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8.已知$a^2 + b^2 = 16$，且$\frac{1}{2}ab = -3$，则$a+b$的值是（
A.4
B.$\pm4$
C.2
D.$\pm2$
D
）A.4
B.$\pm4$
C.2
D.$\pm2$
答案
8.D
解析
【分析】
要求$a+b$的值，可联想完全平方公式的变形关系：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。题目已经给出$a^2+b^2$的数值，还给出了$\frac{1}{2}ab=-3$，我们可以先算出$2ab$的值，再代入公式求出$(a+b)^2$的结果，最后对结果开平方即可得到$a+b$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：由$\frac{1}{2}ab=-3$，两边同乘2可得：$ab=-6$，因此$2ab=-12$。
根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将$a^2+b^2=16$、$2ab=-12$代入公式得：
$(a+b)^2=16+(-12)=4$，
因为4的平方根为$\pm2$，所以$a+b=\pm2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值 3.平方根的性质
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握$(a+b)^2$与$a^2+b^2$、$ab$三者的转换关系，易错点是开平方时忽略负的结果，导致漏解。
【难度系数】
0.75
要求$a+b$的值，可联想完全平方公式的变形关系：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。题目已经给出$a^2+b^2$的数值，还给出了$\frac{1}{2}ab=-3$，我们可以先算出$2ab$的值，再代入公式求出$(a+b)^2$的结果，最后对结果开平方即可得到$a+b$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：由$\frac{1}{2}ab=-3$，两边同乘2可得：$ab=-6$，因此$2ab=-12$。
根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将$a^2+b^2=16$、$2ab=-12$代入公式得：
$(a+b)^2=16+(-12)=4$，
因为4的平方根为$\pm2$，所以$a+b=\pm2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值 3.平方根的性质
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握$(a+b)^2$与$a^2+b^2$、$ab$三者的转换关系，易错点是开平方时忽略负的结果，导致漏解。
【难度系数】
0.75
9.已知$(x-21)^2 + (x-25)^2 = 34$，则$(x-23)^2$的值是（
A.10
B.13
C.26
D.34
B
）A.10
B.13
C.26
D.34
答案
9.B
解析
【分析】
观察已知等式中两个平方项的底数(x-21)和(x-25)，发现二者与(x-23)的差值分别为+2和-2，因此可将两个底数变形为含(x-23)的形式，代入原式后利用完全平方公式展开，一次项会相互抵消，即可直接求出(x-23)²的值，也可通过换元法简化计算过程。
【解析】
方法1：直接变形计算
将x-21改写为(x-23)+2，x-25改写为(x-23)-2，代入原等式得：
$[(x-23)+2]^2 + [(x-23)-2]^2 = 34$
根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$展开得：
$(x-23)^2 + 4(x-23) + 4 + (x-23)^2 - 4(x-23) + 4 = 34$
合并同类项后，含$(x-23)$的一次项相互抵消，可得：
$2(x-23)^2 + 8 = 34$
移项计算：$2(x-23)^2 = 34 - 8 = 26$，因此$(x-23)^2 = 13$。
方法2：换元法
设$y = x - 23$，则$x = y + 23$，因此$x-21 = y + 2$，$x-25 = y - 2$，代入原等式得：
$(y+2)^2 + (y-2)^2 = 34$
展开合并后得$2y^2 + 8 = 34$，解得$y^2 = 13$，即$(x-23)^2 = 13$。
【答案】
B
【知识点】
1.完全平方公式
2.代数式化简
3.换元思想
【点评】
本题是完全平方公式应用的典型题型，核心考查对公式的灵活运用能力，通过观察底数的数值特点进行合理变形，可大幅简化计算，避免直接展开高次项带来的运算负担。
【难度系数】
0.7
观察已知等式中两个平方项的底数(x-21)和(x-25)，发现二者与(x-23)的差值分别为+2和-2，因此可将两个底数变形为含(x-23)的形式，代入原式后利用完全平方公式展开，一次项会相互抵消，即可直接求出(x-23)²的值，也可通过换元法简化计算过程。
