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1. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（
A.$a^2 + 4a - 21 = a(a + 4) - 21$
B.$a^2 + 4a - 21 = (a - 3)(a + 7)$
C.$(a - 3)(a + 7) = a^2 + 4a - 21$
D.$a^2 + 4a - 21 = (a + 2)^2 - 25$
B
）A.$a^2 + 4a - 21 = a(a + 4) - 21$
B.$a^2 + 4a - 21 = (a - 3)(a + 7)$
C.$(a - 3)(a + 7) = a^2 + 4a - 21$
D.$a^2 + 4a - 21 = (a + 2)^2 - 25$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断式子的变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判断标准：一是变形的对象为多项式，二是变形的最终结果必须是几个整式的乘积的形式，且变形前后恒等。解题时逐一将选项对应上述标准排查即可。
【解析】
因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，该变形叫做因式分解。
对各选项逐一判断：
A选项：右边为$a(a+4)-21$，是整式乘积与常数的差的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解定义，错误；
B选项：右边$(a-3)(a+7)$是两个整式的乘积，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，正确；
C选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不符合要求，错误；
D选项：右边为$(a+2)^2-25$，是整式的平方与常数的差的形式，不是几个整式的乘积，不符合定义，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确掌握因式分解的特征，注意区分因式分解和整式乘法，只要牢记因式分解的结果必须是整式乘积的形式，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.85
要判断式子的变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判断标准：一是变形的对象为多项式，二是变形的最终结果必须是几个整式的乘积的形式，且变形前后恒等。解题时逐一将选项对应上述标准排查即可。
【解析】
因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，该变形叫做因式分解。
对各选项逐一判断：
A选项：右边为$a(a+4)-21$，是整式乘积与常数的差的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解定义，错误；
B选项：右边$(a-3)(a+7)$是两个整式的乘积，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，正确；
C选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不符合要求，错误；
D选项：右边为$(a+2)^2-25$，是整式的平方与常数的差的形式，不是几个整式的乘积，不符合定义，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确掌握因式分解的特征，注意区分因式分解和整式乘法，只要牢记因式分解的结果必须是整式乘积的形式，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.85
2.多项式$2x^2 -4xy +2x$提取公因式后，其余部分为（
A.$x-2y$
B.$x-4y+1$
C.$x-2y+1$
D.$x-2y-1$
C
）A.$x-2y$
B.$x-4y+1$
C.$x-2y+1$
D.$x-2y-1$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆提取公因式法分解因式的步骤：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步用多项式的每一项分别除以公因式，所得的商相加就是提取公因式后剩余的部分。找公因式的方法为：先求各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式，之后计算每一项除以公因式的结果即可。
【解析】
第一步：确定公因式
多项式$2x^2 -4xy +2x$的各项系数分别为2、-4、2，最大公约数是2；各项都含有的相同字母是$x$，$x$的最低次数是1，因此公因式为$2x$。
第二步：计算提取公因式后的剩余部分
将多项式的每一项分别除以公因式$2x$：
$2x^2 ÷ 2x = x$，
$-4xy ÷ 2x = -2y$，
$2x ÷ 2x = 1$，
因此提取公因式后原式可写为$2x(x - 2y + 1)$，剩余部分为$x - 2y + 1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 提取公因式法
