登录
5. 如图，将五角星图案绕着它的中心O旋转后能与自身重合，则旋转的角度至少为 （
A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$
C
）A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$
答案
5. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆旋转对称图形的性质：旋转对称图形绕中心旋转一定角度后能与自身重合，最小旋转角度等于360°除以图形被平均分成的全等部分的数量。观察五角星结构可知，它的5个角完全相同，围绕中心均匀分布，也就是整个周角被平均分成了5等份，用360°除以份数就能得到最小旋转角度。
【解析】
解：五角星是旋转对称图形，围绕中心O均匀分布着5个完全相同的部分。
已知周角为$360°$，因此能使五角星与自身重合的最小旋转角度为：
$360° ÷ 5 = 72°$
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转对称图形；最小旋转角计算
【点评】
本题考查旋转对称的基础应用，解题关键是明确最小旋转角的计算方法，找准图形平均分成的全等份数即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆旋转对称图形的性质：旋转对称图形绕中心旋转一定角度后能与自身重合，最小旋转角度等于360°除以图形被平均分成的全等部分的数量。观察五角星结构可知，它的5个角完全相同，围绕中心均匀分布，也就是整个周角被平均分成了5等份，用360°除以份数就能得到最小旋转角度。
【解析】
解：五角星是旋转对称图形，围绕中心O均匀分布着5个完全相同的部分。
已知周角为$360°$，因此能使五角星与自身重合的最小旋转角度为：
$360° ÷ 5 = 72°$
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转对称图形；最小旋转角计算
【点评】
本题考查旋转对称的基础应用，解题关键是明确最小旋转角的计算方法，找准图形平均分成的全等份数即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$△ ABC$中，$AC=3$，$BC=4$，$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$，连接$AD$，则$△ ACD$的周长为（
A.7
B.8
C.9
D.10
A
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
6. A
解析
【分析】
首先我们需要明确△ACD的周长由AC、CD、AD三条边组成，直接计算三条边长度的话缺少条件，此时观察到题目给出“AB的垂直平分线交BC于D”这一条件，可联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到AD=BD，将AD替换为BD后，△ACD的周长就可以转化为AC与BC的和，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵D在AB的垂直平分线上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD = BD
△ACD的周长 = AC + CD + AD
将AD替换为BD，可得：
△ACD的周长 = AC + CD + BD = AC + (CD + BD) = AC + BC
已知AC=3，BC=4，代入得：
△ACD的周长 = 3 + 4 = 7
故选：A
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，避免了不必要的计算，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.8
首先我们需要明确△ACD的周长由AC、CD、AD三条边组成，直接计算三条边长度的话缺少条件，此时观察到题目给出“AB的垂直平分线交BC于D”这一条件，可联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到AD=BD，将AD替换为BD后，△ACD的周长就可以转化为AC与BC的和，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵D在AB的垂直平分线上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD = BD
△ACD的周长 = AC + CD + AD
将AD替换为BD，可得：
△ACD的周长 = AC + CD + BD = AC + (CD + BD) = AC + BC
已知AC=3，BC=4，代入得：
△ACD的周长 = 3 + 4 = 7
故选：A
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，避免了不必要的计算，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.8
7. 如图，此“钻石”形网格图案由边长都为1个单位长度的等边三角形组成，其中已经有3个小三角形涂上色. 再给1个小三角形涂色，使涂色部分所构成的图形是一个轴对称图形，不同的涂法一共有 （
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
C
）A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
7. C
解析
【分析】