【解析】
方法1：直接变形计算
将x-21改写为(x-23)+2，x-25改写为(x-23)-2，代入原等式得：
$[(x-23)+2]^2 + [(x-23)-2]^2 = 34$
根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$展开得：
$(x-23)^2 + 4(x-23) + 4 + (x-23)^2 - 4(x-23) + 4 = 34$
合并同类项后，含$(x-23)$的一次项相互抵消，可得：
$2(x-23)^2 + 8 = 34$
移项计算：$2(x-23)^2 = 34 - 8 = 26$，因此$(x-23)^2 = 13$。
方法2：换元法
设$y = x - 23$，则$x = y + 23$，因此$x-21 = y + 2$，$x-25 = y - 2$，代入原等式得：
$(y+2)^2 + (y-2)^2 = 34$
展开合并后得$2y^2 + 8 = 34$，解得$y^2 = 13$，即$(x-23)^2 = 13$。
【答案】
B
【知识点】
1.完全平方公式
2.代数式化简
3.换元思想
【点评】
本题是完全平方公式应用的典型题型，核心考查对公式的灵活运用能力，通过观察底数的数值特点进行合理变形，可大幅简化计算，避免直接展开高次项带来的运算负担。
【难度系数】
0.7
10.一个正方形的边长如果增加4 cm，它的面积就增加$64\ \mathrm{cm}^2$，则这个正方形的边长是（
A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm
B
）A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先明确等量关系：边长增加后的正方形面积 - 原正方形面积 = 增加的面积$64\ \mathrm{cm}^2$。我们可以设原正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，分别用含$x$的式子表示出两个正方形的面积，代入等量关系得到方程，再利用完全平方公式展开化简求解即可。
【解析】
解：设这个正方形原来的边长为$ x \ \mathrm{cm} $。
根据题意可列方程：
$ (x+4)^2 - x^2 = 64 $
利用完全平方公式展开左边：
$ x^2 + 8x + 16 - x^2 = 64 $
合并同类项化简得：
$ 8x + 16 = 64 $
移项计算：
$ 8x = 64 - 16 $
$ 8x = 48 $
解得$ x=6 $
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、正方形面积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合正方形面积的变化考察完全平方公式的实际应用，解题的关键是准确找到面积变化的等量关系，熟练掌握完全平方公式的展开形式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题时先明确等量关系：边长增加后的正方形面积 - 原正方形面积 = 增加的面积$64\ \mathrm{cm}^2$。我们可以设原正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，分别用含$x$的式子表示出两个正方形的面积，代入等量关系得到方程，再利用完全平方公式展开化简求解即可。
【解析】
解：设这个正方形原来的边长为$ x \ \mathrm{cm} $。
根据题意可列方程：
$ (x+4)^2 - x^2 = 64 $
利用完全平方公式展开左边：
$ x^2 + 8x + 16 - x^2 = 64 $
合并同类项化简得：
$ 8x + 16 = 64 $
移项计算：
$ 8x = 64 - 16 $
$ 8x = 48 $
解得$ x=6 $
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、正方形面积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合正方形面积的变化考察完全平方公式的实际应用，解题的关键是准确找到面积变化的等量关系，熟练掌握完全平方公式的展开形式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
11.[数学文化]杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：
$(a+b)^1=a+b$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
按照前面的规律，则$(a+b)^6=$
.
$(a+b)^1=a+b$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
按照前面的规律，则$(a+b)^6=$
$a^6 + 6a^5 b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6$
.