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确确定公因式，易错点是容易遗漏最后一项除以公因式得到的常数项1，掌握提取公因式的基本规则即可正确解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆提取公因式法分解因式的步骤：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步用多项式的每一项分别除以公因式，所得的商相加就是提取公因式后剩余的部分。找公因式的方法为：先求各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式，之后计算每一项除以公因式的结果即可。
【解析】
第一步：确定公因式
多项式$2x^2 -4xy +2x$的各项系数分别为2、-4、2，最大公约数是2；各项都含有的相同字母是$x$，$x$的最低次数是1，因此公因式为$2x$。
第二步：计算提取公因式后的剩余部分
将多项式的每一项分别除以公因式$2x$：
$2x^2 ÷ 2x = x$，
$-4xy ÷ 2x = -2y$，
$2x ÷ 2x = 1$，
因此提取公因式后原式可写为$2x(x - 2y + 1)$，剩余部分为$x - 2y + 1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 提取公因式法
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确确定公因式，易错点是容易遗漏最后一项除以公因式得到的常数项1，掌握提取公因式的基本规则即可正确解答。
【难度系数】
0.7
3.若$x^2 - mx + 16$能用完全平方公式进行因式分解，则$m$的值为（
A.$-4$
B.$8$
C.$-4$或$4$
D.$-8$或$8$
D
）A.$-4$
B.$8$
C.$-4$或$4$
D.$-8$或$8$
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，能用完全平方公式因式分解的多项式，必须满足“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”的结构。本题中给出的多项式$x^2 - mx + 16$已经有首项$x^2$（对应公式里的$a^2$，即$a=x$）和尾项16（对应公式里的$b^2$，可得$b=\pm4$），接下来只需要根据中间项的两种可能情况（加两倍首尾、减两倍首尾）列等式求$m$即可，注意不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
对于多项式$x^2 - mx + 16$：
首项为$x^2$，对应公式中的$a^2$，即$a=x$；
常数项为$16=(\pm4)^2$，对应公式中的$b^2$，即$b=\pm4$；
因此中间项$-mx$对应公式中的$\pm2ab$，代入$a=x$、$b=\pm4$得：
$-mx=\pm2× x×4=\pm8x$
等式两边同时约去不为0的$x$，得：
$-m=\pm8$
解得$m=8$或$m=-8$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题属于因式分解模块的基础易错题，核心考查对完全平方公式结构特征的理解，易错点是仅考虑完全平方差的情况，忽略完全平方和的情况导致漏解，解题时要注意完全平方公式包含和、差两种形式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，能用完全平方公式因式分解的多项式，必须满足“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”的结构。本题中给出的多项式$x^2 - mx + 16$已经有首项$x^2$（对应公式里的$a^2$，即$a=x$）和尾项16（对应公式里的$b^2$，可得$b=\pm4$），接下来只需要根据中间项的两种可能情况（加两倍首尾、减两倍首尾）列等式求$m$即可，注意不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
对于多项式$x^2 - mx + 16$：
首项为$x^2$，对应公式中的$a^2$，即$a=x$；
常数项为$16=(\pm4)^2$，对应公式中的$b^2$，即$b=\pm4$；
因此中间项$-mx$对应公式中的$\pm2ab$，代入$a=x$、$b=\pm4$得：
$-mx=\pm2× x×4=\pm8x$
等式两边同时约去不为0的$x$，得：
$-m=\pm8$
解得$m=8$或$m=-8$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题属于因式分解模块的基础易错题，核心考查对完全平方公式结构特征的理解，易错点是仅考虑完全平方差的情况，忽略完全平方和的情况导致漏解，解题时要注意完全平方公式包含和、差两种形式。
【难度系数】
0.7
4.将下列多项式分解因式，结果中不含有因式$a+1$的是（
A.$a^2 - 1$
B.$a^2 + a$
C.$a^2 - 2a + 1$
D.$(a+2)^2 - 2(a+2) + 1$
C
）A.$a^2 - 1$
B.$a^2 + a$
C.$a^2 - 2a + 1$