解题需紧扣轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形为轴对称图形。首先观察现有3个涂色小三角形的位置，再逐一给空白小三角形尝试涂色，判断涂色后的整体是否满足轴对称要求，最后统计符合条件的涂法数量即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义，我们对空白小三角形逐一验证：
1. 给最上方涂色小三角形左侧的正置小等边三角形涂色，此时图形沿竖直对称轴折叠，两侧完全重合，符合要求；
2. 给最下方涂色小三角形右下方的倒置小等边三角形涂色，此时图形沿左上到右下的斜向对称轴折叠，两侧完全重合，符合要求；
3. 给3个涂色小三角形右侧的倒置小等边三角形涂色，此时图形沿右上到左下的斜向对称轴折叠，两侧完全重合，符合要求。
其余位置的小三角形涂色后均无法构成轴对称图形，因此共有3种不同涂法。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形判定，网格图形分析
【点评】
本题侧重考查对轴对称图形概念的理解与应用，解题时需全面梳理所有可能的对称轴，逐一验证涂色方案，避免漏解，能有效锻炼空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题需紧扣轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形为轴对称图形。首先观察现有3个涂色小三角形的位置，再逐一给空白小三角形尝试涂色，判断涂色后的整体是否满足轴对称要求，最后统计符合条件的涂法数量即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义，我们对空白小三角形逐一验证：
1. 给最上方涂色小三角形左侧的正置小等边三角形涂色，此时图形沿竖直对称轴折叠，两侧完全重合，符合要求；
2. 给最下方涂色小三角形右下方的倒置小等边三角形涂色，此时图形沿左上到右下的斜向对称轴折叠，两侧完全重合，符合要求；
3. 给3个涂色小三角形右侧的倒置小等边三角形涂色，此时图形沿右上到左下的斜向对称轴折叠，两侧完全重合，符合要求。
其余位置的小三角形涂色后均无法构成轴对称图形，因此共有3种不同涂法。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形判定，网格图形分析
【点评】
本题侧重考查对轴对称图形概念的理解与应用，解题时需全面梳理所有可能的对称轴，逐一验证涂色方案，避免漏解，能有效锻炼空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在直角三角形ABC中，$∠ C=90°$，用尺规作图法作出射线AE，并使AE与BC交于点D. 若$CD=2$，P为AB上一动点，则PD的最小值为（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
8. A
解析
【分析】
首先观察尺规作图的痕迹，可判断AE是∠BAC的角平分线；要找AB上动点P到D的最小距离，根据“垂线段最短”的性质，可知当PD垂直AB时，PD的长度最小；再结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，已知DC垂直AC、CD=2，即可推出PD的最小值。
【解析】
解：由尺规作图痕迹可知，AE是∠BAC的角平分线。
根据垂线段最短的性质，当$DP⊥ AB$时，PD的长度取得最小值。
$\because ∠C=90°$，$\therefore DC⊥ AC$，
又$\because$点D在$∠BAC$的角平分线AE上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PD的最小值$=CD=2$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，尺规作图识别
【点评】
本题解题关键是先通过作图痕迹判断AE为角平分线，再结合垂线段最短确定PD取最小值的位置，最后利用角平分线的性质求解，属于基础知识点的综合考查，难度不大。
【难度系数】
0.8
首先观察尺规作图的痕迹，可判断AE是∠BAC的角平分线；要找AB上动点P到D的最小距离，根据“垂线段最短”的性质，可知当PD垂直AB时，PD的长度最小；再结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，已知DC垂直AC、CD=2，即可推出PD的最小值。
【解析】
解：由尺规作图痕迹可知，AE是∠BAC的角平分线。
根据垂线段最短的性质，当$DP⊥ AB$时，PD的长度取得最小值。
$\because ∠C=90°$，$\therefore DC⊥ AC$，
又$\because$点D在$∠BAC$的角平分线AE上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PD的最小值$=CD=2$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，尺规作图识别
【点评】
本题解题关键是先通过作图痕迹判断AE为角平分线，再结合垂线段最短确定PD取最小值的位置，最后利用角平分线的性质求解，属于基础知识点的综合考查，难度不大。
【难度系数】
0.8
9. 如图，直线$l$经过线段$AB$的中点$O$，点$P$在直线$l$上，且$PA=PB$. 下列结论中，不正确的是 （
A.$∠ PAO=∠ PBO$
B.$∠ A=30°$
C.$PO$平分$∠ APB$
D.$PO$垂直平分线段$AB$
B
）A.$∠ PAO=∠ PBO$
B.$∠ A=30°$
C.$PO$平分$∠ APB$
D.$PO$垂直平分线段$AB$
答案
9. B
