在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，以点$C$为圆心、$r$为半径作$\odot C$。若$\odot C$与边$AB$只有一个交点，则$r$的取值范围是。
解析 如图，作$CD⊥ AB$于点$D$。

因为$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
所以$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
所以$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12}{5}$，
即圆心$C$到$AB$的距离$d=\frac{12}{5}$。
所以以点$C$为圆心、$r$为半径作圆，
当$r=\frac{12}{5}$时，圆与边$AB$相切，此时$\odot C$与边$AB$只有一个交点；
当$3＜r≤4$时，圆与边$AB$只有一个交点。
综上，若$\odot C$与边$AB$只有一个交点，则$r$的取值范围是$3＜r≤4$或$r=\frac{12}{5}$。
答案 $3＜r≤4$或$r=\frac{12}{5}$

$3＜r≤4$或$r=\frac{12}{5}$

【分析】
要解决本题，首先需明确$\odot C$与边$AB$只有一个交点包含两种情形：一是圆与线段$AB$相切，此时仅切点一个公共点；二是圆与直线$AB$相交，但只有一个交点落在线段$AB$上，另一个交点在$AB$的延长线上。解题时先利用勾股定理求出斜边$AB$的长度，再用面积法求出圆心$C$到$AB$的距离（即斜边上的高），对应相切时的半径；接着分析半径变化时交点在线段$AB$上的分布情况，得到第二种情形下$r$的取值范围，最后合并两种情况的结果即可。
【解析】
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值计算得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，即圆心$C$到直线$AB$的距离为$\frac{12}{5}$。
分两种情况讨论：
1. 当$\odot C$与$AB$相切时，圆与线段$AB$只有一个公共点，此时半径$r=CD=\frac{12}{5}$；
2. 当$\odot C$与直线$AB$相交，且仅一个交点在线段$AB$上时：
若$r=3$，$\odot C$过点$A$，此时圆与线段$AB$交于点$A$和另一个点，共2个交点，不符合要求；
若$3＜r≤4$，$\odot C$与线段$AB$仅交于靠近点$B$的1个点，符合要求。
综上，$r$的取值范围是$3＜r≤4$或$r=\frac{12}{5}$。
【答案】
$3＜r≤4$或$r=\frac{12}{5}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题易错点是忽略“圆与直线相交但仅一个交点在线段$AB$上”的情况，仅考虑相切的情形。解题时要注意区分“圆与直线只有一个交点”和“圆与线段只有一个交点”的差异，需运用分类讨论思想避免漏解。
【难度系数】
0.6