D.$(a+2)^2 - 2(a+2) + 1$
答案
4. C
解析
【分析】
要判断哪个选项分解因式后不含因式$a+1$，解题思路为：逐一对每个选项的多项式进行因式分解，再观察分解结果中是否包含因式$a+1$，即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项分别分解因式：
A选项：$a^2 -1$符合平方差公式特征，分解得：$a^2 -1=(a+1)(a-1)$，含因式$a+1$，不符合题意；
B选项：$a^2+a$提取公因式$a$得：$a^2+a=a(a+1)$，含因式$a+1$，不符合题意；
C选项：$a^2-2a+1$符合完全平方公式特征，分解得：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，不含因式$a+1$，符合题意；
D选项：将$a+2$看作整体，多项式符合完全平方公式特征，分解得：$(a+2)^2-2(a+2)+1=[(a+2)-1]^2=(a+1)^2$，含因式$a+1$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时需熟练掌握提公因式法和公式法的适用特征，处理类似D选项的结构时运用整体思想可简化运算。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项分解因式后不含因式$a+1$，解题思路为：逐一对每个选项的多项式进行因式分解，再观察分解结果中是否包含因式$a+1$，即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项分别分解因式：
A选项：$a^2 -1$符合平方差公式特征，分解得：$a^2 -1=(a+1)(a-1)$，含因式$a+1$，不符合题意；
B选项：$a^2+a$提取公因式$a$得：$a^2+a=a(a+1)$，含因式$a+1$，不符合题意；
C选项：$a^2-2a+1$符合完全平方公式特征，分解得：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，不含因式$a+1$，符合题意；
D选项：将$a+2$看作整体，多项式符合完全平方公式特征，分解得：$(a+2)^2-2(a+2)+1=[(a+2)-1]^2=(a+1)^2$，含因式$a+1$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时需熟练掌握提公因式法和公式法的适用特征，处理类似D选项的结构时运用整体思想可简化运算。
【难度系数】
0.8
5.已知$a+b=-3$，$ab=7$，则多项式$a^2b + ab^2 - a - b$的值为（
A.24
B.18
C.$-24$
D.$-18$
D
）A.24
B.18
C.$-24$
D.$-18$
答案
5. D
解析
【分析】
观察所求多项式的结构，无法直接代入$a+b$和$ab$的值计算，因此考虑先对多项式因式分解，将其转化为含$a+b$、$ab$的形式，再整体代入已知数值求解即可。解题时可以先把多项式前两项、后两项分别分组，每组提取公因式后，会出现公因式$(a+b)$，再次提取公因式即可完成变形。
【解析】
对多项式$a^2b + ab^2 - a - b$因式分解：
第一步：分组提取公因式，得
$\begin{aligned}原式&=(a^2b + ab^2)+(-a - b)\\&=ab(a + b) - (a + b)\end{aligned}$
第二步：提取公因式$(a+b)$，得
$原式=(a + b)(ab - 1)$
第三步：代入$a+b=-3$，$ab=7$计算：
$\begin{aligned}原式&=(-3)×(7 - 1)\\&=(-3)×6\\&=-18\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过分组提公因式将原式转化为含有已知条件的代数式，利用整体代入的方法计算，无需单独求解a、b的取值，大幅简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
观察所求多项式的结构，无法直接代入$a+b$和$ab$的值计算，因此考虑先对多项式因式分解，将其转化为含$a+b$、$ab$的形式，再整体代入已知数值求解即可。解题时可以先把多项式前两项、后两项分别分组，每组提取公因式后，会出现公因式$(a+b)$，再次提取公因式即可完成变形。
【解析】
对多项式$a^2b + ab^2 - a - b$因式分解：
第一步：分组提取公因式，得
$\begin{aligned}原式&=(a^2b + ab^2)+(-a - b)\\&=ab(a + b) - (a + b)\end{aligned}$
第二步：提取公因式$(a+b)$，得
$原式=(a + b)(ab - 1)$
第三步：代入$a+b=-3$，$ab=7$计算：
$\begin{aligned}原式&=(-3)×(7 - 1)\\&=(-3)×6\\&=-18\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过分组提公因式将原式转化为含有已知条件的代数式，利用整体代入的方法计算，无需单独求解a、b的取值，大幅简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