答案
11.$a^6 + 6a^5 b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6$
解析
【分析】
要推导$(a+b)^6$的展开式，我们可以结合给出的杨辉三角和已知的展开式总结两个核心规律：①系数规律：杨辉三角每行首尾都是1，中间每个数等于它上方相邻两个数的和，$(a+b)^n$的展开式各项系数对应杨辉三角的第$(n+1)$行；②字母次数规律：展开式共有$n+1$项，$a$的次数从$n$开始依次减1直到0，$b$的次数从0开始依次加1直到$n$。我们先根据已知的$(a+b)^5$对应的系数行，计算出$(a+b)^6$对应的系数，再结合次数规律写出展开式即可。
【解析】
步骤1：计算$(a+b)^6$对应的展开式系数
已知$(a+b)^5$对应的杨辉三角行系数为：1，5，10，10，5，1
按照“首尾为1，中间数等于其上方相邻两数之和”的规律，可得$(a+b)^6$对应的系数依次为：
首项为1，后续依次为$1+5=6$，$5+10=15$，$10+10=20$，$10+5=15$，$5+1=6$，末项为1
即系数序列为：1，6，15，20，15，6，1
步骤2：结合字母次数规律写展开式
$(a+b)^6$共7项，$a$的次数从6依次递减到0，$b$的次数从0依次递增到6，代入系数得：
$(a+b)^6=a^6 + 6a^5 b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6$
【答案】
$a^6 + 6a^5 b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6$
【知识点】
杨辉三角规律，规律探究，整式乘方展开
【点评】
本题以传统数学文化杨辉三角为载体，考查规律归纳与应用能力，解题的关键是准确总结系数和字母次数的变化规律，计算系数时注意避免相邻数求和出错。
【难度系数】
0.75
要推导$(a+b)^6$的展开式，我们可以结合给出的杨辉三角和已知的展开式总结两个核心规律：①系数规律：杨辉三角每行首尾都是1，中间每个数等于它上方相邻两个数的和，$(a+b)^n$的展开式各项系数对应杨辉三角的第$(n+1)$行；②字母次数规律：展开式共有$n+1$项，$a$的次数从$n$开始依次减1直到0，$b$的次数从0开始依次加1直到$n$。我们先根据已知的$(a+b)^5$对应的系数行，计算出$(a+b)^6$对应的系数，再结合次数规律写出展开式即可。
【解析】
步骤1：计算$(a+b)^6$对应的展开式系数
已知$(a+b)^5$对应的杨辉三角行系数为：1，5，10，10，5，1
按照“首尾为1，中间数等于其上方相邻两数之和”的规律，可得$(a+b)^6$对应的系数依次为：
首项为1，后续依次为$1+5=6$，$5+10=15$，$10+10=20$，$10+5=15$，$5+1=6$，末项为1
即系数序列为：1，6，15，20，15，6，1
步骤2：结合字母次数规律写展开式
$(a+b)^6$共7项，$a$的次数从6依次递减到0，$b$的次数从0依次递增到6，代入系数得：
$(a+b)^6=a^6 + 6a^5 b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6$
【答案】
$a^6 + 6a^5 b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6$
【知识点】
杨辉三角规律，规律探究，整式乘方展开
【点评】
本题以传统数学文化杨辉三角为载体，考查规律归纳与应用能力，解题的关键是准确总结系数和字母次数的变化规律，计算系数时注意避免相邻数求和出错。
【难度系数】
0.75
12.先化简，再求值：$(2x+y)^2+(x+2y)^2 - x(x+y)-2(x+2y)(2x+y)$，其中$x=2$，$y=-2$。
答案
12.解:$原式=4x^2+4xy+y^2+x^2+4xy+4y^2-x^2-xy-4x^2$
$-2xy-8xy-4y^2$
$=-3xy+y^2$.
当$x=2,y=-2$时,
$原式=-3×2×(-2)+(-2)^2=12+4=16$.
$-2xy-8xy-4y^2$
$=-3xy+y^2$.
当$x=2,y=-2$时,
$原式=-3×2×(-2)+(-2)^2=12+4=16$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题分为两步：第一步先化简整式，首先根据完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，分别将原式中的各项展开，展开过程中注意每一项的符号，不要漏乘项；之后将展开后的所有项合并同类项，得到最简整式。第二步代入求值，把给定的x、y的值代入化简后的最简式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
解：先利用运算法则展开各项：
$(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$
$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$
$-x(x+y) = -x^2 - xy$
$-2(x+2y)(2x+y) = -2(2x^2+5xy+2y^2) = -4x^2 -10xy -4y^2$
将各项代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2+4xy+y^2+x^2+4xy+4y^2-x^2-xy-4x^2-10xy-4y^2\\&=-3xy + y^2\end{aligned}$
再代入$x=2$，$y=-2$计算：
$\begin{aligned}原式&=-3×2×(-2) + (-2)^2\\&=12 + 4\\&=16\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{16}$
【知识点】
完全平方公式，整式混合运算，代数式求值
【点评】
本题重点考查整式运算的基本功，解题时需要准确掌握各类整式乘法的运算法则，尤其要注意展开时的符号问题，合并同类项时不要漏项，计算过程细心即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
这是一道整式化简求值题，解题分为两步：第一步先化简整式，首先根据完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，分别将原式中的各项展开，展开过程中注意每一项的符号，不要漏乘项；之后将展开后的所有项合并同类项，得到最简整式。第二步代入求值，把给定的x、y的值代入化简后的最简式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
解：先利用运算法则展开各项：
$(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$
$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$
$-x(x+y) = -x^2 - xy$
$-2(x+2y)(2x+y) = -2(2x^2+5xy+2y^2) = -4x^2 -10xy -4y^2$
将各项代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2+4xy+y^2+x^2+4xy+4y^2-x^2-xy-4x^2-10xy-4y^2\\&=-3xy + y^2\end{aligned}$
再代入$x=2$，$y=-2$计算：
$\begin{aligned}原式&=-3×2×(-2) + (-2)^2\\&=12 + 4\\&=16\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{16}$
【知识点】
完全平方公式，整式混合运算，代数式求值
【点评】
本题重点考查整式运算的基本功，解题时需要准确掌握各类整式乘法的运算法则，尤其要注意展开时的符号问题，合并同类项时不要漏项，计算过程细心即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
13.已知:$x+y=5,xy=3$.求:
(1)$x^2 +5xy + y^2$;
(2)$x^4 + y^4$.
