n}{(n-1)^2} ÷ \frac{n}{n-1} × (n-1) = \frac{n}{(n-1)^2} × \frac{n-1}{n} × (n-1)$
4. 约分计算：分子的$n$和分母的$n$约去，分子的$(n-1)×(n-1)$和分母的$(n-1)^2$约去，最终结果为$1$。
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时要注意运算顺序，不要随意跳步，对多项式先因式分解再运算能大大简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解决分式化简题首先要遵循分式混合运算的顺序：有括号先算括号内的运算，再算同级的乘除运算，乘除运算按从左到右的顺序进行。第一步先观察第一个分式的分母$n^2+1-2n$，符合完全平方公式的形式，先因式分解简化；第二步计算括号内的分式加法，先通分把常数1转化为和$\frac{1}{n-1}$同分母的分式，再相加；第三步将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），最后通过约分就能得到最终结果。
【解析】
解：分步化简原式：
1. 因式分解第一个分式的分母：
$n^2 +1 -2n = n^2 -2n +1 = (n-1)^2$，因此第一个分式为$\frac{n}{(n-1)^2}$；
2. 计算括号内的加法：
$\frac{1}{n-1} + 1 = \frac{1}{n-1} + \frac{n-1}{n-1} = \frac{1 + n -1}{n-1} = \frac{n}{n-1}$；
3. 将除法转化为乘法，原式改写为：
$\frac{n}{(n-1)^2} ÷ \frac{n}{n-1} × (n-1) = \frac{n}{(n-1)^2} × \frac{n-1}{n} × (n-1)$
4. 约分计算：分子的$n$和分母的$n$约去，分子的$(n-1)×(n-1)$和分母的$(n-1)^2$约去，最终结果为$1$。
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时要注意运算顺序，不要随意跳步，对多项式先因式分解再运算能大大简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
2. 化简：$\frac{2a}{a+1} - \frac{2a -4}{a^2 -1} ÷ \frac{a -2}{a^2 -2a +1} =$
$\frac{2}{a+1}$
.答案
2.$\frac{2}{a+1}$
解析
【分析】
分式混合运算遵循先乘除后加减的运算顺序，解题时首先处理除法运算：先对式中的多项式进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分简化乘除部分的结果，最后计算减法，将分子合并化简即可得到最终结果。
【解析】
按照分式混合运算顺序，先计算除法部分：
1. 因式分解各多项式：
$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$2a-4=2(a-2)$
2. 将除法转化为乘法（乘以除数的倒数）并约分：
$\frac{2a -4}{a^2 -1} ÷ \frac{a -2}{a^2 -2a +1} = \frac{2(a-2)}{(a+1)(a-1)} × \frac{(a-1)^2}{a-2} = \frac{2(a-1)}{a+1}$
3. 计算减法，同分母分式相减，分子相减分母不变：
原式$=\frac{2a}{a+1} - \frac{2(a-1)}{a+1} = \frac{2a - 2(a-1)}{a+1} = \frac{2a - 2a + 2}{a+1} = \frac{2}{a+1}$
【答案】
$\frac{2}{a+1}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式约分通分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心考查运算顺序的掌握和因式分解的应用，计算时先对多项式因式分解再约分，可大幅降低计算量，要注意运算过程中符号的处理，避免因漏乘系数或符号错误失分。
【难度系数】
0.8
分式混合运算遵循先乘除后加减的运算顺序，解题时首先处理除法运算：先对式中的多项式进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分简化乘除部分的结果，最后计算减法，将分子合并化简即可得到最终结果。
【解析】
按照分式混合运算顺序，先计算除法部分：
1. 因式分解各多项式：
$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$2a-4=2(a-2)$
2. 将除法转化为乘法（乘以除数的倒数）并约分：
$\frac{2a -4}{a^2 -1} ÷ \frac{a -2}{a^2 -2a +1} = \frac{2(a-2)}{(a+1)(a-1)} × \frac{(a-1)^2}{a-2} = \frac{2(a-1)}{a+1}$
3. 计算减法，同分母分式相减，分子相减分母不变：
原式$=\frac{2a}{a+1} - \frac{2(a-1)}{a+1} = \frac{2a - 2(a-1)}{a+1} = \frac{2a - 2a + 2}{a+1} = \frac{2}{a+1}$
【答案】
$\frac{2}{a+1}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式约分通分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心考查运算顺序的掌握和因式分解的应用，计算时先对多项式因式分解再约分，可大幅降低计算量，要注意运算过程中符号的处理，避免因漏乘系数或符号错误失分。
【难度系数】
0.8
3. 计算:
(1)$(-\dfrac{a^{2}}{b})^{2}·(-\dfrac{b^{2}}{a})^{3}÷(ab)^{2}+\dfrac{2b^{2}}{a};$
(2)$\dfrac{3-a}{2a-4}÷(a+2-\dfrac{5}{a-2}).$
