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一、选择题
1. $\cos 30° = (\quad)$.
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
1. $\cos 30° = (\quad)$.
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的余弦值，解题可从两个方向入手：一是直接回忆已识记的30°角的余弦值匹配选项；二是结合锐角余弦的定义，借助含30°角的直角三角形的边长特征推导结果。首先明确余弦的定义是锐角的邻边与斜边的比值，再利用含30°直角三角形的三边关系计算即可得出答案。
【解析】
方法一：直接记忆特殊角的三角函数值，可得$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
方法二：结合定义推导：在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，设30°角对的直角边长为1，则斜边长为2，由勾股定理可得30°角的邻直角边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。根据余弦的定义：$\cosα=\dfrac{α的邻边}{斜边}$，因此$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握情况，熟记30°、45°、60°这三个常用锐角的三角函数值是快速解题的关键，学习时要注意区分不同角度、不同三角函数的数值，避免混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角的余弦值，解题可从两个方向入手：一是直接回忆已识记的30°角的余弦值匹配选项；二是结合锐角余弦的定义，借助含30°角的直角三角形的边长特征推导结果。首先明确余弦的定义是锐角的邻边与斜边的比值，再利用含30°直角三角形的三边关系计算即可得出答案。
【解析】
方法一：直接记忆特殊角的三角函数值，可得$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
方法二：结合定义推导：在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，设30°角对的直角边长为1，则斜边长为2，由勾股定理可得30°角的邻直角边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。根据余弦的定义：$\cosα=\dfrac{α的邻边}{斜边}$，因此$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握情况，熟记30°、45°、60°这三个常用锐角的三角函数值是快速解题的关键，学习时要注意区分不同角度、不同三角函数的数值，避免混淆。
【难度系数】
0.9
2. 已知$\sqrt{3}\tan(α + 10°)=1$，则锐角$α$的度数为（）.
A.$10°$
B.$20°$
C.$50°$
D.$75°$
A.$10°$
B.$20°$
C.$50°$
D.$75°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先对已知等式变形，求出$\tan(α +10°)$的值，再结合特殊角的三角函数值确定$α +10°$的度数，最后结合$α$是锐角的条件计算$α$的度数即可。第一步先化简已知等式得到正切的具体值；第二步匹配对应正切值的特殊锐角；第三步求解$α$并验证是否符合锐角要求。
【解析】
已知$\sqrt{3}\tan(α + 10°)=1$，将等式两边同时除以$\sqrt{3}$，可得：
$\tan(α + 10°)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
根据特殊角的三角函数值可知，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
又因为$α$是锐角，即$0°＜α＜90°$，因此$10°＜α+10°＜100°$，所以可得：
$α +10°=30°$
解得$α=30°-10°=20°$
【答案】
B
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角三角函数运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，只要熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，结合简单的代数运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先对已知等式变形，求出$\tan(α +10°)$的值，再结合特殊角的三角函数值确定$α +10°$的度数，最后结合$α$是锐角的条件计算$α$的度数即可。第一步先化简已知等式得到正切的具体值；第二步匹配对应正切值的特殊锐角；第三步求解$α$并验证是否符合锐角要求。
【解析】
已知$\sqrt{3}\tan(α + 10°)=1$，将等式两边同时除以$\sqrt{3}$，可得：
$\tan(α + 10°)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
根据特殊角的三角函数值可知，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
又因为$α$是锐角，即$0°＜α＜90°$，因此$10°＜α+10°＜100°$，所以可得：
$α +10°=30°$
解得$α=30°-10°=20°$
【答案】
B
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角三角函数运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，只要熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，结合简单的代数运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC$中，$(2\cos A - \sqrt{2})^2 + |1 - \tan B| = 0$，则$△ ABC$一定是（）。
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：平方数和绝对值的结果都大于等于0，若两个非负数相加和为0，则每个非负数的值都为0。据此可以分别列出关于cosA和tanB的等式，求出对应三角函数值后，结合特殊角的三角函数值得到∠A和∠B的度数，再通过三角形内角和求出∠C的度数，最终判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵平方和绝对值都具有非负性，且$(2\cos A - \sqrt{2})^2 + |1 - \tan B| = 0$
∴可得：
$2\cos A - \sqrt{2} = 0$，$1 - \tan B = 0$
分别求解两个等式：
对$2\cos A - \sqrt{2} = 0$移项化简得$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因为∠A是三角形内角，所以$∠ A = 45°$；
对$1 - \tan B = 0$移项化简得$\tan B = 1$，因为∠B是三角形内角，所以$∠ B = 45°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 45° = 90°$。
因此△ABC中$∠ A=∠ B=45°$，$∠ C=90°$，是等腰直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数性质和锐角三角函数知识结合考查，解题核心是熟练掌握非负数的运算性质，同时准确记忆特殊角的三角函数值，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：平方数和绝对值的结果都大于等于0，若两个非负数相加和为0，则每个非负数的值都为0。据此可以分别列出关于cosA和tanB的等式，求出对应三角函数值后，结合特殊角的三角函数值得到∠A和∠B的度数，再通过三角形内角和求出∠C的度数，最终判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵平方和绝对值都具有非负性，且$(2\cos A - \sqrt{2})^2 + |1 - \tan B| = 0$
∴可得：
$2\cos A - \sqrt{2} = 0$，$1 - \tan B = 0$
分别求解两个等式：
对$2\cos A - \sqrt{2} = 0$移项化简得$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因为∠A是三角形内角，所以$∠ A = 45°$；
对$1 - \tan B = 0$移项化简得$\tan B = 1$，因为∠B是三角形内角，所以$∠ B = 45°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 45° = 90°$。
因此△ABC中$∠ A=∠ B=45°$，$∠ C=90°$，是等腰直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数性质和锐角三角函数知识结合考查，解题核心是熟练掌握非负数的运算性质，同时准确记忆特殊角的三角函数值，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，若$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$，则$∠ C=$.
4. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，若$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$，则$∠ C=$.
答案
$\boldsymbol{105°}$
解析
【分析】
解题时首先观察等式特征：等式为绝对值与平方的和等于0，根据非负数的性质，绝对值和偶次幂的结果都为非负数，因此只有当两个非负项均为0时，它们的和才为0。据此可先求出$\sin A$和$\cos B$的值，再结合$∠ A$、$∠ B$均为锐角的条件，利用特殊角的三角函数值确定$∠ A$、$∠ B$的度数，最后根据三角形内角和为$180°$即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
∵ 绝对值和平方数均为非负数，且$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$
∴ $\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| = 0$，$( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$
即 $\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
又
∵ $∠ A$、$∠ B$都是锐角
∴ $∠ A = 45°$，$∠ B = 30°$
∵ 三角形内角和为$180°$
∴ $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 30° = 105°$
【答案】
$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，牢记常见特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察等式特征：等式为绝对值与平方的和等于0，根据非负数的性质，绝对值和偶次幂的结果都为非负数，因此只有当两个非负项均为0时，它们的和才为0。据此可先求出$\sin A$和$\cos B$的值，再结合$∠ A$、$∠ B$均为锐角的条件，利用特殊角的三角函数值确定$∠ A$、$∠ B$的度数，最后根据三角形内角和为$180°$即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
∵ 绝对值和平方数均为非负数，且$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$
∴ $\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| = 0$，$( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$
即 $\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
又
∵ $∠ A$、$∠ B$都是锐角
∴ $∠ A = 45°$，$∠ B = 30°$
∵ 三角形内角和为$180°$
∴ $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 30° = 105°$
【答案】
$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，牢记常见特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 已知矩形两邻边长的比为$\sqrt{3}:1$，则其两条对角线所夹的锐角为。
答案
$\boldsymbol{60°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线相交后分成的4条线段长度相等。题目给出了邻边的比值，我们可以通过设参数的方法表示出两条邻边的长度，再用勾股定理求出对角线的长度，进而得到半对角线的长度。观察半对角线和矩形短边的长度关系，可判断出二者与短边围成等边三角形，即可得到两条对角线所夹锐角的度数；也可通过锐角三角函数求出对角线与矩形边的夹角，进一步推导得到对角线的夹角度数。
【解析】
设矩形较短的邻边长为$a$，由两邻边长的比为$\sqrt{3}:1$，可得较长的邻边长为$\sqrt{3}a$。
1. 计算矩形对角线长度：根据勾股定理，矩形对角线长$l=\sqrt{(\sqrt{3}a)^2+a^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=\sqrt{4a^2}=2a$。
2. 结合矩形对角线性质分析：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线的一半长度均为$a$。
3. 判定三角形形状：两条对角线与矩形短边围成的三角形三边长均为$a$，因此该三角形为等边三角形，其内角为$60°$，这个角就是两条对角线所夹的锐角。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用矩形对角线的性质构造等腰三角形，再结合边长关系判断特殊三角形求解，解题时注意区分对角线所夹的锐角和钝角，避免写错结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线相交后分成的4条线段长度相等。题目给出了邻边的比值，我们可以通过设参数的方法表示出两条邻边的长度，再用勾股定理求出对角线的长度，进而得到半对角线的长度。观察半对角线和矩形短边的长度关系，可判断出二者与短边围成等边三角形，即可得到两条对角线所夹锐角的度数；也可通过锐角三角函数求出对角线与矩形边的夹角，进一步推导得到对角线的夹角度数。
【解析】
设矩形较短的邻边长为$a$，由两邻边长的比为$\sqrt{3}:1$，可得较长的邻边长为$\sqrt{3}a$。
1. 计算矩形对角线长度：根据勾股定理，矩形对角线长$l=\sqrt{(\sqrt{3}a)^2+a^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=\sqrt{4a^2}=2a$。
2. 结合矩形对角线性质分析：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线的一半长度均为$a$。
3. 判定三角形形状：两条对角线与矩形短边围成的三角形三边长均为$a$，因此该三角形为等边三角形，其内角为$60°$，这个角就是两条对角线所夹的锐角。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用矩形对角线的性质构造等腰三角形，再结合边长关系判断特殊三角形求解，解题时注意区分对角线所夹的锐角和钝角，避免写错结果。
【难度系数】
0.7
6. 计算：$\sqrt{(\tan 30° -1)^2} + \sin 60° =$ .