6. 分解因式 $x^2+mx+n$ 时，甲看错了 $m$ 的值，分解的结果为 $(x-6)(x+2)$，乙看错了 $n$ 的值，分解的结果为 $(x+8)(x-4)$，则 $m,n$ 的值分别为 （
A.$4,12$
B.$-4,12$
C.$4,-12$
D.$-4,-12$
C
）A.$4,12$
B.$-4,12$
C.$4,-12$
D.$-4,-12$
答案
6. C
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆运算，甲仅看错$m$的值，说明他的分解结果展开后常数项$n$是正确的；乙仅看错$n$的值，说明他的分解结果展开后一次项系数$m$是正确的。我们只需分别展开两人的分解结果，对应提取正确的$n$和$m$即可解题。
【解析】
1. 计算甲的分解结果展开式：
$\begin{aligned}(x-6)(x+2)&=x^2+2x-6x-12\\&=x^2-4x-12\end{aligned}$
甲仅看错$m$，因此常数项$n$正确，可得$n=-12$。
2. 计算乙的分解结果展开式：
$\begin{aligned}(x+8)(x-4)&=x^2-4x+8x-32\\&=x^2+4x-32\end{aligned}$
乙仅看错$n$，因此一次项系数$m$正确，可得$m=4$。
综上，$m=4$，$n=-12$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式法则
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是明确看错某一系数不会影响另一系数的正确性，结合整式乘法运算即可求解，做题时需注意区分两个系数的正确来源，避免混淆。
【难度系数】
0.7
因式分解与整式乘法是互逆运算，甲仅看错$m$的值，说明他的分解结果展开后常数项$n$是正确的；乙仅看错$n$的值，说明他的分解结果展开后一次项系数$m$是正确的。我们只需分别展开两人的分解结果，对应提取正确的$n$和$m$即可解题。
【解析】
1. 计算甲的分解结果展开式：
$\begin{aligned}(x-6)(x+2)&=x^2+2x-6x-12\\&=x^2-4x-12\end{aligned}$
甲仅看错$m$，因此常数项$n$正确，可得$n=-12$。
2. 计算乙的分解结果展开式：
$\begin{aligned}(x+8)(x-4)&=x^2-4x+8x-32\\&=x^2+4x-32\end{aligned}$
乙仅看错$n$，因此一次项系数$m$正确，可得$m=4$。
综上，$m=4$，$n=-12$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式法则
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是明确看错某一系数不会影响另一系数的正确性，结合整式乘法运算即可求解，做题时需注意区分两个系数的正确来源，避免混淆。
【难度系数】
0.7
7. 多项式 $2a^2b + 3ab^2$ 的公因式是
$ab$
。答案
7. ab
解析
【分析】
找多项式的公因式可按三步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，将这三部分相乘即可得到公因式。本题给出的多项式有两项，我们依次按上述步骤分析即可。
【解析】
1. 分析系数：两项的系数分别是2和3，它们的最大公约数是1；
2. 分析相同字母：两项中都含有的字母是a和b；
3. 分析字母的次数：a在第一项的次数是2，在第二项的次数是1，最低次为1，即取a；b在第一项的次数是1，在第二项的次数是2，最低次为1，即取b；
4. 组合得到公因式：$1 × a × b = ab$。
【答案】
ab
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 因式分解基础
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的查找规则，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的方法即可快速求解，掌握该知识点是后续学习复杂因式分解方法的前提。
【难度系数】
0.9
找多项式的公因式可按三步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，将这三部分相乘即可得到公因式。本题给出的多项式有两项，我们依次按上述步骤分析即可。
【解析】
1. 分析系数：两项的系数分别是2和3，它们的最大公约数是1；
2. 分析相同字母：两项中都含有的字母是a和b；
3. 分析字母的次数：a在第一项的次数是2，在第二项的次数是1，最低次为1，即取a；b在第一项的次数是1，在第二项的次数是2，最低次为1，即取b；
4. 组合得到公因式：$1 × a × b = ab$。
【答案】
ab
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 因式分解基础
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的查找规则，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的方法即可快速求解，掌握该知识点是后续学习复杂因式分解方法的前提。
【难度系数】
0.9
8. 分解因式：$x(y-1)+4(1-y)=$
