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13.(10分)先分解因式,再求值:$25(x+y)^2 - 9(x-y)^2$,其中$x=\frac{1}{2},y=-1$.
答案
13. 解:原式$=(5x+5y)^2-(3x-3y)^2=(5x+5y+3x-3y)(5x+5y-3x+3y)=(8x+2y)(2x+8y)=4(4x+y)(x+4y)$.当$x=\frac{1}{2},y=-1$时,原式$=4×(4×\frac{1}{2}-1)×[\frac{1}{2}+4×(-1)]=4×1×(-\frac{7}{2})=-14$.
解析
【分析】
首先观察待分解的式子，发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，所以第一步先将两项分别转化为平方的形式，确定对应的$a=5(x+y)$、$b=3(x-y)$，套用平方差公式进行第一次分解；之后对分解得到的两个因式分别去括号、合并同类项，再提取公因式将因式分解彻底；最后将$x、y$的值代入化简后的式子计算即可，相比直接代入原式计算，先分解再求值能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先对原式因式分解：
$25(x+y)^2 - 9(x-y)^2$
$=[5(x+y)]^2 - [3(x-y)]^2$
根据平方差公式展开得：
$=[5(x+y)+3(x-y)][5(x+y)-3(x-y)]$
去括号合并同类项：
$=(5x+5y+3x-3y)(5x+5y-3x+3y)$
$=(8x+2y)(2x+8y)$
提取公因式将因式分解彻底：
$=2(4x+y)·2(x+4y)=4(4x+y)(x+4y)$
再代入$x=\frac{1}{2},y=-1$求值：
原式$=4×(4×\frac{1}{2} -1)×[\frac{1}{2} + 4×(-1)]$
$=4×1×(-\frac{7}{2})$
$=-14$
【答案】
$-14$
【知识点】
平方差公式因式分解，提取公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，核心是通过观察式子结构选择合适的因式分解方法，先分解再求值能有效简化计算过程，解题时需注意因式分解要彻底，代值计算时要注意符号的处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
首先观察待分解的式子，发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，所以第一步先将两项分别转化为平方的形式，确定对应的$a=5(x+y)$、$b=3(x-y)$，套用平方差公式进行第一次分解；之后对分解得到的两个因式分别去括号、合并同类项，再提取公因式将因式分解彻底；最后将$x、y$的值代入化简后的式子计算即可，相比直接代入原式计算，先分解再求值能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先对原式因式分解：
$25(x+y)^2 - 9(x-y)^2$
$=[5(x+y)]^2 - [3(x-y)]^2$
根据平方差公式展开得：
$=[5(x+y)+3(x-y)][5(x+y)-3(x-y)]$
去括号合并同类项：
$=(5x+5y+3x-3y)(5x+5y-3x+3y)$
$=(8x+2y)(2x+8y)$
提取公因式将因式分解彻底：
$=2(4x+y)·2(x+4y)=4(4x+y)(x+4y)$
再代入$x=\frac{1}{2},y=-1$求值：
原式$=4×(4×\frac{1}{2} -1)×[\frac{1}{2} + 4×(-1)]$
$=4×1×(-\frac{7}{2})$
$=-14$
【答案】
$-14$
【知识点】
平方差公式因式分解，提取公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，核心是通过观察式子结构选择合适的因式分解方法，先分解再求值能有效简化计算过程，解题时需注意因式分解要彻底，代值计算时要注意符号的处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
14.(10分)发现:任意三个连续的整数中,最大数与最小数的平方差是4的倍数.
(1)$5^2 - 3^2$的结果是4的
(2)求证:在任意三个连续的奇数中,最大数与最小数的平方差是8的倍数.
(1)$5^2 - 3^2$的结果是4的
$4$
倍；(2)求证:在任意三个连续的奇数中,最大数与最小数的平方差是8的倍数.
答案
14. (1) 4 (2)证明:设三个连续奇数分别是$2n-1,2n+1,2n+3$,则$(2n+3)^2-(2n-1)^2=(2n+3+2n-1)(2n+3-2n+1)=4(4n+2)=8(2n+1)$.$\therefore$在任意三个连续的奇数中,最大数与最小数的平方差是8的倍数.
