24.「★★」(12分)已知直线$l_1:y=\frac{1}{2}x-1$与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)若直线$l_2$与直线$l_1$关于x轴对称(如图1),直线$l_2$与y轴交于点C.求直线$l_2$的解析式.
(2)在(1)的条件下,若在射线AC上有一动点$D(x_D,y_D)$,且D不与A重合,连接BD,试求$△ BAD$的面积S关于$x_D$的函数解析式,并写出自变量的取值范围.


(3)如图2,过点$E(1,-3)$画平行于y轴的直线EF.
①连接AE,BE,求证:$△ ABE$是等腰直角三角形.
②将直线$l_1$沿y轴平移,当平移恰当长度(长度不为0)时,直线$l_1$与x轴交于点$A_1$,与y轴交于点$B_1$,在直线EF上是否存在点P(纵、横坐标均为整数),使得$△ A_1B_1P$是等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

24.解析 (1)在函数$y=\frac{1}{2}x-1$中，
当$x=0$时，$y=-1$，当$y=0$时，$x=2$，
$\therefore A(2,0),B(0,-1)$， …………（1分）
$\because$ 直线$l_1$与直线$l_2$关于$x$轴对称，直线$l_2$与$y$轴交于点$C$，
$\therefore C$与$B$关于$x$轴对称，直线$l_2$过点$A$，
$\therefore C(0,1)$，
设直线$l_2$的解析式为$y=kx+1$，将$(2,0)$代入得$2k+1=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 直线$l_2$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1$. …………（3分）
(2)$\because A(2,0),B(0,-1),C(0,1),\therefore BC=2,OA=2$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×2=2$. …………（4分）
如图1，当点$D$在线段$AC$上，且不与$A$重合，即$0≤ x_D＜2$时，$S=S_{△ ABC}-S_{△ DBC}=2-\frac{1}{2}×2x_D=2-x_D$.
如图2，当点$D$在线段$AC$的延长线上，即$x_D＜0$时，$S=S_{△ ABC}+S_{△ DBC}=2+\frac{1}{2}×2(-x_D)=2-x_D$.
综上，$S=2-x_D(x_D＜2)$. …………（6分）
(3)①证明:$\because A(2,0),B(0,-1),E(1,-3)$，
$\therefore AB=\sqrt{5},AE=\sqrt{10},BE=\sqrt{5}$，
$\therefore AB=BE,AB^2+BE^2=10=AE^2$，
$\therefore △ ABE$是等腰直角三角形. …………（8分）
②存在. …………（9分）
点$P$的坐标为$(1,1)$或$(1,-1)$. …………（12分）
详解:如图3，当点$P$为直角顶点时，设$P(1,n)$，
设直线$A_1B_1$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+b(b≠-1)$，
当$x=0$时，$y=b$，当$y=0$时，$x=-2b$，
$\therefore A_1(-2b,0),B_1(0,b)$，
过点$B_1$作$B_1G⊥ EF$于$G$，设$EF$交$x$轴于点$H$，
$\because △ A_1B_1P$为等腰直角三角形，$EF// y$轴，
$\therefore ∠ A_1PB_1=∠ B_1GP=∠ PHA_1=90°$，$PB_1=PA_1$，$B_1G=1$，
$\therefore ∠ B_1PG=90°-∠ A_1PH=∠ PA_1H$，
$\therefore △ PA_1H≌△ B_1PG$，$\therefore PH=B_1G=1$，$A_1H=PG$，
$\therefore |n|=1$，$|b-n|=|-2b-1|$，
$\therefore$ 当$n=1$时，$b=-2$或$b=0$(舍去)，当$n=-1$时，$b=-\frac{2}{3}$或$b=0$(舍去)，
$\therefore P$的坐标为$(1,1)$或$(1,-1)$.
如图4，当点$B_1$为直角顶点时，
过点$P$作$PM⊥ y$轴于$M$，则$PM=1$，
易证$△ B_1OA_1≌△ PMB_1$，
$\therefore OB_1=PM=1$，$B_1M=OA_1$，
$\therefore B_1(0,1)$或$B_1(0,-1)$(舍去).
$\therefore$ 直线$AB$向上平移了2个单位，
$\therefore$ 直线$A_1B_1$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$，
当$y=0$时，$x=-2$，$\therefore A_1(-2,0)$，
$\therefore B_1M=OA_1=2$，
$\therefore OM=1$，$\therefore P(1,-1)$.
当点$A_1$为直角顶点时，易知点$A_1$在$x$轴正半轴上，$B_1$在$y$轴负半轴上，设$EF$交$x$轴于$H$，
设直线$A_1B_1$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+m(m≠-1)$，
当$x=0$时，$y=m$，当$y=0$时，$x=-2m$，
$\therefore A_1(-2m,0),B_1(0,m)$.
如图5，当$A_1$在$EF$的右侧时，
易证$△ A_1OB_1≌△ PHA_1$，
$\therefore PH=OA_1=-2m$，$A_1H=OB_1=-m$，$\therefore OH=-2m-(-m)=1$，
解得$m=-1$(舍去).
如图6，当$A_1$在$EF$的左侧时，
易证$△ A_1OB_1≌△ PHA_1$，
$\therefore PH=OA_1=-2m$，$A_1H=OB_1=-m$，
$\therefore OH=-2m-m=1$，
$\therefore m=-\frac{1}{3}$，
$\therefore PH=OA_1=\frac{2}{3}$，
$\therefore P(1,-\frac{2}{3})$(不合题意，舍去).
综上，点$P$的坐标为$(1,1)$或$(1,-1)$.