。
。
答案
8. $(y-1)(x-4)$
解析
【分析】
解题时先观察式子的两项，发现分别含有因式$(y-1)$和$(1-y)$，二者互为相反数，我们可以先将$(1-y)$变形为$-(y-1)$，让两项出现相同的公因式$(y-1)$，再提取公因式即可完成因式分解。
【解析】
解：$\begin{aligned}&x(y-1)+4(1-y)\\=&x(y-1)-4(y-1)\\=&(y-1)(x-4)\end{aligned}$
【答案】
$(y-1)(x-4)$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是观察项与项之间的联系，遇到互为相反数的因式时可通过变号统一公因式，提取公因式时注意不要写错符号。
【难度系数】
0.8
解题时先观察式子的两项，发现分别含有因式$(y-1)$和$(1-y)$，二者互为相反数，我们可以先将$(1-y)$变形为$-(y-1)$，让两项出现相同的公因式$(y-1)$，再提取公因式即可完成因式分解。
【解析】
解：$\begin{aligned}&x(y-1)+4(1-y)\\=&x(y-1)-4(y-1)\\=&(y-1)(x-4)\end{aligned}$
【答案】
$(y-1)(x-4)$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是观察项与项之间的联系，遇到互为相反数的因式时可通过变号统一公因式，提取公因式时注意不要写错符号。
【难度系数】
0.8
9.若多项式$3x^2 + mx - 2$的因式分解结果是$(3x + n)(x + 2)$，则$m + n$的值是
$4$
。答案
9. 4
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。因式分解的结果是整式乘积的形式，将乘积展开后得到的多项式与原多项式完全相等，因此对应项的系数也相等。我们可以先把右边的整式乘积展开，再和原多项式对比，分别求出m、n的值，最后计算m+n即可。
【解析】
首先将因式分解的结果$(3x + n)(x + 2)$展开：
根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(3x + n)(x + 2)&=3x· x + 3x·2 + n· x + n·2\\&=3x^2 + 6x + nx + 2n\\&=3x^2 + (6+n)x + 2n\end{aligned}$
已知展开后的多项式与原多项式$3x^2 + mx - 2$相等，因此对应项系数相等：
1. 常数项对应相等：$2n = -2$，解得$n = -1$；
2. 一次项系数对应相等：$m = 6 + n$，将$n=-1$代入得$m = 6 + (-1) = 5$。
因此$m + n = 5 + (-1) = 4$。
【答案】
4
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性，多项式乘多项式运算，多项式对应系数相等
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是理解因式分解和整式乘法的互逆关系，通过展开乘积、对比系数就能快速求出未知参数，熟练掌握整式乘法运算是解题的前提。
【难度系数】
0.8
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。因式分解的结果是整式乘积的形式，将乘积展开后得到的多项式与原多项式完全相等，因此对应项的系数也相等。我们可以先把右边的整式乘积展开，再和原多项式对比，分别求出m、n的值，最后计算m+n即可。
【解析】
首先将因式分解的结果$(3x + n)(x + 2)$展开：
根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(3x + n)(x + 2)&=3x· x + 3x·2 + n· x + n·2\\&=3x^2 + 6x + nx + 2n\\&=3x^2 + (6+n)x + 2n\end{aligned}$
已知展开后的多项式与原多项式$3x^2 + mx - 2$相等，因此对应项系数相等：
1. 常数项对应相等：$2n = -2$，解得$n = -1$；
2. 一次项系数对应相等：$m = 6 + n$，将$n=-1$代入得$m = 6 + (-1) = 5$。
因此$m + n = 5 + (-1) = 4$。
【答案】
4
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性，多项式乘多项式运算，多项式对应系数相等
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是理解因式分解和整式乘法的互逆关系，通过展开乘积、对比系数就能快速求出未知参数，熟练掌握整式乘法运算是解题的前提。
【难度系数】
0.8
10.已知$x^2 + x = 1$，则$3x^4 + 3x^3 + 3x + 1$的值为
$4$
。答案
10. 4
解析
【分析】
本题已知二次式$x^2+x$的值，要求高次多项式的值，不需要求解$x$的具体数值，可利用因式分解中的提公因式法对所求多项式逐步降次，再将已知条件整体代入计算即可。具体思考路径：首先观察所求多项式的前两项$3x^4$和$3x^3$，可提取公因式$3x^2$，得到含$x^2+x$的项，代入已知条件后就能将四次多项式降为二次多项式，再对降次后的二次多项式提取公因式3，再次代入已知条件即可算出结果。