(1)$x^2 +5xy + y^2$;
(2)$x^4 + y^4$.
答案
13.解:(1)$\because x+y=5,xy=3$,
$\therefore x^2+5xy+y^2=(x+y)^2+3xy$
$=5^2+3×3=34$.
(2)$\because x+y=5,xy=3$,
$\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2×3=19$.
$\therefore x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=19^2-2×3^2=343$.
$\therefore x^2+5xy+y^2=(x+y)^2+3xy$
$=5^2+3×3=34$.
(2)$\because x+y=5,xy=3$,
$\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2×3=19$.
$\therefore x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=19^2-2×3^2=343$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，无需直接求出x、y的具体值，采用整体代入法简化计算即可：
（1）观察所求代数式$x^2 +5xy + y^2$，可拆分为$(x^2+y^2)+5xy$，根据完全平方公式$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入后可将原式转化为仅含$x+y$和$xy$的式子，再代入已知数值计算即可。
（2）求$x^4+y^4$时，可将其视为$(x^2)^2+(y^2)^2$，同样利用完全平方公式变形为$(x^2+y^2)^2-2(xy)^2$，先利用已知条件求出$x^2+y^2$的值，再代入变形后的式子计算即可。
【解析】
(1) $\because x+y=5,xy=3$，
$\therefore x^2+5xy+y^2=(x+y)^2+3xy$
$=5^2+3×3=25+9=34$
(2) $\because x+y=5,xy=3$，
$\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2×3=25-6=19$，
$\therefore x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=19^2-2×3^2=361-18=343$
【答案】
(1)34；(2)343
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题核心是灵活运用完全平方公式的变形，通过整体代入已知条件的方式简化计算，避免了求解二元方程组的繁琐，是整式求值类题型的典型考法，熟练掌握完全平方公式的各类变形是解题关键。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的变形应用，无需直接求出x、y的具体值，采用整体代入法简化计算即可：
（1）观察所求代数式$x^2 +5xy + y^2$，可拆分为$(x^2+y^2)+5xy$，根据完全平方公式$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入后可将原式转化为仅含$x+y$和$xy$的式子，再代入已知数值计算即可。
（2）求$x^4+y^4$时，可将其视为$(x^2)^2+(y^2)^2$，同样利用完全平方公式变形为$(x^2+y^2)^2-2(xy)^2$，先利用已知条件求出$x^2+y^2$的值，再代入变形后的式子计算即可。
【解析】
(1) $\because x+y=5,xy=3$，
$\therefore x^2+5xy+y^2=(x+y)^2+3xy$
$=5^2+3×3=25+9=34$
(2) $\because x+y=5,xy=3$，
$\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2×3=25-6=19$，
$\therefore x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=19^2-2×3^2=361-18=343$
【答案】
(1)34；(2)343
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题核心是灵活运用完全平方公式的变形，通过整体代入已知条件的方式简化计算，避免了求解二元方程组的繁琐，是整式求值类题型的典型考法，熟练掌握完全平方公式的各类变形是解题关键。
【难度系数】
0.8
14.[数学建模]我们知道:对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.
