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1. 如图，$\odot O$为正八边形的外接圆，C，B，A，D，P是正八边形按逆时针方向依次相邻的五个顶点，连接AP，CP，则$∠ APC$的度数为 （
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆正多边形外接圆的相关性质：正n边形的每条边对应的中心角相等，大小为360°÷n。首先计算正八边形单个中心角的度数，再确定∠APC所对的弧包含几个中心角，得到对应弧的中心角度数，最后利用圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）即可求出∠APC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是正八边形的外接圆，
∴正八边形每条边所对的中心角为：$\frac{360°}{8}=45°$。
由顶点顺序C、B、A为逆时针相邻的三个顶点，可知弧AC对应2个中心角，
∴弧AC所对的圆心角为$2×45°=90°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠APC是弧AC所对的圆周角，
∴$∠ APC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 圆周角定理
3. 正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正多边形外接圆的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是准确判断圆周角对应的弧，求出对应圆心角的度数，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正多边形外接圆的相关性质：正n边形的每条边对应的中心角相等，大小为360°÷n。首先计算正八边形单个中心角的度数，再确定∠APC所对的弧包含几个中心角，得到对应弧的中心角度数，最后利用圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）即可求出∠APC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是正八边形的外接圆，
∴正八边形每条边所对的中心角为：$\frac{360°}{8}=45°$。
由顶点顺序C、B、A为逆时针相邻的三个顶点，可知弧AC对应2个中心角，
∴弧AC所对的圆心角为$2×45°=90°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠APC是弧AC所对的圆周角，
∴$∠ APC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 圆周角定理
3. 正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正多边形外接圆的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是准确判断圆周角对应的弧，求出对应圆心角的度数，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
2. 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，若四边形AOCB的面积为$2\sqrt{3}$，则$\odot O$的半径为（
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
D
）A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先回忆正六边形内接于圆的性质：正六边形的边长等于外接圆半径，每条边对应的圆心角为60°。观察四边形AOCB，可拆分为△AOB和△BOC两个三角形，结合圆心角的度数可知这两个三角形都是边长等于圆半径的等边三角形，因此四边形的面积等于两个等边三角形的面积之和，我们设半径为r列方程即可求解。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$。
$\because$ 正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
$\therefore$ 每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，即$∠ AOB=∠ BOC=60°$，
又$\because OA=OB=OC=r$，
$\therefore △ OAB$和$△ OBC$均为边长为$r$的等边三角形。
单个等边三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$，因此四边形$AOCB$的面积为：
$S=2×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{\sqrt{3}}{2}r^2$
由题意得$\frac{\sqrt{3}}{2}r^2=2\sqrt{3}$，
等式两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{1}{2}r^2=2$，
解得$r^2=4$，$\because r＞0$，$\therefore r=2$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形面积计算，解方程
【点评】
本题核心是利用正六边形和外接圆的关系，将不规则四边形的面积转化为两个等边三角形的面积和，通过列方程求解半径，是正多边形相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正六边形内接于圆的性质：正六边形的边长等于外接圆半径，每条边对应的圆心角为60°。观察四边形AOCB，可拆分为△AOB和△BOC两个三角形，结合圆心角的度数可知这两个三角形都是边长等于圆半径的等边三角形，因此四边形的面积等于两个等边三角形的面积之和，我们设半径为r列方程即可求解。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$。
