11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=80°$，点$D$在$△ ABC$的内部且到三边的距离相等，则$∠ ADC$的度数为。

11. 130°

【分析】
解题时首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由点D到△ABC三边距离相等，可判断AD、CD分别是∠BAC、∠BCA的角平分线。接下来先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC与∠BCA的度数和，再推导得出△ADC中∠DAC与∠DCA的度数和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵点D到△ABC三边的距离相等
∴AD平分∠BAC，CD平分∠BCA（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
在△ABC中，∠B=80°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC + ∠ BCA = 180° - ∠ B = 180° - 80° = 100°$
∵AD、CD分别是∠BAC、∠BCA的角平分线
∴$∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ DCA = \frac{1}{2}∠ BCA$
∴$∠ DAC + ∠ DCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BCA) = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
在△ADC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ADC = 180° - (∠ DAC + ∠ DCA) = 180° - 50° = 130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角平分线性质与三角形内角和的综合基础题，解题的突破口是根据点到三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，结合内角和公式逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7

12. 如图，AD是$△ ABC$的对称轴，E，F是AD上两点.若$BD=2$，$AD=3$，则图中涂色部分的面积为.

12. 3

【分析】
解题时首先利用轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线，可知AD⊥BC，BD=DC；再根据轴对称图形中对称轴两侧的对应部分面积相等，可将分散的涂色部分面积转化为规则的△ABD的面积，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵AD是△ABC的对称轴，
∴AD垂直平分BC，即AD⊥BC，BD=CD=2，且对称轴两侧对应图形的面积相等。
因此图中所有涂色部分的面积之和等于△ABD的面积，
则$S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × BD × AD=\frac{1}{2} × 2 × 3=3$。
【答案】
3
【知识点】
轴对称的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是轴对称性质在面积计算中的典型应用，解题核心是通过轴对称的面积相等性质，将分散的阴影面积转化为容易计算的规则三角形面积，避免了分别计算各块阴影面积的复杂运算，体现了转化思想在几何题中的应用。
【难度系数】
0.7

13. 若按如图所示的方法折纸，则∠1+∠2=。

13. 90°

【分析】
解决本题首先回忆折叠的性质：折叠前后重合的角大小相等。观察题图的折叠过程，BC边原本是直线，对应的角是平角180°，两次折叠后，∠1和与它重合的角相等，∠2和与它重合的角相等，这四个角的和恰好等于平角180°，据此即可推导∠1+∠2的度数。
【解析】
根据折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此：
与∠1重合的角大小等于∠1，与∠2重合的角大小等于∠2，
又因为边BC为直线，平角为180°，所以这四个角的和为180°，即：
$2∠1 + 2∠2 = 180°$
等式两边同时除以2，得：
$∠1 + ∠2 = 90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 平角的定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的基础题型，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的角度特征建立等量关系求解，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8

14. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=50°$，$∠ ACB=60°$，点$E$在$BC$的延长线上，$∠ ABC$的平分线$BD$与$∠ ACE$的平分线$CD$相交于点$D$，连接$AD$.下列结论中，正确的是________.（填序号）
①$∠ BAC=70°$；②$∠ DOC=90°$；③$∠ BDC=35°$；④$∠ DAC=55°$.