【解析】
解：已知$x^2 + x = 1$，对所求代数式变形：
$\begin{aligned}3x^4 + 3x^3 + 3x + 1&=3x^2(x^2 + x) + 3x + 1\\&=3x^2×1 + 3x + 1\\&=3x^2 + 3x + 1\\&=3(x^2 + x) + 1\\&=3×1 + 1\\&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
提公因式法；整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值的常见题型，核心是通过提公因式将高次代数式转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想简化计算，避免了求解未知数的复杂运算，重点考查对因式分解的灵活运用和整体思想的掌握。
【难度系数】
0.7
本题已知二次式$x^2+x$的值，要求高次多项式的值，不需要求解$x$的具体数值，可利用因式分解中的提公因式法对所求多项式逐步降次，再将已知条件整体代入计算即可。具体思考路径：首先观察所求多项式的前两项$3x^4$和$3x^3$，可提取公因式$3x^2$，得到含$x^2+x$的项，代入已知条件后就能将四次多项式降为二次多项式，再对降次后的二次多项式提取公因式3，再次代入已知条件即可算出结果。
【解析】
解：已知$x^2 + x = 1$，对所求代数式变形：
$\begin{aligned}3x^4 + 3x^3 + 3x + 1&=3x^2(x^2 + x) + 3x + 1\\&=3x^2×1 + 3x + 1\\&=3x^2 + 3x + 1\\&=3(x^2 + x) + 1\\&=3×1 + 1\\&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
提公因式法；整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值的常见题型，核心是通过提公因式将高次代数式转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想简化计算，避免了求解未知数的复杂运算，重点考查对因式分解的灵活运用和整体思想的掌握。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共60分)
11.(18分)分解因式:
(1)$3x^2 -6x +12xy$;
(2)$-2x^2 +2x -\frac{1}{2}$;
(3)$(x^2 +4)^2 -16x^2$.
11.(18分)分解因式:
(1)$3x^2 -6x +12xy$;
(2)$-2x^2 +2x -\frac{1}{2}$;
(3)$(x^2 +4)^2 -16x^2$.
答案
11. 解:(1)原式$=3x(x-2+4y)$.(2)原式$=-2(x-\frac{1}{2})^2$.(3)原式$=(x^2 +4 -4x)(x^2 +4 +4x)=(x-2)^2(x+2)^2$.
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的通用步骤：第一步先提取各项的公因式，第二步根据剩余多项式的形式选择匹配的乘法公式（平方差公式或完全平方公式）继续分解，第三步检查分解结果是否为最简，保证每个因式都不能再分解为止。
(1)观察多项式各项，系数最大公因数为3，均含因式x，直接提取公因式即可完成分解；
(2)先提取公因式-2，剩余的二次三项式符合完全平方公式的结构特征，套用完全平方公式分解即可；
(3)原式符合平方差公式的结构特征，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均为完全平方式，再分别套用完全平方公式分解到最简即可。
【解析】
(1) 提取公因式$3x$：
原式$=3x· x - 3x·2 + 3x·4y = 3x(x-2+4y)$
(2) 先提取公因式$-2$，再套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
原式$=-2(x^2 - x + \frac{1}{4}) = -2(x^2 - 2· x·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = -2(x-\frac{1}{2})^2$
(3) 先套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，再分别套用完全平方公式分解：
原式$=(x^2+4)^2 - (4x)^2 = (x^2 + 4 - 4x)(x^2 + 4 + 4x) = (x^2 -4x +4)(x^2 +4x +4) = (x-2)^2(x+2)^2$
【答案】
(1)$3x(x-2+4y)$；(2)$-2(x-\frac{1}{2})^2$；(3)$(x-2)^2(x+2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格按照先提公因式、再套公式、最后检查的步骤操作，尤其要注意分解要彻底，避免出现分解到一半就停止的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的通用步骤：第一步先提取各项的公因式，第二步根据剩余多项式的形式选择匹配的乘法公式（平方差公式或完全平方公式）继续分解，第三步检查分解结果是否为最简，保证每个因式都不能再分解为止。