$\because$ 正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
$\therefore$ 每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，即$∠ AOB=∠ BOC=60°$，
又$\because OA=OB=OC=r$，
$\therefore △ OAB$和$△ OBC$均为边长为$r$的等边三角形。
单个等边三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$，因此四边形$AOCB$的面积为：
$S=2×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{\sqrt{3}}{2}r^2$
由题意得$\frac{\sqrt{3}}{2}r^2=2\sqrt{3}$，
等式两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{1}{2}r^2=2$，
解得$r^2=4$，$\because r＞0$，$\therefore r=2$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形面积计算，解方程
【点评】
本题核心是利用正六边形和外接圆的关系，将不规则四边形的面积转化为两个等边三角形的面积和，通过列方程求解半径，是正多边形相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
3. 数学家刘徽首创“割圆术”，即用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积. 圆的内接正十二边形如图所示，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为 (
A.3
B.$π$
C.$3\sqrt{3}$
D.6
A
)A.3
B.$π$
C.$3\sqrt{3}$
D.6
答案
3. A
解析
【分析】
解决本题首先要明确圆内接正多边形的性质：正n边形可以被从中心出发的半径分割为n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正多边形的中心角。首先计算正十二边形的中心角，再求出单个等腰三角形的面积，最后乘12即可得到正十二边形的总面积。计算单个三角形面积时，可利用30°角的直角三角形的性质快速求出高，进而计算面积。
【解析】
解：圆内接正十二边形的中心角为 $\frac{360°}{12}=30°$。
该正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长等于圆的半径1，顶角为30°。
过等腰三角形的一个底顶点向对边（腰）作高，在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此该高为 $1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
单个等腰三角形的面积为：$S_1=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
正十二边形的总面积为：$S=12× S_1=12×\frac{1}{4}=3$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形和圆，三角形面积计算，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题核心考查正多边形面积的求解思路，通过将正多边形转化为若干个等腰三角形的方式降低计算难度，体现了转化的数学思想，同时结合了特殊角度三角形的性质，是正多边形与圆板块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确圆内接正多边形的性质：正n边形可以被从中心出发的半径分割为n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正多边形的中心角。首先计算正十二边形的中心角，再求出单个等腰三角形的面积，最后乘12即可得到正十二边形的总面积。计算单个三角形面积时，可利用30°角的直角三角形的性质快速求出高，进而计算面积。
【解析】
解：圆内接正十二边形的中心角为 $\frac{360°}{12}=30°$。
该正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长等于圆的半径1，顶角为30°。
过等腰三角形的一个底顶点向对边（腰）作高，在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此该高为 $1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
单个等腰三角形的面积为：$S_1=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
正十二边形的总面积为：$S=12× S_1=12×\frac{1}{4}=3$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形和圆，三角形面积计算，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题核心考查正多边形面积的求解思路，通过将正多边形转化为若干个等腰三角形的方式降低计算难度，体现了转化的数学思想，同时结合了特殊角度三角形的性质，是正多边形与圆板块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上. 若OA=1，则顶点C的坐标为（
A.$(-4,\sqrt{3})$
B.$(-2-2\sqrt{3},\sqrt{3})$
C.$(-2,2\sqrt{3})$
D.$(-4,2\sqrt{3})$
A
）A.$(-4,\sqrt{3})$
B.$(-2-2\sqrt{3},\sqrt{3})$
C.$(-2,2\sqrt{3})$
D.$(-4,2\sqrt{3})$