①③④

【分析】
我们逐个验证4个结论：1. 利用三角形内角和为180°，可直接计算∠BAC的度数判断①；2. 先根据角平分线定义求出∠OBC的度数，再利用三角形内角和求出∠BOC，结合邻补角关系求∠DOC，判断②；3. 利用三角形外角性质、角平分线定义，推导∠BDC与∠BAC的关系后计算判断③；4. 根据角平分线的判定定理，可知AD是∠BAC的外角平分线，计算外角一半的度数即可判断④。
【解析】
解：①在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-50°-60°=70°$，故①正确；
②
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC=25°$，
在△BOC中，$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-25°-60°=95°$，
∴$∠ DOC=180°-∠ BOC=85°≠90°$，故②错误；
③
∵CD平分$∠ ACE$，
∴$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE$，
根据三角形外角性质：$∠ ACE=∠ ABC+∠ BAC$，$∠ DCE=∠ DBC+∠ BDC$，
∴$∠ BDC=∠ DCE-∠ DBC=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BAC)-\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}∠ BAC=35°$，故③正确；
④过点D分别作$DM⊥ AB$于M，$DN⊥ BC$于N，$DP⊥ AC$于P，
∵BD平分$∠ ABC$，$DM⊥ AB$，$DN⊥ BC$，
∴$DM=DN$，
∵CD平分$∠ ACE$，$DP⊥ AC$，$DN⊥ BC$，
∴$DP=DN$，
∴$DM=DP$，即AD平分$∠ BAC$的外角$∠ MAC$，
$∠ MAC=180°-∠ BAC=110°$，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ MAC=55°$，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质与判定，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查三角形中角的计算、角平分线的相关性质，解题的关键是熟练掌握角的等量代换方法，通过作辅助线利用角平分线判定推导AD是外角平分线是解题的难点。
【难度系数】
0.65

15. 如图，D是$△ ABC$的边BC的中点，连接AD并延长到点E，使$DE=AD$，连接BE. 若$AB=5$，$AC=3$，则AD的取值范围是.

15. 1＜AD＜4

【分析】
要求AD的取值范围，已知AB和AC的长度，结合条件：D是BC中点，AD=DE，可先证明△ADC和△EDB全等，将AC转化为等长的BE，把AB、BE、AE放到同一个△ABE中，利用三角形三边关系先求出AE的取值范围，再结合AE=2AD，即可求出AD的取值范围。
【解析】
∵ D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l}AD = ED \\∠ADC = ∠EDB \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\CD = BD\end{array} $
∴ △ADC ≌ △EDB（SAS），
∴ BE = AC = 3。
在△ABE中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，
代入AB=5，BE=3，得：
$5 - 3 ＜ AE ＜ 5 + 3$，
即 $2 ＜ AE ＜ 8$。
又
∵ DE = AD，
∴ AE = AD + DE = 2AD，
∴ $2 ＜ 2AD ＜ 8$，
不等式各部分同时除以2，得：
$1 ＜ AD ＜ 4$。
【答案】
1＜AD＜4
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是求三角形中线取值范围的典型题，核心方法是通过中线倍长构造全等三角形，将分散的已知边和未知边整合到同一个三角形中，再利用三边关系求解，这类构造全等的思路需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

三、解答题(本大题共6个小题，共60分)
16. (本小题满分9分)
如图，在正方形网格纸中有A，B，C三点. 按下列要求作四边形，使这三个点都在四边形的边(包括顶点)上，且四边形的顶点都在格点上.
(1)在图①中作出的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形.
(2)在图②中作出的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形.
(3)在图③中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.

17. (本小题满分9分)
证明到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

16. 解：(1)答案不唯一，如图所示。
(2)答案不唯一，如图所示。
(3)答案不唯一，如图所示。
17. 已知：如图，P为线段AB外一点，且PA=PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
证明一：如图，设线段AB的中点为O，连接PO并延长。
在Rt△POA 和△POB 中，
∵$\begin{cases} PA=PB, \\ PO=PO, \\ AO=BO, \end{cases}$
∴△POA≌△POB(SSS)。
∴∠POA=∠POB。
∵∠POA+∠POB=180°，
∴2∠POA=180°，即∠POA=90°。
∴直线PO是线段AB的垂直平分线。
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
证明二：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则∠PDA=∠PDB=90°。
在Rt△PDA 和Rt△PDB 中，
∵$\begin{cases} PA=PB, \\ PD=PD, \end{cases}$
∴Rt△PDA≌Rt△PDB(HL)。
∴AD=BD。
又
∵PD⊥AB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上。

