1.（4分）多项式$x^2y^3 + 2xyz$中各项的公因式是（）

A.$xy$
B.$xy^2$
C.$xyz$
D.$2xy^2$

1. A

【分析】
要确定多项式各项的公因式，需按照公因式的确定步骤逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后将三者相乘即为公因式。我们结合题目给出的多项式的两项一步步分析，即可得到答案。
【解析】
找公因式的步骤如下：
1. 确定系数的最大公约数：多项式两项的系数分别是1和2，二者的最大公约数是1；
2. 找各项共有的相同字母：第一项$x^2y^3$含有的字母是x、y，第二项$2xyz$含有的字母是x、y、z，两项都含有的字母是x、y；
3. 取相同字母的最低次幂：x在两项中的次数分别为2和1，最低次是1次；y在两项中的次数分别为3和1，最低次是1次。
综上，公因式为$1× x^1× y^1=xy$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定,提公因式法分解因式
【点评】
本题考查公因式的确定，是因式分解的基础题型，牢记找公因式的三个步骤就能轻松解决此类问题。
【难度系数】
0.9

2.(4分)将多项式$3a - 6a^2b$进行因式分解，得到的结果为（）

A.$3a(1+2ab)$
B.$3a(1+ab)$
C.$3a(1-ab)$
D.$3a(1-2ab)$

2. D

【分析】
本题考查用提公因式法进行因式分解，解题思路分为两步：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式的确定方法为：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者相乘就是公因式；第二步提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，将所得的结果作为另一个因式，和公因式相乘就是分解后的结果，最后匹配选项即可。
【解析】
解：对多项式$3a - 6a^2b$进行因式分解：
1. 确定公因式：
系数部分：3和-6的最大公约数是3；
字母部分：两项都含有字母$a$，且$a$的最低次数是1，因此公因式为$3a$。
2. 提取公因式：
用多项式的每一项除以公因式$3a$，分别得：
$3a÷3a=1$，$-6a^2b÷3a=-2ab$
因此原式分解为：$3a - 6a^2b=3a(1 - 2ab)$。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确找到公因式，提取公因式时要注意不要弄错剩余项的符号，也不要出现漏项的问题。
【难度系数】
0.9

3.(4分)下列因式分解正确的是（）

A.$2m^2 -6m = m(2m -6)$
B.$2π R -2π r = 2π(R -2π r)$
C.$a^2 -ab +a = a(a -b)$
D.$5x^4 +25x^2 =5x^2(x^2 +5)$

3. D

【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题时需先明确提公因式的步骤：第一步确定公因式，取各项系数的最大公约数、相同字母的最低次幂组合为公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余多项式的形式；第三步检查剩余多项式是否还能继续分解、是否有漏项，保证分解彻底。我们只需按照以上步骤逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$2m^2 -6m$的公因式为$2m$，正确分解应为$2m(m-3)$，选项中分解后$2m-6$仍可提取公因式2，分解不彻底，故A错误；
选项B：$2π R -2π r$的公因式为$2π$，提取公因式后应为$2π(R - r)$，选项中第二项提取公因式后计算错误，故B错误；
选项C：$a^2 -ab +a$的公因式为$a$，提取公因式后第三项剩余1，正确分解应为$a(a - b +1)$，选项中漏写了常数项1，故C错误；
选项D：$5x^4 +25x^2$的公因式为$5x^2$，提取公因式后得$5x^2(x^2 +5)$，分解正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，公因式确定，因式分解要求
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的规范应用，易错点为确定公因式不完整、提取公因式时漏项、分解不彻底，掌握提公因式的基本步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.(4分)把$-9x^3+6x^2-3x$分解因式时,提出公因式$-3x$后,得到的因式是（）

A.$3x^2 - 2x$
B.$3x^2 - 2x -1$
C.$-9x^2 +6x$
D.$3x^2 -2x +1$

4. D

【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先明确需要提取的公因式为$-3x$，提公因式的本质是将多项式的每一项都除以公因式，把所得的商相加，就能得到提公因式后剩下的另一个因式。计算时需注意公因式带负号，每一项除以公因式时要正确处理符号，同时不要漏算最后一项的商。
【解析】
对多项式$-9x^3+6x^2-3x$提取公因式$-3x$，分别计算每一项除以$-3x$的结果：
1. 第一项：$-9x^3 ÷ (-3x) = 3x^2$
2. 第二项：$6x^2 ÷ (-3x) = -2x$
3. 第三项：$-3x ÷ (-3x) = 1$
将所得的商相加，得到提公因式后的另一个因式为$3x^2 - 2x + 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，单项式除以单项式
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，易错点为提取负公因式时未改变各项符号，或是漏算最后一项除以公因式得到的1，计算时注意核对符号、不要漏项即可正确解答。
【难度系数】
0.8