答案
4. A
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用正六边形内角和公式求出正六边形每个内角为120°，结合直角三角形两锐角互余，得到Rt△OAF中∠AFO=30°，利用30°直角三角形的性质求出正六边形的边长；第二步，过点C作x轴的垂线，构造含60°角的直角三角形，利用三角函数求出C点到x轴、y轴的距离，最后结合第二象限点的坐标特征得到C的坐标。
【解析】
正六边形的每个内角为：$\dfrac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且正六边形所有边长相等。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，$∠ OAF=180°-∠ FAB=180°-120°=60°$，因此$∠ AFO=30°$。
已知$OA=1$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AF=2OA=2$，即正六边形的边长为2，由勾股定理得$OF=\sqrt{AF^2-OA^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
过点C作$CG⊥ x$轴，垂足为G，同理可得$∠ CBG=180°-∠ CBA=60°$，$BC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中：
$BG=BC·\cos60°=2×\dfrac{1}{2}=1$，
$CG=BC·\sin60°=2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即点C的纵坐标为$\sqrt{3}$。
点C横坐标的绝对值为$OA+AB+BG=1+2+1=4$，因为点C在第二象限，横坐标为负，因此点C的坐标为$(-4,\sqrt{3})$。
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何图形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的核心是利用正六边形的内角特征构造特殊直角三角形，结合特殊角的三角函数值或直角三角形性质求出对应线段长度，进而确定点的坐标。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用正六边形内角和公式求出正六边形每个内角为120°，结合直角三角形两锐角互余，得到Rt△OAF中∠AFO=30°，利用30°直角三角形的性质求出正六边形的边长；第二步，过点C作x轴的垂线，构造含60°角的直角三角形，利用三角函数求出C点到x轴、y轴的距离，最后结合第二象限点的坐标特征得到C的坐标。
【解析】
正六边形的每个内角为：$\dfrac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且正六边形所有边长相等。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，$∠ OAF=180°-∠ FAB=180°-120°=60°$，因此$∠ AFO=30°$。
已知$OA=1$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AF=2OA=2$，即正六边形的边长为2，由勾股定理得$OF=\sqrt{AF^2-OA^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
过点C作$CG⊥ x$轴，垂足为G，同理可得$∠ CBG=180°-∠ CBA=60°$，$BC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中：
$BG=BC·\cos60°=2×\dfrac{1}{2}=1$，
$CG=BC·\sin60°=2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即点C的纵坐标为$\sqrt{3}$。
点C横坐标的绝对值为$OA+AB+BG=1+2+1=4$，因为点C在第二象限，横坐标为负，因此点C的坐标为$(-4,\sqrt{3})$。
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何图形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的核心是利用正六边形的内角特征构造特殊直角三角形，结合特殊角的三角函数值或直角三角形性质求出对应线段长度，进而确定点的坐标。
【难度系数】
0.7
5. 一个正多边形的中心角为$40°$，则这个正多边形的边数是
9
.答案
5. 9
解析
【分析】
解决本题的核心是利用正多边形中心角的基本性质：任意正多边形的所有中心角之和为周角360°，且正多边形的每个中心角大小相等，因此正多边形的边数等于360°除以单个中心角的度数，按照这个逻辑推导即可得到结果。
【解析】
设该正多边形的边数为$n$，根据正多边形中心角的计算公式：
每个中心角的度数$=\frac{360°}{n}$
已知中心角为$40°$，代入公式可得：
$n=\frac{360°}{40°}=9$
【答案】
9
【知识点】
正多边形的性质、中心角计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形中心角和边数的对应关系，牢记正多边形中心角总和为360°的性质即可快速求解，是正多边形模块的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是利用正多边形中心角的基本性质：任意正多边形的所有中心角之和为周角360°，且正多边形的每个中心角大小相等，因此正多边形的边数等于360°除以单个中心角的度数，按照这个逻辑推导即可得到结果。
【解析】
设该正多边形的边数为$n$，根据正多边形中心角的计算公式：
每个中心角的度数$=\frac{360°}{n}$
已知中心角为$40°$，代入公式可得：
$n=\frac{360°}{40°}=9$
【答案】
9
【知识点】