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：O是AB中点，可得AO=BO，再结合已知PA=PB，PO为公共边，可通过SSS证明△PAO与△PBO全等，再结合全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定逐一判断各选项，选出错误的结论即可。
【解析】
∵ 点O是线段AB的中点，
∴ AO=BO。
在△PAO和△PBO中：
$\{\begin{array}{l} PA=PB（已知）\\ PO=PO（公共边）\\ AO=BO（中点定义）\end{array} $
∴ △PAO≌△PBO（SSS）。
对各选项分析如下：
A. 由全等三角形对应角相等，可得∠PAO=∠PBO，该结论正确，不符合题意；
B. 题干未给出任何角的度数信息，无法推出∠A=30°，该结论错误，符合题意；
C. 由全等三角形对应角相等，可得∠APO=∠BPO，即PO平分∠APB，该结论正确，不符合题意；
D. 已知O是AB中点，且PA=PB，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知PO垂直平分线段AB，该结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础题，结合图形考查了全等三角形和线段垂直平分线的相关知识，解题时要注意结合已知条件推导结论，不可随意添加题干未给出的条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：O是AB中点，可得AO=BO，再结合已知PA=PB，PO为公共边，可通过SSS证明△PAO与△PBO全等，再结合全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定逐一判断各选项，选出错误的结论即可。
【解析】
∵ 点O是线段AB的中点，
∴ AO=BO。
在△PAO和△PBO中：
$\{\begin{array}{l} PA=PB（已知）\\ PO=PO（公共边）\\ AO=BO（中点定义）\end{array} $
∴ △PAO≌△PBO（SSS）。
对各选项分析如下：
A. 由全等三角形对应角相等，可得∠PAO=∠PBO，该结论正确，不符合题意；
B. 题干未给出任何角的度数信息，无法推出∠A=30°，该结论错误，符合题意；
C. 由全等三角形对应角相等，可得∠APO=∠BPO，即PO平分∠APB，该结论正确，不符合题意；
D. 已知O是AB中点，且PA=PB，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知PO垂直平分线段AB，该结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础题，结合图形考查了全等三角形和线段垂直平分线的相关知识，解题时要注意结合已知条件推导结论，不可随意添加题干未给出的条件。
【难度系数】
0.8
10. 如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为G，E，F是AB上两点，连接CE，DE，CF，DF. 下列结论中，不正确的是（
A.$CE=CD$
B.$CE=DE$
C.$CF=DF$
D.$CG=DG$
A
）A.$CE=CD$
B.$CE=DE$
C.$CF=DF$
D.$CG=DG$
答案
10. A
解析
【分析】
拿到本题首先提取核心条件：AB是线段CD的垂直平分线，E、F在AB上。首先回忆线段垂直平分线的相关性质：1. 垂直平分线会平分它所垂直的线段，即把线段分为两段等长的部分；2. 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。接下来用这两个性质逐个验证四个选项，排除结论正确的选项，剩下的就是本题要选的不正确的结论。
【解析】
根据线段垂直平分线的定义和性质分析各选项：
1. 因为AB是CD的垂直平分线，垂足为G，因此AB平分CD，可得$CG=DG$，D选项结论正确，不符合题意；
2. 点E在AB上，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得$CE=DE$，B选项结论正确，不符合题意；
3. 点F在AB上，同理可得$CF=DF$，C选项结论正确，不符合题意；
4. 题干所给条件无法推出$CE=CD$，该结论不成立，因此A选项结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，结合图形对应点的位置即可快速判断，注意审题时明确要选的是“不正确”的结论，避免因看错题目要求丢分。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先提取核心条件：AB是线段CD的垂直平分线，E、F在AB上。首先回忆线段垂直平分线的相关性质：1. 垂直平分线会平分它所垂直的线段，即把线段分为两段等长的部分；2. 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。接下来用这两个性质逐个验证四个选项，排除结论正确的选项，剩下的就是本题要选的不正确的结论。
【解析】
根据线段垂直平分线的定义和性质分析各选项：
1. 因为AB是CD的垂直平分线，垂足为G，因此AB平分CD，可得$CG=DG$，D选项结论正确，不符合题意；
2. 点E在AB上，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得$CE=DE$，B选项结论正确，不符合题意；
3. 点F在AB上，同理可得$CF=DF$，C选项结论正确，不符合题意；
4. 题干所给条件无法推出$CE=CD$，该结论不成立，因此A选项结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，结合图形对应点的位置即可快速判断，注意审题时明确要选的是“不正确”的结论，避免因看错题目要求丢分。
【难度系数】
0.9