答案
解：
$\because \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} ＜ 1$，
$\therefore \sqrt{(\tan30° -1)^2} = |\tan30° -1| = 1 - \tan30°$，
代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1 - \tan30° + \sin60°\\&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 + \frac{-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6}\\&=1 + \frac{\sqrt{3}}{6}\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{1+\dfrac{\sqrt{3}}{6}}$。
$\because \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} ＜ 1$，
$\therefore \sqrt{(\tan30° -1)^2} = |\tan30° -1| = 1 - \tan30°$，
代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1 - \tan30° + \sin60°\\&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 + \frac{-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6}\\&=1 + \frac{\sqrt{3}}{6}\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{1+\dfrac{\sqrt{3}}{6}}$。
解析
【分析】
解题时先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此首先要判断根号内$\tan30°-1$的正负性，再去掉绝对值符号；接着代入$\tan30°$和$\sin60°$的特殊三角函数值，最后通过通分合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：$\because \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} ＜ 1$，
$\therefore \sqrt{(\tan30° -1)^2} = |\tan30° -1| = 1 - \tan30°$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1 - \tan30° + \sin60°\\&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 + \frac{-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6}\\&=1 + \frac{\sqrt{3}}{6}\end{aligned}$
【答案】
$1+\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
【知识点】
二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，绝对值的化简
【点评】
本题是基础运算题，核心考察二次根式性质与特殊角三角函数值的结合应用，解题的易错点是去掉根号时忽略绝对值的非负性，直接错误化简为$\tan30°-1$，计算时要注意通分的正确性。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此首先要判断根号内$\tan30°-1$的正负性，再去掉绝对值符号；接着代入$\tan30°$和$\sin60°$的特殊三角函数值，最后通过通分合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：$\because \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} ＜ 1$，
$\therefore \sqrt{(\tan30° -1)^2} = |\tan30° -1| = 1 - \tan30°$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1 - \tan30° + \sin60°\\&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 + \frac{-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6}\\&=1 + \frac{\sqrt{3}}{6}\end{aligned}$
【答案】
$1+\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
【知识点】
二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，绝对值的化简
【点评】
本题是基础运算题，核心考察二次根式性质与特殊角三角函数值的结合应用，解题的易错点是去掉根号时忽略绝对值的非负性，直接错误化简为$\tan30°-1$，计算时要注意通分的正确性。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 计算：
(1) $\sin^2 60° + \sin 45° \cos 45° - \cos 30° \tan 60°$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^{-1} - 3\tan 30° + (1 - \sqrt{2})^0 + \sqrt{12}$。
7. 计算：
(1) $\sin^2 60° + \sin 45° \cos 45° - \cos 30° \tan 60°$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^{-1} - 3\tan 30° + (1 - \sqrt{2})^0 + \sqrt{12}$。
答案
解：
(1) 原式$=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$
$=\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{4}$
(2) 原式$=-2 - 3×\dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 + 2\sqrt{3}$
$=-2 - \sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3}$
$=\sqrt{3} - 1$
(1) 原式$=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$
$=\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{4}$