正多边形的性质、中心角计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形中心角和边数的对应关系，牢记正多边形中心角总和为360°的性质即可快速求解，是正多边形模块的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
6. 已知正六边形的边心距为$\sqrt{6}$，则它的半径为
$2\sqrt{2}$
。答案
6. $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解决本题首先要掌握正多边形的相关性质，正多边形的计算通常可转化为直角三角形的计算：正六边形的中心角为360°÷6=60°，其两条半径与对应边长可构成等边三角形，边心距是中心到边的垂线段，可与半径、边长的一半组成直角三角形。我们可以设半径为R，结合已知边心距的条件，利用勾股定理建立等式，即可求出半径的值。
【解析】
设正六边形的半径为R，
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的一条边与两条半径围成的三角形是等边三角形，边长为R，
∴边长的一半为$\frac{R}{2}$，
∵边心距、半径、边长的一半构成直角三角形，边心距为$\sqrt{6}$，
∴根据勾股定理可得：$(\frac{R}{2})^2 + (\sqrt{6})^2 = R^2$，
整理得：$\frac{R^2}{4} + 6 = R^2$，
移项合并得：$\frac{3R^2}{4}=6$，
解得：$R^2=8$，
∵半径为正数，
∴$R=2\sqrt{2}$（舍去负根$-2\sqrt{2}$）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质、勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是将正多边形的计算转化为直角三角形的计算，熟练掌握正六边形的特殊性质（半径等于边长，中心角为60°）能进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要掌握正多边形的相关性质，正多边形的计算通常可转化为直角三角形的计算：正六边形的中心角为360°÷6=60°，其两条半径与对应边长可构成等边三角形，边心距是中心到边的垂线段，可与半径、边长的一半组成直角三角形。我们可以设半径为R，结合已知边心距的条件，利用勾股定理建立等式，即可求出半径的值。
【解析】
设正六边形的半径为R，
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的一条边与两条半径围成的三角形是等边三角形，边长为R，
∴边长的一半为$\frac{R}{2}$，
∵边心距、半径、边长的一半构成直角三角形，边心距为$\sqrt{6}$，
∴根据勾股定理可得：$(\frac{R}{2})^2 + (\sqrt{6})^2 = R^2$，
整理得：$\frac{R^2}{4} + 6 = R^2$，
移项合并得：$\frac{3R^2}{4}=6$，
解得：$R^2=8$，
∵半径为正数，
∴$R=2\sqrt{2}$（舍去负根$-2\sqrt{2}$）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质、勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是将正多边形的计算转化为直角三角形的计算，熟练掌握正六边形的特殊性质（半径等于边长，中心角为60°）能进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接OC，OE，CE，则∠OCE的度数为
$18°$
。答案
7. $18°$
解析
【分析】
要计算∠OCE的度数，可按以下思路推导：第一步，先利用正n边形中心角公式求出正五边形的单个中心角，再确定∠COE的度数；第二步，由正五边形中心到顶点的距离相等，判断△OCE为等腰三角形；第三步，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理，计算∠OCE的度数即可。
【解析】
正n边形的每个中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正五边形的单个中心角为$\frac{360°}{5}=72°$。
观察正五边形顶点顺序，C到E之间间隔边CD、DE，对应2个中心角，因此$∠ COE=2×72°=144°$。
因为O是正五边形的中心，OC、OE都是正五边形的外接圆半径，所以$OC=OE$，即$△ OCE$是等腰三角形，$∠ OCE=∠ OEC$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OCE=\frac{180°-∠ COE}{2}=\frac{180°-144°}{2}=18°$
【答案】
$18°$
【知识点】
正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是准确求出中心角∠COE的度数，再结合等腰三角形的性质求解，掌握正多边形和圆的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算∠OCE的度数，可按以下思路推导：第一步，先利用正n边形中心角公式求出正五边形的单个中心角，再确定∠COE的度数；第二步，由正五边形中心到顶点的距离相等，判断△OCE为等腰三角形；第三步，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理，计算∠OCE的度数即可。
【解析】
正n边形的每个中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正五边形的单个中心角为$\frac{360°}{5}=72°$。
观察正五边形顶点顺序，C到E之间间隔边CD、DE，对应2个中心角，因此$∠ COE=2×72°=144°$。
因为O是正五边形的中心，OC、OE都是正五边形的外接圆半径，所以$OC=OE$，即$△ OCE$是等腰三角形，$∠ OCE=∠ OEC$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OCE=\frac{180°-∠ COE}{2}=\frac{180°-144°}{2}=18°$