第16题
【分析】
本题考查网格作图与特殊四边形的对称性，解题思路如下：
1. 先明确三类图形的性质：①中心对称但非轴对称的四边形：常见为普通平行四边形（不含矩形、菱形、正方形），其绕对角线交点旋转180°能与自身重合，无对称轴；②轴对称但非中心对称的四边形：常见为等腰梯形，沿上下底中点连线折叠能重合，旋转180°无法与自身重合；③既是轴对称又是中心对称的四边形：常见为矩形、正方形、菱形，同时满足两类对称的性质。
2. 结合网格中A、B、C三点的位置，选取合适的格点作为第四个顶点，保证三个点都在四边形边上即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 构造普通平行四边形：以BC为平行四边形的一条边，在点A右侧间隔2个单位的格点取第四个顶点，依次连接各点，得到的平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形。
(2) 构造等腰梯形：以BC为下底，在点A右侧间隔3个单位的格点取第四个顶点作为上底的另一个端点，依次连接各点，得到的等腰梯形仅为轴对称图形，不是中心对称图形。
(3) 构造正方形：以A、B、C为三个顶点，在点A正下方间隔2个单位的格点取第四个顶点，依次连接各点，得到的正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。
【答案】
(1)答案不唯一，如图所示。
(2)答案不唯一，如图所示。
(3)答案不唯一，如图所示。
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，核心是熟练掌握不同特殊四边形的对称性特征，结合网格特点灵活选取顶点即可，满足对称性要求即为正确答案。
【难度系数】
0.8
---
第17题
【分析】
本题考查线段垂直平分线判定定理的证明，解题思路如下：
1. 首先将文字命题转化为几何语言：明确题设是“点P到线段AB两端的距离PA=PB”，结论是“点P在线段AB的垂直平分线上”，据此写出已知和求证。
2. 构造辅助线证明：方法一可取AB中点O，连接PO，通过证明△POA和△POB全等得到PO与AB垂直，即可说明PO是AB的垂直平分线；方法二可过P作AB的垂线，证明垂足是AB的中点，即可说明垂线是AB的垂直平分线，两种方法都利用全等三角形的性质推导。
【解析】
首先将命题改写为几何证明形式：
已知：P为线段AB外一点，且PA=PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
证明方法一：
取线段AB的中点为O，连接PO。
在△POA和△POB中：
$\begin{cases} PA=PB（已知）, \\ PO=PO（公共边）, \\ AO=BO（中点定义）, \end{cases}$
∴△POA≌△POB（SSS）。
∴∠POA=∠POB（全等三角形对应角相等）。
∵∠POA+∠POB=180°（平角定义），
∴2∠POA=180°，即∠POA=90°，
∴PO⊥AB，
又
∵O是AB的中点，
∴直线PO是线段AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上。
证明方法二：
过点P作PD⊥AB于点D，则∠PDA=∠PDB=90°。
在Rt△PDA和Rt△PDB中：
$\begin{cases} PA=PB（已知）, \\ PD=PD（公共边）, \end{cases}$
∴Rt△PDA≌Rt△PDB（HL）。
∴AD=BD（全等三角形对应边相等），
又
∵PD⊥AB，
∴PD垂直平分AB，即点P在线段AB的垂直平分线上。
【答案】
已知：如图，P为线段AB外一点，且PA=PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
证明一：如图，设线段AB的中点为O，连接PO并延长。
在△POA 和△POB 中，
∵$\begin{cases} PA=PB, \\ PO=PO, \\ AO=BO, \end{cases}$
∴△POA≌△POB(SSS)。
∴∠POA=∠POB。
∵∠POA+∠POB=180°，
∴2∠POA=180°，即∠POA=90°。
∴直线PO是线段AB的垂直平分线。
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
证明二：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则∠PDA=∠PDB=90°。
在Rt△PDA 和Rt△PDB 中，
∵$\begin{cases} PA=PB, \\ PD=PD, \end{cases}$
∴Rt△PDA≌Rt△PDB(HL)。
∴AD=BD。
又
∵PD⊥AB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何定理证明的基础题，需要掌握文字命题转化为几何证明题的步骤，合理构造辅助线，结合全等三角形的性质推导结论，注意证明过程逻辑要严谨，步骤要完整。
【难度系数】
0.7