(1)观察多项式各项，系数最大公因数为3，均含因式x，直接提取公因式即可完成分解；
(2)先提取公因式-2，剩余的二次三项式符合完全平方公式的结构特征，套用完全平方公式分解即可；
(3)原式符合平方差公式的结构特征，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均为完全平方式，再分别套用完全平方公式分解到最简即可。
【解析】
(1) 提取公因式$3x$：
原式$=3x· x - 3x·2 + 3x·4y = 3x(x-2+4y)$
(2) 先提取公因式$-2$，再套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
原式$=-2(x^2 - x + \frac{1}{4}) = -2(x^2 - 2· x·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = -2(x-\frac{1}{2})^2$
(3) 先套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，再分别套用完全平方公式分解：
原式$=(x^2+4)^2 - (4x)^2 = (x^2 + 4 - 4x)(x^2 + 4 + 4x) = (x^2 -4x +4)(x^2 +4x +4) = (x-2)^2(x+2)^2$
【答案】
(1)$3x(x-2+4y)$；(2)$-2(x-\frac{1}{2})^2$；(3)$(x-2)^2(x+2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格按照先提公因式、再套公式、最后检查的步骤操作，尤其要注意分解要彻底，避免出现分解到一半就停止的错误。
【难度系数】
0.8
12.(10分)计算：
(1)$100^2 - (252^2 - 248^2)$；
(2)$39.8^2 - 2×39.8×49.8 + 49.8^2$。
(1)$100^2 - (252^2 - 248^2)$；
(2)$39.8^2 - 2×39.8×49.8 + 49.8^2$。
答案
12. 解:(1)原式$=100^2 - (252+248)×(252-248)=10 000-500×4=8 000$.(2)原式$=(39.8-49.8)^2=(-10)^2=100$.
解析
【分析】
(1)观察算式括号内的部分是两个数的平方差形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，先利用平方差公式对括号内因式分解，可避免计算大数的平方，简化运算，再按有理数运算顺序计算即可。
(2)观察算式是两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍，符合完全平方差公式的逆用形式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，直接套用公式转化为两数差的平方再计算，可大幅降低运算量。
【解析】
(1) 对括号内运用平方差公式化简：
原式$=100^2 - (252+248)×(252-248)$
依次计算括号内加减、乘法、减法：
$=10000 - 500×4$
$=10000 - 2000$
$=8000$
(2) 逆用完全平方差公式化简：
原式$=(39.8 - 49.8)^2$
依次计算括号内减法、平方：
$=(-10)^2$
$=100$
【答案】
(1) $\boxed{8000}$；(2) $\boxed{100}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题关键是准确识别算式对应的乘法公式结构，灵活选用公式简化计算，可有效规避直接计算高次幂带来的运算错误，提升计算效率。
【难度系数】
0.8
(1)观察算式括号内的部分是两个数的平方差形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，先利用平方差公式对括号内因式分解，可避免计算大数的平方，简化运算，再按有理数运算顺序计算即可。
(2)观察算式是两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍，符合完全平方差公式的逆用形式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，直接套用公式转化为两数差的平方再计算，可大幅降低运算量。
【解析】
(1) 对括号内运用平方差公式化简：
原式$=100^2 - (252+248)×(252-248)$
依次计算括号内加减、乘法、减法：
$=10000 - 500×4$
$=10000 - 2000$
$=8000$
(2) 逆用完全平方差公式化简：
原式$=(39.8 - 49.8)^2$
依次计算括号内减法、平方：
$=(-10)^2$
$=100$
【答案】
(1) $\boxed{8000}$；(2) $\boxed{100}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题关键是准确识别算式对应的乘法公式结构，灵活选用公式简化计算，可有效规避直接计算高次幂带来的运算错误，提升计算效率。
【难度系数】
0.8