5.(4分)把多项式$m(a-2)+(a-2)$分解因式，结果为（）

A.$m(a-2)$
B.$(a-2)(m+1)$
C.$m(a+2)$
D.$(m-1)(a-2)$

5. B

【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步先确定多项式的公因式，观察多项式的两项可知，两项都含有公因式$(a-2)$；第二步提取公因式，注意单独成项的$(a-2)$可以看作$1×(a-2)$，提取公因式后剩余的部分要保留系数1，再将剩余部分相加作为另一个因式即可得到结果。
【解析】
观察多项式$m(a-2)+(a-2)$，可确定公因式为$(a-2)$。
将原式变形为$m(a-2)+1×(a-2)$，提取公因式$(a-2)$后，剩余部分为$m$和$1$，因此分解结果为：
$m(a-2)+(a-2)=(a-2)(m+1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点为提取公因式时漏掉原式中单独项对应的系数1，做题时可通过“提取公因式后剩余项的个数与原多项式项数一致”的规律检查是否漏项。
【难度系数】
0.8

6.(4分)把多项式$a^3b^4 - ab^n c$分解因式时，提取的公因式是$ab^4$，则$n$的值可能是（）

A.5
B.3
C.2
D.1

6. A

【分析】
要解决这道题，首先要明确提公因式法分解因式时，公因式中相同字母的指数确定规则：公因式里每个相同字母的指数，取的是多项式各项中该字母指数的最小值。已知本题提取的公因式是$ab^4$，说明两项中b的指数的最小值是4，第一项$a^3b^4$中b的指数是4，那么第二项$ab^n c$中b的指数$n$必须大于或等于4，再对照选项选出符合条件的值即可。
【解析】
根据提公因式法中公因式的确定规则：公因式中相同字母的指数为多项式各项中该字母指数的最小值。
∵ 分解因式时提取的公因式是$ab^4$，
∴ 多项式两项中b的指数的最小值是4，
又
∵ 第一项$a^3b^4$中b的指数为4，
∴ 第二项$ab^n c$中b的指数$n≥4$，
观察各选项，只有5满足$n≥4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
这道题考查提公因式法分解因式的核心规则，解题关键是牢记公因式中相同字母的指数取各项对应指数的最小值，只要掌握该规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

7.(6分)分解因式：
(1)$2x(x+y)-6(x+y)=$；
(2)$4b(3a+1)-9a-3=$。

7. (1) 2(x+y)(x−3) (2) (3a+1)(4b−3)

【分析】
这两道题均用提公因式法分解因式，解题思路如下：(1)先观察多项式两项，系数的最大公因数是2，都含有相同的多项式因式$(x+y)$，确定公因式为$2(x+y)$，提取公因式后整理剩余项即可；(2)原式后两项没有明显公因式，先将$-9a-3$变形为$-3(3a+1)$，此时两项均含有公因式$(3a+1)$，提取公因式后整理剩余项即可得到结果，注意最后要检查分解是否彻底。
【解析】
(1) 观察多项式$2x(x+y)-6(x+y)$，公因式为$2(x+y)$，提取公因式：
$\begin{aligned}2x(x+y)-6(x+y)&=2(x+y)· x - 2(x+y)· 3\\&=2(x+y)(x-3)\end{aligned}$
(2) 先对后两项变形，将$-9a-3$提取$-3$得$-3(3a+1)$，此时多项式公因式为$(3a+1)$，提取公因式：
$\begin{aligned}4b(3a+1)-9a-3&=4b(3a+1)-3(3a+1)\\&=(3a+1)· 4b - (3a+1)· 3\\&=(3a+1)(4b-3)\end{aligned}$
【答案】
(1) $2(x+y)(x-3)$；(2) $(3a+1)(4b-3)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的识别
【点评】
本题是提公因式法分解因式的典型基础题，解题关键是准确识别公因式，当公因式不明显时可通过对部分项变形构造出公因式，分解完成后要注意检查是否还有可提取的公因式，保证分解彻底。
【难度系数】
0.85

8.(4分)多项式$(x+2)(2x-1)-2(x+2)$可以因式分解成$(x+m)(2x+n)$，则$m-n$的值是。

8. 5

【分析】
解题时首先观察多项式的结构，发现两项中都含有公因式$(x+2)$，因此优先考虑用提公因式法分解因式。先提取公因式，再对剩余部分化简，将最终分解结果与题目给出的$(x+m)(2x+n)$形式对比，确定$m$、$n$的值，最后代入计算$m-n$即可。
【解析】
首先对多项式提公因式$(x+2)$：
$\begin{aligned}&(x+2)(2x-1)-2(x+2)\\=&(x+2)[(2x-1)-2]\\=&(x+2)(2x-1-2)\\=&(x+2)(2x-3)\end{aligned}$
已知该多项式因式分解结果为$(x+m)(2x+n)$，对比可得：$m=2$，$n=-3$。
因此$m-n=2-(-3)=5$。
【答案】
5
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题的核心是准确识别出多项式的公因式，提取后化简再对应系数求解，属于基础题型，熟练掌握提公因式的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