解析
【分析】
（1）第一问为基础计算题，先分别计算两个数的平方，再求差，最后用差除以4即可得到对应的倍数；
（2）第二问为规律证明题，解题思路如下：①根据连续奇数相差2的特征，用含同一个字母的代数式表示三个连续奇数；②写出最大数与最小数的平方差的代数式；③利用平方差公式对代数式因式分解并化简；④观察化简结果是否含因数8，若存在即可证明结论成立。
【解析】
（1）计算可得：$5^2 - 3^2 =25-9=16$，$16÷4=4$，因此结果是4的4倍。
（2）证明：设三个连续奇数分别为$2n-1,2n+1,2n+3$（n为整数），则最大数与最小数的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+3)^2-(2n-1)^2&=(2n+3+2n-1)(2n+3-2n+1)\\&=(4n+2)×4\\&=4(4n+2)\\&=8(2n+1)\end{aligned}$
因为n为整数，所以$2n+1$是整数，$8(2n+1)$是8的倍数，因此任意三个连续奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 证明见上述解析，结论成立。
【知识点】
平方差公式、因式分解的应用、代数式表示数
【点评】
本题是整式运算与因式分解结合的典型题型，既考查基础计算能力，也考查规律探究的逻辑推导能力，解题核心是正确用代数式表示连续奇数，再灵活运用平方差公式化简验证。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为基础计算题，先分别计算两个数的平方，再求差，最后用差除以4即可得到对应的倍数；
（2）第二问为规律证明题，解题思路如下：①根据连续奇数相差2的特征，用含同一个字母的代数式表示三个连续奇数；②写出最大数与最小数的平方差的代数式；③利用平方差公式对代数式因式分解并化简；④观察化简结果是否含因数8，若存在即可证明结论成立。
【解析】
（1）计算可得：$5^2 - 3^2 =25-9=16$，$16÷4=4$，因此结果是4的4倍。
（2）证明：设三个连续奇数分别为$2n-1,2n+1,2n+3$（n为整数），则最大数与最小数的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+3)^2-(2n-1)^2&=(2n+3+2n-1)(2n+3-2n+1)\\&=(4n+2)×4\\&=4(4n+2)\\&=8(2n+1)\end{aligned}$
因为n为整数，所以$2n+1$是整数，$8(2n+1)$是8的倍数，因此任意三个连续奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 证明见上述解析，结论成立。
【知识点】
平方差公式、因式分解的应用、代数式表示数
【点评】
本题是整式运算与因式分解结合的典型题型，既考查基础计算能力，也考查规律探究的逻辑推导能力，解题核心是正确用代数式表示连续奇数，再灵活运用平方差公式化简验证。
【难度系数】
0.7
15.(12分)常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法,但有的多项式只用上述一种方法无法分解因式,例如,$x^2 - 4y^2 - 2x + 4y$.我们细心观察就会发现,前两项可以分解因式,后两项也可以分解因式,分别分解因式后会产生公因式,就可以完整地分解因式了,过程如下:$x^2 - 4y^2 - 2x + 4y=(x^2 - 4y^2)-2(x - 2y)=(x + 2y)(x - 2y)-2(x - 2y)=(x - 2y)(x + 2y - 2)$,这种分解因式的方法叫作分组分解法.利用这种分组的思想方法解答下列问题:
(1)已知$a + b = 6,a - b = 2$,求$2a^2 + 4a - 2b^2 - 4b$的值;
(2)已知$a,b,c$分别是$△ ABC$三边的长,且满足$a^2 - 3bc + 3ac - ab = 0$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(1)已知$a + b = 6,a - b = 2$,求$2a^2 + 4a - 2b^2 - 4b$的值;
(2)已知$a,b,c$分别是$△ ABC$三边的长,且满足$a^2 - 3bc + 3ac - ab = 0$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
答案
15. 解:(1)原式$=2(a^2-b^2)+4(a-b)=2(a-b)(a+b)+4(a-b)=2(a-b)(a+b+2)$.$\because a+b=6,a-b=2$,$\therefore$原式$=2×2×(6+2)=32$.(2)$△ ABC$是等腰三角形.理由如下:$\because a^2 - 3bc + 3ac - ab = 0$,$\therefore a(a-b)+3c(a-b)=0$.$\therefore (a-b)(a+3c)=0$.$\because a,b,c$分别是$△ ABC$三边的长,$\therefore a+3c＞0$.$\therefore a-b=0$.$\therefore a=b$.$\therefore △ ABC$是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 若直接求解a、b的值再代入计算较繁琐，先观察代数式结构，将平方项和一次项分别分组，通过因式分解把代数式转化为含已知条件$a+b$、$a-b$的形式，再整体代入即可快速求值。
(2) 判断三角形形状需要推导三边的数量关系，先对等式左侧的多项式分组分解因式，再结合三角形边长均为正数的性质，即可得到a和b的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) 先对代数式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(a^2 - b^2) + 4(a - b)\\&=2(a - b)(a + b) + 4(a - b)\\&=2(a - b)(a + b + 2)\end{aligned}$
把$a + b = 6$，$a - b = 2$代入上式：
$\mathrm{原式}=2×2×(6 + 2) = 32$
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because a^2 - 3bc + 3ac - ab = 0$
对等式左侧分组分解因式：
$a(a - b) + 3c(a - b) = 0$
提取公因式得：$(a - b)(a + 3c) = 0$
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，$\therefore a+3c ＞ 0$
$\therefore a - b = 0$，即$a = b$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1) $\boxed{32}$；(2) $△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
分组分解法因式分解；代数式求值；等腰三角形判定
【点评】
本题考查分组分解法在因式分解中的实际应用，第一问结合整体代入思想简化代数式求值计算，第二问结合三角形边长的性质推导边的数量关系，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，结合题目给定条件合理推导结论。
【难度系数】
0.7
(1) 若直接求解a、b的值再代入计算较繁琐，先观察代数式结构，将平方项和一次项分别分组，通过因式分解把代数式转化为含已知条件$a+b$、$a-b$的形式，再整体代入即可快速求值。
(2) 判断三角形形状需要推导三边的数量关系，先对等式左侧的多项式分组分解因式，再结合三角形边长均为正数的性质，即可得到a和b的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) 先对代数式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(a^2 - b^2) + 4(a - b)\\&=2(a - b)(a + b) + 4(a - b)\\&=2(a - b)(a + b + 2)\end{aligned}$
把$a + b = 6$，$a - b = 2$代入上式：
$\mathrm{原式}=2×2×(6 + 2) = 32$
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because a^2 - 3bc + 3ac - ab = 0$
对等式左侧分组分解因式：
$a(a - b) + 3c(a - b) = 0$
提取公因式得：$(a - b)(a + 3c) = 0$
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，$\therefore a+3c ＞ 0$
$\therefore a - b = 0$，即$a = b$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1) $\boxed{32}$；(2) $△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
分组分解法因式分解；代数式求值；等腰三角形判定
【点评】
本题考查分组分解法在因式分解中的实际应用，第一问结合整体代入思想简化代数式求值计算，第二问结合三角形边长的性质推导边的数量关系，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，结合题目给定条件合理推导结论。
【难度系数】
0.7