【答案】
$18°$
【知识点】
正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是准确求出中心角∠COE的度数，再结合等腰三角形的性质求解，掌握正多边形和圆的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 用尺规作图作出$\odot O$的内接正方形和正八边形（保留作图痕迹，不要求写作法）.
答案
解：
左侧⊙O作内接正方形：
1. 过圆心O作任意一条直径，交⊙O于两点；
2. 用尺规作该直径的垂直平分线，交⊙O于另外两点，保留作垂直平分线的相交圆弧痕迹；
3. 顺次连接圆周上的四个交点，所得四边形即为⊙O的内接正方形。
右侧⊙O作内接正八边形：
1. 先按上述作内接正方形的方法，作两条互相垂直的直径将圆周四等分，得到4个圆周交点；
2. 用尺规分别作出四段90°弧的中点，保留作各弧中点的相交圆弧痕迹，共得到圆周上8个等分点；
3. 顺次连接这8个等分点，所得八边形即为⊙O的内接正八边形。
（最终作图保留所有尺规操作的圆弧痕迹，符合要求即可）
左侧⊙O作内接正方形：
1. 过圆心O作任意一条直径，交⊙O于两点；
2. 用尺规作该直径的垂直平分线，交⊙O于另外两点，保留作垂直平分线的相交圆弧痕迹；
3. 顺次连接圆周上的四个交点，所得四边形即为⊙O的内接正方形。
右侧⊙O作内接正八边形：
1. 先按上述作内接正方形的方法，作两条互相垂直的直径将圆周四等分，得到4个圆周交点；
2. 用尺规分别作出四段90°弧的中点，保留作各弧中点的相交圆弧痕迹，共得到圆周上8个等分点；
3. 顺次连接这8个等分点，所得八边形即为⊙O的内接正八边形。
（最终作图保留所有尺规操作的圆弧痕迹，符合要求即可）
解析
【分析】
作圆的内接正多边形的核心思路是等分圆周，正n边形就需要把圆分成n等份，顺次连接各等分点即可得到对应正多边形。①作内接正方形时，正方形的中心角为90°，只要过圆心作出两条互相垂直的直径，就能得到4个圆周等分点；②作内接正八边形时，正八边形中心角为45°，可先将圆周四等分，再平分每段90°的弧得到8个等分点即可，作图全程要保留尺规操作的所有痕迹。
【解析】
左侧$\odot O$作内接正方形：
1. 过圆心O作任意一条直径，交$\odot O$于两点；
2. 用尺规作该直径的垂直平分线，交$\odot O$于另外两点，保留作垂直平分线的相交圆弧痕迹；
3. 顺次连接圆周上的四个交点，所得四边形即为$\odot O$的内接正方形。
右侧$\odot O$作内接正八边形：
1. 先按上述作内接正方形的方法，作两条互相垂直的直径将圆周四等分，得到4个圆周交点；
2. 用尺规分别作出四段90°弧的中点，保留作各弧中点的相交圆弧痕迹，共得到圆周上8个等分点；
3. 顺次连接这8个等分点，所得八边形即为$\odot O$的内接正八边形。
（最终作图保留所有尺规操作的圆弧痕迹，符合要求即可）
【答案】
解：
左侧$\odot O$作内接正方形：
1. 过圆心O作任意一条直径，交$\odot O$于两点；
2. 用尺规作该直径的垂直平分线，交$\odot O$于另外两点，保留作垂直平分线的相交圆弧痕迹；
3. 顺次连接圆周上的四个交点，所得四边形即为$\odot O$的内接正方形。
右侧$\odot O$作内接正八边形：
1. 先按上述作内接正方形的方法，作两条互相垂直的直径将圆周四等分，得到4个圆周交点；
2. 用尺规分别作出四段90°弧的中点，保留作各弧中点的相交圆弧痕迹，共得到圆周上8个等分点；
3. 顺次连接这8个等分点，所得八边形即为$\odot O$的内接正八边形。
（最终作图保留所有尺规操作的圆弧痕迹，符合要求即可）
【知识点】
1. 尺规作图
2. 圆内接正多边形
3. 垂直平分线作图
【点评】
本题是基础作图题，考查圆内接正多边形的作图方法，解题关键是理解正多边形和圆的对应关系，通过等分圆周得到正多边形的顶点，作图时需注意保留全部尺规操作的痕迹，不要遗漏作图步骤对应的圆弧痕迹。
【难度系数】
0.8
作圆的内接正多边形的核心思路是等分圆周，正n边形就需要把圆分成n等份，顺次连接各等分点即可得到对应正多边形。①作内接正方形时，正方形的中心角为90°，只要过圆心作出两条互相垂直的直径，就能得到4个圆周等分点；②作内接正八边形时，正八边形中心角为45°，可先将圆周四等分，再平分每段90°的弧得到8个等分点即可，作图全程要保留尺规操作的所有痕迹。
【解析】
左侧$\odot O$作内接正方形：
1. 过圆心O作任意一条直径，交$\odot O$于两点；
2. 用尺规作该直径的垂直平分线，交$\odot O$于另外两点，保留作垂直平分线的相交圆弧痕迹；
3. 顺次连接圆周上的四个交点，所得四边形即为$\odot O$的内接正方形。
右侧$\odot O$作内接正八边形：
1. 先按上述作内接正方形的方法，作两条互相垂直的直径将圆周四等分，得到4个圆周交点；
2. 用尺规分别作出四段90°弧的中点，保留作各弧中点的相交圆弧痕迹，共得到圆周上8个等分点；
3. 顺次连接这8个等分点，所得八边形即为$\odot O$的内接正八边形。
（最终作图保留所有尺规操作的圆弧痕迹，符合要求即可）
【答案】
解：
左侧$\odot O$作内接正方形：
1. 过圆心O作任意一条直径，交$\odot O$于两点；
2. 用尺规作该直径的垂直平分线，交$\odot O$于另外两点，保留作垂直平分线的相交圆弧痕迹；
3. 顺次连接圆周上的四个交点，所得四边形即为$\odot O$的内接正方形。
右侧$\odot O$作内接正八边形：
1. 先按上述作内接正方形的方法，作两条互相垂直的直径将圆周四等分，得到4个圆周交点；
2. 用尺规分别作出四段90°弧的中点，保留作各弧中点的相交圆弧痕迹，共得到圆周上8个等分点；
3. 顺次连接这8个等分点，所得八边形即为$\odot O$的内接正八边形。
（最终作图保留所有尺规操作的圆弧痕迹，符合要求即可）
【知识点】
1. 尺规作图
2. 圆内接正多边形
3. 垂直平分线作图
【点评】
本题是基础作图题，考查圆内接正多边形的作图方法，解题关键是理解正多边形和圆的对应关系，通过等分圆周得到正多边形的顶点，作图时需注意保留全部尺规操作的痕迹，不要遗漏作图步骤对应的圆弧痕迹。
【难度系数】
0.8