9.(16分)分解因式：
(1)$3a(x^2 - y) - 3b(y - x^2)$；
(2)$(m - n)^2 - 2m(m - n)$；
(3)$-3ma^3 + 6ma^2 - 12ma$；
(4)$x(x^2 - xy) - (4x^2 - 4xy)$。

解:(1)原式=$3a(x^2 - y) + 3b(x^2 - y) = 3(x^2 - y)(a + b)$。(2)原式=$(m - n)(m - n - 2m) = (m - n)(-m - n)$。(3)原式=$-3ma · a^2 + 3ma · 2a - 3ma · 4 = -3ma(a^2 - 2a + 4)$。(4)原式=$x^2(x - y) - 4x(x - y) = x(x - y)(x - 4)$。

【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题通用思路为：①先观察式子结构，将互为相反数的因式变形为相同因式，确定公因式（若首项系数为负，通常先提取负号）；②提取公因式，将原式写成公因式乘剩余整式的形式；③合并剩余整式中的同类项，检查是否分解彻底。
具体各小题思路：(1)中$y-x^2=-(x^2-y)$，变形后公因式为$3(x^2-y)$，提取后合并同类项即可；(2)中公因式为$(m-n)$，直接提取后合并剩余项的同类项；(3)首项为负，公因式为$-3ma$，提取后整理剩余项即可；(4)先分别对两个括号内的式子提取公因式，得到相同因式$(x-y)$，再提取整体公因式$x(x-y)$，合并剩余项即可。
【解析】
(1) 先将$y-x^2$变形为$-(x^2-y)$，再提取公因式：
原式$=3a(x^2 - y) + 3b(x^2 - y) = 3(x^2 - y)(a + b)$
(2) 直接提取公因式$(m-n)$，再合并剩余同类项：
原式$=(m - n)(m - n - 2m) = (m - n)(-m - n)$
(3) 先确定公因式为$-3ma$，提取后整理剩余项：
原式$=-3ma · a^2 + 3ma · 2a - 3ma · 4 = -3ma(a^2 - 2a + 4)$
(4) 先分别对两部分提公因式变形，再提取整体公因式：
原式$=x^2(x - y) - 4x(x - y) = x(x - y)(x - 4)$
【答案】
(1)$3(x^2 - y)(a + b)$；(2)$(m - n)(-m - n)$；(3)$-3ma(a^2 - 2a + 4)$；(4)$x(x - y)(x - 4)$
【知识点】
提公因式法，公因式确定，因式分解
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规题型，解题关键是准确识别公因式，注意互为相反数的因式的符号转换，提取公因式后要化简剩余整式，保证分解结果符合要求。
【难度系数】
0.8

10. (10分) 渗透整体思想 (教材 P126 练习 T2 变式)先分解因式,再求值:$a^2 - ac - b(a - c)$,其中$a - b = 5$, $b - c = -6$.

解:$a^2 - ac - b(a - c) = a(a - c) - b(a - c) = (a - c)(a - b)$。$\because a - b = 5, b - c = -6, \therefore a - c = -1$。$\therefore$ 原式$= (-1)×5 = -5$。

【分析】
解题时先观察待化简式子的结构：第一步先对前两项$a^2 - ac$提取公因式$a$，得到$a(a - c)$，此时原式转化为$a(a - c) - b(a - c)$，可发现两项含有公共因式$(a - c)$，再次提取公因式即可完成因式分解。接下来结合已知条件求值，分解后的式子含有$a - b$和$a - c$两个因式，其中$a - b$已知，只需将给出的两个等式$a - b = 5$和$b - c = -6$左右分别相加，即可求出$a - c$的值，最后整体代入计算即可，无需单独求解$a、b、c$的具体数值。
【解析】
解：先对原式分解因式：
$\begin{aligned}a^2 - ac - b(a - c) &= a(a - c) - b(a - c) \\&= (a - c)(a - b)\end{aligned}$
已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，将两式相加可得：
$a - b + b - c = 5 + (-6)$，即$a - c = -1$
将$a - b = 5$，$a - c = -1$代入分解后的式子得：
原式$= (-1) × 5 = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值，整式的加减运算
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，通过先分解因式再整体代入的方式简化了计算过程，无需单独求解每个未知数的值，体现了整体思想在代数式求值中的便捷性，解题时要注意观察式子结构，准确提取公因式。
【难度系数】
0.7