例如:由图1可得到$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$
(1)写出由图2所表示的数学等式:
写出由图3所表示的数学等式:
(2)利用上述结论,解决问题:已知$a + b + c = 11, bc + ac + ab = 38$,求$a^2 + b^2 + c^2$的值.
例如:由图1可得到$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$
(1)写出由图2所表示的数学等式:
$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
;写出由图3所表示的数学等式:
$(a-b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
;(2)利用上述结论,解决问题:已知$a + b + c = 11, bc + ac + ab = 38$,求$a^2 + b^2 + c^2$的值.
答案
14.解:(1)$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
$(a-b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
(2)由(1)可得 $a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - (2ab + 2bc + 2ac)$
$=(a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac) = 11^2 - 2×38 = 45$.
$(a-b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
(2)由(1)可得 $a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - (2ab + 2bc + 2ac)$
$=(a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac) = 11^2 - 2×38 = 45$.
解析
【分析】
解决这类通过图形面积推导代数等式的问题，核心思路是分别用“整体法”和“分割求和法”计算同一图形的面积，两个结果相等即可得到对应等式。
(1) 对于图2：先看整体是边长为$(a+b+c)$的大正方形，整体面积为边长的平方；再拆分图形，可得到3个小正方形（面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$）和6个长方形（2个$ab$、2个$bc$、2个$ac$），两部分面积相等即可写出等式。
对于图3：阴影部分是正方形，边长为$(a-b-c)$，整体面积为边长的平方；再通过割补法计算阴影面积，整理后即可得到对应等式。
(2) 观察已知条件和所求代数式，正好对应(1)中第一个推导得到的等式，将等式变形，把$a^2+b^2+c^2$单独放在等号一侧，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 图2中，大正方形的边长为$a+b+c$，整体面积为$(a+b+c)^2$；
拆分图形的面积和为：$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$，
因此可得对应等式。
图3中，阴影正方形的边长为$a-b-c$，整体面积为$(a-b-c)^2$；
通过割补法计算阴影面积，整理得面积为$a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac$，
因此可得对应等式。
(2) 由(1)的第一个等式变形可得：
$a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac)$
将$a + b + c = 11$，$bc + ac + ab = 38$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=11^2 - 2×38\\&=121 - 76\\&=45\end{aligned}$
【答案】
(1) $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$；$(a-b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
(2) $45$
【知识点】
完全平方公式；面积法推导恒等式；代数式求值
【点评】
本题结合几何图形的面积计算推导完全平方公式的拓展形式，再利用推导的结论进行代数式求值，考查了数形结合的数学思想，同时也锻炼了公式变形与应用的能力。
【难度系数】
0.7
解决这类通过图形面积推导代数等式的问题，核心思路是分别用“整体法”和“分割求和法”计算同一图形的面积，两个结果相等即可得到对应等式。
(1) 对于图2：先看整体是边长为$(a+b+c)$的大正方形，整体面积为边长的平方；再拆分图形，可得到3个小正方形（面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$）和6个长方形（2个$ab$、2个$bc$、2个$ac$），两部分面积相等即可写出等式。
对于图3：阴影部分是正方形，边长为$(a-b-c)$，整体面积为边长的平方；再通过割补法计算阴影面积，整理后即可得到对应等式。
(2) 观察已知条件和所求代数式，正好对应(1)中第一个推导得到的等式，将等式变形，把$a^2+b^2+c^2$单独放在等号一侧，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 图2中，大正方形的边长为$a+b+c$，整体面积为$(a+b+c)^2$；
拆分图形的面积和为：$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$，
因此可得对应等式。
图3中，阴影正方形的边长为$a-b-c$，整体面积为$(a-b-c)^2$；
通过割补法计算阴影面积，整理得面积为$a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac$，
因此可得对应等式。
(2) 由(1)的第一个等式变形可得：
$a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac)$
将$a + b + c = 11$，$bc + ac + ab = 38$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=11^2 - 2×38\\&=121 - 76\\&=45\end{aligned}$
【答案】
(1) $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$；$(a-b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
(2) $45$
【知识点】
完全平方公式；面积法推导恒等式；代数式求值
【点评】
本题结合几何图形的面积计算推导完全平方公式的拓展形式，再利用推导的结论进行代数式求值，考查了数形结合的数学思想，同时也锻炼了公式变形与应用的能力。
【难度系数】
0.7