(1)$(-\dfrac{a^{2}}{b})^{2}·(-\dfrac{b^{2}}{a})^{3}÷(ab)^{2}+\dfrac{2b^{2}}{a};$
(2)$\dfrac{3-a}{2a-4}÷(a+2-\dfrac{5}{a-2}).$
答案
3.【解】(1)原式$=\frac{a^4}{b^2}·(-\frac{b^6}{a^3})÷(a^2b^2)+\frac{2b^2}{a}=-\frac{a^4}{b^2}·\frac{b^6}{a^3}·\frac{1}{a^2b^2}+\frac{2b^2}{a}=-\frac{b^2}{a}+\frac{2b^2}{a}=\frac{b^2}{a}.$
(2)原式$=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{(a+2)(a-2)-5}=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{a^2-9}=-\frac{a-3}{2(a+3)(a-3)}=-\frac{1}{2a+6}.$
(2)原式$=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{(a+2)(a-2)-5}=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{a^2-9}=-\frac{a-3}{2(a+3)(a-3)}=-\frac{1}{2a+6}.$
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，解题需严格遵循分式运算顺序：
(1) 第一小题先算乘方，依据分式乘方法则，分子分母分别乘方，注意符号判定；再将除法转化为乘法，按照从左到右的顺序约分计算，最后做加减运算合并即可得到结果。
(2) 第二小题有括号，先计算括号内的运算，将括号内的整式通分转化为同分母分式相减，分子合并后因式分解；再将除法转化为乘法，对分子分母分别因式分解，约去公因式后化简，计算过程中注意符号的变化。
【解析】
(1) 按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算：
原式$=\frac{a^4}{b^2}·(-\frac{b^6}{a^3})÷(a^2b^2)+\frac{2b^2}{a}$
将除法转化为乘法：
$=-\frac{a^4}{b^2}·\frac{b^6}{a^3}·\frac{1}{a^2b^2}+\frac{2b^2}{a}$
约分计算乘除部分：
$=-\frac{b^2}{a}+\frac{2b^2}{a}$
合并同类项得：
$=\frac{b^2}{a}$
(2) 先算括号内的运算，再算除法：
先对括号内通分计算，同时对除式的分子分母因式分解：
原式$=\frac{3-a}{2(a-2)}÷\frac{(a+2)(a-2)-5}{a-2}$
$=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{a^2-4-5}$
$=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{a^2-9}$
对分母因式分解：
$=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}$
约去公因式$(a-3)$和$(a-2)$：
$=-\frac{1}{2(a+3)}=-\frac{1}{2a+6}$
【答案】
(1) $\dfrac{b^2}{a}$；(2) $-\dfrac{1}{2a+6}$
【知识点】
分式的混合运算，约分与通分，因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础练习题，重点考查运算顺序和运算法则的掌握，计算时要注意符号处理，约分前先对分子分母因式分解可简化计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的混合运算，解题需严格遵循分式运算顺序：
(1) 第一小题先算乘方，依据分式乘方法则，分子分母分别乘方，注意符号判定；再将除法转化为乘法，按照从左到右的顺序约分计算，最后做加减运算合并即可得到结果。
(2) 第二小题有括号，先计算括号内的运算，将括号内的整式通分转化为同分母分式相减，分子合并后因式分解；再将除法转化为乘法，对分子分母分别因式分解，约去公因式后化简，计算过程中注意符号的变化。
【解析】
(1) 按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算：
原式$=\frac{a^4}{b^2}·(-\frac{b^6}{a^3})÷(a^2b^2)+\frac{2b^2}{a}$
将除法转化为乘法：
$=-\frac{a^4}{b^2}·\frac{b^6}{a^3}·\frac{1}{a^2b^2}+\frac{2b^2}{a}$
约分计算乘除部分：
$=-\frac{b^2}{a}+\frac{2b^2}{a}$
合并同类项得：
$=\frac{b^2}{a}$
(2) 先算括号内的运算，再算除法：
先对括号内通分计算，同时对除式的分子分母因式分解：
原式$=\frac{3-a}{2(a-2)}÷\frac{(a+2)(a-2)-5}{a-2}$
$=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{a^2-4-5}$
$=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{a^2-9}$
对分母因式分解：
$=-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}$
约去公因式$(a-3)$和$(a-2)$：
$=-\frac{1}{2(a+3)}=-\frac{1}{2a+6}$
【答案】
(1) $\dfrac{b^2}{a}$；(2) $-\dfrac{1}{2a+6}$
【知识点】
分式的混合运算，约分与通分，因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础练习题，重点考查运算顺序和运算法则的掌握，计算时要注意符号处理，约分前先对分子分母因式分解可简化计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