(2) 原式$=-2 - 3×\dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 + 2\sqrt{3}$
$=-2 - \sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3}$
$=\sqrt{3} - 1$
解析
【分析】
本题分为两小问，均为混合运算题：
(1) 第一问是特殊锐角三角函数的混合运算，解题思路为：首先准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，将对应数值代入原式，再按照实数运算顺序，先算乘方、乘法，最后算加减即可得出结果。
(2) 第二问是包含负整数指数幂、零指数幂、特殊三角函数值、二次根式化简的综合运算，解题思路为：分别计算每一项的值：①负整数指数幂满足$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；②非零数的零次幂等于1；③代入$\tan30°$的数值计算；④将$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，最后合并常数项和同类二次根式即可。
【解析】
(1) 先代入各特殊角的三角函数值，再按运算顺序计算：
原式$=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$
$=\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{4}$
(2) 分别计算每一项后合并：
原式$=-2 - 3×\dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 + 2\sqrt{3}$
$=-2 - \sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3}$
$=\sqrt{3} - 1$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{4}$；(2) $\sqrt{3}-1$
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.实数混合运算
3.零（负）指数幂运算
【点评】
本题核心考察特殊锐角三角函数值的记忆，以及实数混合运算的规则，解题时需牢记特殊三角函数值，熟练掌握二次根式化简、零指数幂、负指数幂的计算方法，按运算顺序逐步计算即可，注意避免因记错三角函数值或运算规则出错。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，均为混合运算题：
(1) 第一问是特殊锐角三角函数的混合运算，解题思路为：首先准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，将对应数值代入原式，再按照实数运算顺序，先算乘方、乘法，最后算加减即可得出结果。
(2) 第二问是包含负整数指数幂、零指数幂、特殊三角函数值、二次根式化简的综合运算，解题思路为：分别计算每一项的值：①负整数指数幂满足$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；②非零数的零次幂等于1；③代入$\tan30°$的数值计算；④将$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，最后合并常数项和同类二次根式即可。
【解析】
(1) 先代入各特殊角的三角函数值，再按运算顺序计算：
原式$=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$
$=\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{4}$
(2) 分别计算每一项后合并：
原式$=-2 - 3×\dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 + 2\sqrt{3}$
$=-2 - \sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3}$
$=\sqrt{3} - 1$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{4}$；(2) $\sqrt{3}-1$
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.实数混合运算
3.零（负）指数幂运算
【点评】
本题核心考察特殊锐角三角函数值的记忆，以及实数混合运算的规则，解题时需牢记特殊三角函数值，熟练掌握二次根式化简、零指数幂、负指数幂的计算方法，按运算顺序逐步计算即可，注意避免因记错三角函数值或运算规则出错。
【难度系数】
0.8
8. 规定：$\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$。
（1）判断下列等式成立的是________；（填序号）
① $\cos(-60°)=-\dfrac{1}{2}$；② $\sin 2x=2\sin x·\cos x$；③ $\sin(x-y)=\sin x·\cos y-\cos x·\sin y$。
（2）利用上面的规定求：① $\sin 75°$；② $\sin 15°$。
（1）判断下列等式成立的是________；（填序号）
① $\cos(-60°)=-\dfrac{1}{2}$；② $\sin 2x=2\sin x·\cos x$；③ $\sin(x-y)=\sin x·\cos y-\cos x·\sin y$。
（2）利用上面的规定求：① $\sin 75°$；② $\sin 15°$。
答案
解：
（1）
① 由$\cos(-x)=\cos x$，得$\cos(-60°)=\cos60°=\frac{1}{2}$，故①不成立；
② 由$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$，令$y=x$，得$\sin2x=\sin x·\cos x+\cos x·\sin x=2\sin x·\cos x$，故②成立；
③ 由$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$，将$y$替换为$-y$，得$\sin(x-y)=\sin x·\cos(-y)+\cos x·\sin(-y)$，结合$\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，可得$\sin(x-y)=\sin x·\cos y - \cos x·\sin y$，故③成立。
因此等式成立的是②③。
（2）① $\sin75°=\sin(45°+30°)$
$=\sin45°·\cos30°+\cos45°·\sin30°$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
② $\sin15°=\sin(45°-30°)$
$=\sin45°·\cos30°-\cos45°·\sin30°$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
（1）
① 由$\cos(-x)=\cos x$，得$\cos(-60°)=\cos60°=\frac{1}{2}$，故①不成立；
② 由$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$，令$y=x$，得$\sin2x=\sin x·\cos x+\cos x·\sin x=2\sin x·\cos x$，故②成立；
③ 由$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$，将$y$替换为$-y$，得$\sin(x-y)=\sin x·\cos(-y)+\cos x·\sin(-y)$，结合$\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，可得$\sin(x-y)=\sin x·\cos y - \cos x·\sin y$，故③成立。
因此等式成立的是②③。
（2）① $\sin75°=\sin(45°+30°)$
$=\sin45°·\cos30°+\cos45°·\sin30°$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
② $\sin15°=\sin(45°-30°)$
$=\sin45°·\cos30°-\cos45°·\sin30°$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
解析
【分析】
本题是给定三角函数新运算规则的应用类题目，解题思路如下：
1. 解决第（1）问时，逐一将三个等式对应题干给出的规则验证：①直接套用$\cos(-x)=\cos x$计算判断；②利用$\sin(x+y)$的公式，令$y=x$即可推导；③利用$\sin(x+y)$的公式，将$y$替换为$-y$，再结合$\sin(-x)$、$\cos(-x)$的规则推导判断。
2. 解决第（2）问时，先将$75°$、$15°$拆分为两个特殊锐角（$30°$、$45°$）的和或差，再套用题干给出的正弦和、差公式，代入特殊角的三角函数值计算即可。
【解析】
（1）逐一验证等式：
① 根据$\cos(-x)=\cos x$，可得$\cos(-60°)=\cos60°=\frac{1}{2}≠-\frac{1}{2}$，故①不成立；
② 根据$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$，令$y=x$，则$\sin2x=\sin(x+x)=\sin x·\cos x+\cos x·\sin x=2\sin x·\cos x$，故②成立；
③ 根据$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$，将$y$替换为$-y$，得$\sin(x-y)=\sin[x+(-y)]=\sin x·\cos(-y)+\cos x·\sin(-y)$，再结合$\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，可得$\sin(x-y)=\sin x·\cos y - \cos x·\sin y$，故③成立。
综上，成立的是②③。
（2）① 求$\sin75°$：
将$75°$拆分为$45°+30°$，套用正弦和公式：
$\sin75°=\sin(45°+30°)$
$=\sin45°·\cos30°+\cos45°·\sin30°$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
② 求$\sin15°$：
将$15°$拆分为$45°-30°$，套用正弦差公式：
$\sin15°=\sin(45°-30°)$
$=\sin45°·\cos30°-\cos45°·\sin30°$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{②③}$；
（2）① $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$；② $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
新定义运算应用，锐角三角函数和差公式，特殊角的三角函数值
【点评】
本题重点考查对新规则的迁移应用能力，需要学生准确理解题干给出的三角函数运算规则，结合已掌握的特殊角三角函数值计算即可，解题时注意替换公式中的参数时不要混淆，根式运算要准确。
【难度系数】
0.7
本题是给定三角函数新运算规则的应用类题目，解题思路如下：
1. 解决第（1）问时，逐一将三个等式对应题干给出的规则验证：①直接套用$\cos(-x)=\cos x$计算判断；②利用$\sin(x+y)$的公式，令$y=x$即可推导；③利用$\sin(x+y)$的公式，将$y$替换为$-y$，再结合$\sin(-x)$、$\cos(-x)$的规则推导判断。
2. 解决第（2）问时，先将$75°$、$15°$拆分为两个特殊锐角（$30°$、$45°$）的和或差，再套用题干给出的正弦和、差公式，代入特殊角的三角函数值计算即可。
【解析】
（1）逐一验证等式：
① 根据$\cos(-x)=\cos x$，可得$\cos(-60°)=\cos60°=\frac{1}{2}≠-\frac{1}{2}$，故①不成立；
② 根据$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$，令$y=x$，则$\sin2x=\sin(x+x)=\sin x·\cos x+\cos x·\sin x=2\sin x·\cos x$，故②成立；
③ 根据$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$，将$y$替换为$-y$，得$\sin(x-y)=\sin[x+(-y)]=\sin x·\cos(-y)+\cos x·\sin(-y)$，再结合$\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，可得$\sin(x-y)=\sin x·\cos y - \cos x·\sin y$，故③成立。
综上，成立的是②③。
（2）① 求$\sin75°$：
将$75°$拆分为$45°+30°$，套用正弦和公式：
$\sin75°=\sin(45°+30°)$
$=\sin45°·\cos30°+\cos45°·\sin30°$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
② 求$\sin15°$：
将$15°$拆分为$45°-30°$，套用正弦差公式：
$\sin15°=\sin(45°-30°)$
$=\sin45°·\cos30°-\cos45°·\sin30°$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{②③}$；
（2）① $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$；② $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
新定义运算应用，锐角三角函数和差公式，特殊角的三角函数值
【点评】
本题重点考查对新规则的迁移应用能力，需要学生准确理解题干给出的三角函数运算规则，结合已掌握的特殊角三角函数值计算即可，解题时注意替换公式中的参数时不要混淆，根式运算要准确。
【难度系数】
0.7
